弧度、向量、三角函数

1、LTMI专用理科学案【数学】_弧度、三角函数、平面向量_学案 【概念】1、 弧度：表示角的大小。定义为圆心角所对的弧长与半径的比值。2、 三角函数：单位圆上圆心角所对的点的坐标。3、 向量：包含大小和方向的量。【应用】1、 以后除特别指明，所有角都用弧度表示。2、 以后除平面几何证明（选修4-2），否则解题基本不用相似，全用三角函数。【知识点及习题剖析】弧度1、 角的概念的推广。由射线OA绕O旋转构成的角称为旋转角（或转角）。其中OA称为角的始边，OB称为角的终边。 我们规定，逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角。旋转角的大小可以超过一周角（360°）特殊地，当旋转角度为零时（OA与O

2、B重合），我们称该角为零角。 由此可以把角的大小推广到实数域R内任意的值。 坐标系中，将x轴正方向作为始边，某一射线OB作为终边，则我们称终边OB所在的象限为这个角所在象限，或这个角是第几象限的角。2、 旋转角的性质。 设、为两个旋转角（可以为负角），则有： 先旋转，再旋转，则总旋转角=+。即各角和的旋转量等于各角旋转量的和。 所有终边相同的角构成一个集合 （即某角旋转k周角的终边与该角终边相同）例：在0360°范围内，找出与-950°15终边相同的角，并判定该角的象限。解：因为，所以该角为129°15，在第二象限。3、 弧度制。 把圆周360等分，1份对应1&#

3、176;的制度称为角度制。 在某一圆内，某一圆心角所对的弧长L和半径R的比值是一定的，我们定义的值为的弧度，记作 rad。 以弧度表示角的制度称为弧度制。 弧度制中， rad的“rad”习惯上可省略不写。例如我们可记= (rad)4、 角度、弧度的换算。 设 rad=n°，根据弧长公式有： 可得 下面列出一下常用角的角度和弧度：度(°)030456090120135150180270360弧度(rad)0/6/4/3/22/33/45/63/22例：把112°30化成弧度。把化成角度。解：112°30=112.5°=1.96875解析：角度不要

4、忘记加单位(°)，否则一概认为是弧度。 公式右算左是角度转弧度，左算右是弧度转角度，不要混淆。5、 弧度制中的圆计算公式。 弧长公式，面积公式三角函数1、 三角函数概念的推广。我们称半径为1，圆心在原点的圆为单位圆。 对于实数域内的任一旋转角，其终边与单位圆上唯一交于点P(x,y)。我们定义： 以上六个函数称为任意角的三角函数。由定义可知，sin ,cos 的定义域为R，值域为-1,1 tan 的定义域为，值域为R。练习：根据任意角三角函数的定义推导sec ，csc ，cot 的定义域和值域。三角函数在各象限的符号现列如下：例1：已知角的终边经过P(2,-3)，求的六个三角函数值。解

5、： 解析：当圆半径不为1的时候，将1改为r即可。例2：求tan -672°20的符号。解：tan -672°20=tan（-2×360°+47°40），而47°40在第一象限，解析：找出角所在象限即得三角函数的符号。2、 三角函数线 如图，在单位圆中，的终边为OP，易知PM=，OM=， AT=我们称向量ON为正弦线，向量OM为余弦线，向量AT为正切线。点M、N分别称为点P在x轴、y轴上的正射影（或射影）。OM、ON分别为OP为在x轴、y轴上的正射影。练习：在草稿纸上作出角的三角函数线。3、 正弦函数。 如图，在y轴左侧作单位圆，将其1

6、2等分，作出每个角的正弦线。再将x轴在0,2内12等分，即得12等分圆周的角的弧度。将圆内每个角的正弦线投射到对应弧度上，用光滑曲线连接起来，即得正弦曲线（或正弦波）y=sin x由于某角转过若干周角后终边与该角相同，我们得到，sin(x+k×2）=sin x，kZ ，即正弦函数中x与x+k×2，kZ的y值相同，如下图：由图，可得正弦函数的性质：定义域为R，值域为-1,1周期性：sin(x+k×2）=sin x，kZ 一般地，对于函数f(x)，如果存在非零常数T，对于定义域内每一个x都满足 我们称该函数为周期函数，T称为该函数的一个周期。 对于周期函数f(x)，其

7、所有周期中最小的一个正数称为它的最小正周期。我们一般讲到周期，都指最小正周期。 正弦函数y=sin x的最小正周期为2。奇偶性：易知-sin x=sin(-x)（为什么？），可知正弦函数为奇函数，关于原点对称。单调性：正弦函数在每一个闭区间上单调递增。 在每一个闭区间上单调递减，其中kZ。例：求函数的周期。解：将2x看作自变量，则其有最小正周期2，即sin 2x=sin(2x+2)=sin 2(x+） 因此函数y=sin 2x的周期为。 将看作自变量，则其有周期2，即sin=sin又sin=sin，因此原函数周期为4。解析：周期是定义在自变量上的。想办法将已知函数的周期转化成未知周期函数自变量

8、上的 变化，这个变化即为新函数的周期。练习：证明正弦型函数的周期为。在正弦波中，称为振幅，T称为周期，T-1称为频率，称为初相。振幅反映正弦波的峰谷值（最大值和最小值），频率反映其密集程度，初相反映其初始状态。正弦型函数在物理、经济等领域有广泛的应用。例（应用）：如图是某按照正弦规律变化的交流电（AC）的图象，求出它的周期、频率、峰值、解析式。解：由图得周期T=0.02s，因此频率f=50Hz，电流最大值为5A。因此易知解析式为解析：从图象推解析式，先看周期和峰值，再看与y轴交点，由此推出解析式。4、 余弦函数和正切函数。与正弦函数类似，我们可以作出余弦函数y=cos x 和正切函数 y=ta

9、n x的曲线。（y=cos x)（y=tan x)余弦函数是偶函数，周期2；正切函数是奇函数，周期。5、 反三角函数。 定义（其中负一次方为逆函数）例：求方程的解，其中x-，解：解析：三个反三角函数现阶段只要学会用它们来表示角，其它知识不作探讨。平面向量1、 向量的定义： 我们把同时具有大小和方向的量称为向量。 B 没有作用点的向量称为自由向量。数学中我们主要研究自由向量。 向量的起点称为始点，终点称为终点。向量可以用有向线段表示。 A 如图向量记作。一般一个向量可记作粗体n或。 长度为0的向量，称为零向量。通过向量的直线，称为向量的基线。 我们定义向量平行为其基线相互平行。如果基线重合，则称

10、两个向量共线。 平行或共线的向量同向。同向且等长的向量相等。 向量a的大小记作|a| 如果向量始点A给定，我们称为B关于A的位置向量。2、 向量的运算法则。 向量的加法。 a+b a b如图称为向量求和的三角形法则。（即先位移a，再位移b和直接位移a+b的效果是一样的）对于向量加法，我们有a+b=b+a及(a+b)+c=a+(b+c)当有多个向量相加时，我们将其首尾相接，第一个向量的始点和最后一个向量的终点构成的向量即为这若干个向量的和。这个法则为向量求和的多边形法则。向量的减法。 我们定义a-b=a+(-b)，其中-b是与b方向相反、大小相等的向量。数乘向量 我们定义a为与a方向相同（+）或

11、相反（-），大小为a的|倍的向量。 关于数乘向量，我们有|a|=|a| 且有(+u)a=a+ua (ua)=(u)a (a+b)=a+b（分配率）例：证明数乘向量的分配率成立，其中Q解：易证当Z时，分配率成立。当Z时，设=（m,nZ）则(a+b)=(a+b)=a+b解析：第四步中是根据已知的整数的数乘向量分配率将n提出来并与前面的n约掉的。 把未知问题划归到已知问题，是常用的证明方法之一。思考：当为无理数时，该如何证明分配率？3、 平面向量的坐标分解。平行向量基本定理：如果ab，则存在唯一实数，使a=b；如果a=b，则必有ab。平面向量基本定理：选定平面上两个不平行的向量e1和e2，对于平面上

12、任一向量a，存在唯 一实数对(a1,a2),使a=a1e1+a2e2(上述两定理证明略）由此，我们便可以利用一对实数对(a1,a2)来表示平面上的向量。e1 和e2称为分解基底。 我们取定平面上相互垂直且长度为1的向量e1 、e2为正交基底。在正交基底下向量的分解，称为向量的正交分解。 实数对(a1,a2)就是向量a在正交基底下的坐标，即a=a1,a2 /注意是大括号例：求向量a=x1,y1，b=x2,y2的和的坐标。解：a+b=x1e1+y1e2+x2e1+y2e2=(x1+x2)e1+(y1+y2)e2 因此a+b=x1+x2，y1+y2解析：运用向量的坐标分解式和运算法则推导。练习：已知

13、向量a=x1,y1，b=x2,y2，推导以下公式。a-b=x1-x2,y1-y2 a=x1,y1练习2：已知A(x1,y1) B(x2,y2)，推导以下公式。=x2-x1,y2-y1（提示：使用向量减法）AB中点4、 向量平行的条件 已知向量a=x1,y1，b=x2,y2，且ab 则有a=b，即x1,y1=x2,y2=x1,y1，即x1=x2 , y1=y2 。 式×y2，式×x2得x1y2=x2y2，x2y1=x2y2 两式相减得x1y2-x2y1=0，或 平面两向量平行的必要条件是相应坐标成比例。 思考：考虑P=x1y2-x2y1，我们知道P=0表示向量平行。那么P&g

14、t;0和P<0分别表示什么？ 例：已知a=1,2，b=2,3，实数x,y满足xa+yb=3,4，求x,y解：列出方程组解析：合理利用向量的坐标表示，是解决向量问题的利器。5、 向量的点积。 我们定义<a,b>为向量a、b的夹角。 设=<a,b>，定义a·b=|a|b|cos，称为向量a、b的点积（或内积、数量积） 特殊地，当b为单位向量（长为1的向量）的时候，向量a、b的点积等于a在b的基线上正射影（投影）的大小。 请大家自行导出下列点积的性质。 aba·b=0 a·a=|a|2 cos<a,b>= |a·b|a

15、|b| a·b=b·a（交换律） （a·b）=（a）·b=a·（b） （a+b）·c=a·c+b·c（分配率）（提示：画图证明）坐标点积：设a=x1,y1，b=x2,y2则a·b=(x1e1+y1e2)(x2e1+y2e2)=x1x2(e1)2+x1y2e1·e2+x2y1e1·e2+y1y1(e2)2注意到(e1)2=(e2)2=1，e1·e2=0（因为e1e2）*所以a·b=x1x2+y1y2下面的高兴推就推一遍，不高兴就不用了（较简单）设a=x1,y1，b=x

16、2,y2向量长度的计算公式：|a|=两向量夹角余弦的计算公式：【习题】一、选择题1.下列说法正确的是 ()A.第二象限的角比第一象限的角大B.若sin，则C.三角形的内角是第一象限角或第二象限角D.不论用角度制还是弧度制度量一个角，它们与扇形所对应的半径的大小无关2.已知角、的终边相同，那么的终边在 ()A. x轴的非负半轴上 B.y轴的非负半轴上C.x轴的非正半轴上 D.y轴的非正半轴上3.已知扇形的面积为2 cm2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为 ()A.2 B.4 C.6 D.84.如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从A出发在圆上按逆时针方向转一周，点P所旋转过的弧的长为l，

17、弦AP的长为d，则函数df(l)的图像大致为 ()5在点 等于（    ）A1B0C1D2  6、已知A、B是不同的两点，若 ，则 取值范围是（   ）A   B   C   D 7、已知：，则下列关系一定成立的是（ ）AA，B，C三点共线 BA，B，D三点共线CC，A，D三点共线 DB，C，D三点共线8、如图，在中，、分别是、上的中线，它们交于点，则下列各等式中不正确的是（ ）A B C D2、 填空题1已知三点 ，则 与 的夹角为_.2已知点O在ABC内部，且有，则OAB与OBC的面积之比为 3. 在ABC中，D是BC边上任意一点（D与B、C不重合），且，则等于 4 设集合，则满足条件的集合P的个数是_个5 在单位圆中，一条弦AB的长度为，则该弦AB所对的圆心角是_rad6. 给定两个长度为1且互相垂直的平面向量和，点C在以O为圆心的圆弧上变动.若其中,则的最大值是_.7、A第7题CDBCABMNP（第8题）如图,在平面四边形中，若,则 .8、如图，在等腰直角三角形ABC中，ACB