圆周角和圆心角的关系教案二

1、圆周角和圆心角的关系教学目标(一)教学知识点1掌握圆周角定理几个推论的内容2会熟练运用推论解决问题(二)能力训练要求1培养学生观察、分析及理解问题的能力2在学生自主探索推论的过程中，经历猜想、推理、验证等环节，获得正确的学习方式(三)情感与价值观要求培养学生的探索精神和解决问题的能力教学重点圆周角定理的几个推论的应用教学难点理解几个推论的“题设”和“结论”教学方法指导探索法教具准备投影片三张第一张：引例(记作§332A)第二张：例题(记作§332B)第三张：做一做(记作§332C)教学过程创设问题情境，引入新课师请同学们回忆一下我们前几节课学习了哪些和圆有关系的角

2、？它们之间有什么关系？生学习了圆心角和圆周角、一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半即圆周角定理师我们在分析、证明上述定理证明过程中，用到了些什么数学思想方法？生分类讨论、化归、转化思想方法师同学们请看下面这个问题：(出示投影片§332A)已知弦AB和CD交于O内一点P，如下图求证：PA·PBPC·PD师生共析要证PA·PBPC·PD，可证由此考虑证明PA、PC为边的三角形与以PD、PB为边的三角形相似由于图中没有这两个三角形，所以考虑作辅助线AC和BD要证PACPDB由已知条件可得APC与DPB相等如能再找到一对角相等如AD或CB便可证得

3、所求结论如何寻找AD或CB要想解决这个问题，我们需先进行下面的学习讲授新课师请同学们画一个圆，以A、C为端点的弧所对的圆周角有多少个？(至少画三个)它们的大小有什么关系？你是如何得到的？生所对的圆周角有无数个，它们的大小相等，我是通过度量得到的师大家想一想，我们能否用验证的方法得到上图中的ABCADCAEC？(同学们互相交流、讨论)生由图可以看出，ABC、ADC和AEC是同弧()所对的圆周角，根据上节课我们所学的圆周角定理可知，它们都等于圆心角AOC的一半，所以这几个圆周角相等师通过刚才同学的学习，我们上面提出的问题AD或CB找到答案了吗？生找到了，它们属于同弧所对的圆周角由于它们都等于同弧所

4、对圆心角的一半，这样可知AD或CB师如果我们把上面的同弧改成等弧，结论一样吗？生一样，等弧所对的圆心角相等，而圆周角等于圆心角的一半这样，我们便可得到等弧所对的圆周角相等师通过我们刚才的探讨，我们可以得到一个推论在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等师若将上面推论中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”，结论成立吗？请同学们互相议一议生如下图，结论不成立因为一条弦所对的圆周角有两种可能，在弦不是直径的情况下是不相等的注意：(1)“同弧”指“同一个圆”(2)“等弧”指“在同圆或等圆中”(3)“同弧或等弧”不能改为“同弦或等弦”师接下来我们看下面的问题：如下图，BC是O的直径，它所对的圆周角是锐角

5、、直角，还是钝角？你是如何判断的？(同学们互相交流、讨论)生直径BC所对的圆周角是直角，因为一条直径将圆分成了两个半圆，而半圆所对的圆心角是BOC180°，所以BAC90°师反过来，在下图中，如果圆周角BAC90°，那么它所对的弦BC经过圆心O吗？为什么？生弦BC经过圆心O，因为圆周角BAC90°连结OB、OC，所以圆心角BOC180°，即BOC是一条线段，也就是BC是O的一条直径师通过刚才大家的交流，我们又得到了圆周角定理的又一个推论：直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径注意：这一推论应用非常广泛，一般地，如果题目的

6、已知条件中有直径时，往往作出直径上的圆周角直角；如果需要直角或证明垂直时，往往作出直径即可解决问题师为了进一步熟悉推论，我们看下面的例题(出示投影片§332B)例如图示，AB是O的直径，BD是O的弦，延长BD到C，使ACAB，BD与CD的大小有什么关系？为什么？师生共析由于AB是O的直径，故连接AD由推论直径所对的圆周角是直角，便可得ADBC，又因为ABC中，ACAB，所以由等腰三角形的三线合一，可证得BDCD下面哪位同学能叙述一下理由？生BDCD理由是：连结ADAB是O的直径，ADB90°，即ADBC又ACAB，BDCD师通过我们学习圆周角定理及推论，大家互相交流，讨论一

7、下，我们探索上述问题时，用到了哪些方法？试举例说明生在得出本节的结论过程中，我们用到了度量与证明的方法比如说在研究同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；还学到了分类与转化的方法比如说在探索圆周角定理过程中，定理的证明应分三种情况，在这三种情况中，第一种情况是特殊情况，是证明的基础，其他两种情况都可以转化为第一种情况来解决再比如说，学习圆周角定义时，可由前面学习到的圆心角类比得出圆周角的概念P107 随堂练习1为什么有些电影院的坐位排列(横排)呈圆弧形？说一说这种设计的合理性答：有些电影院的坐位排列呈圆弧形，这样设计的理由是尽量保证同排的观众视角相等2如下图，哪个角与BAC相等？答：BDCB

8、AC3如下图，O的直径AB10cm，C为O上的一点，ABC30°，求AC的长解：AB为O的直径ACB90°又ABC30°，ACAB×105(cm)4小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形根据下图，你能判断哪个是半圆形？为什么？答：图(2)是半圆形、理由是：90°的圆周角所对的弦是直径下面我们一起来看一个问题：做一做(出示投影片§332C)船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁如下图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两点的一个圆形区域内，C表示一个危险临界点，ACB就是“危险角”当船与两个灯塔的夹角大于“危险角

9、”时，就有可能触礁；当船与两个灯塔的夹角小于“危险角”时，就能避免触礁(1)当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时，船位于哪个区域？为什么？(2)当船与两个灯塔的夹角小于“危险角”时，船位于哪个区域？为什么？分析：这是一个有实际背景的问题由题意可知：“危险角”ACB实际上就是圆周角船P与两个灯塔的夹角为，P有可能在O外，P有可能在O内，当C时，船位于暗礁区域内；当C时，船位于暗礁区域外，我们可采用反证法进行论证解：(1)当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”C时，船位于暗礁区域内(即O内)理由是：连结BE，假设船在O上，则有C，这与C矛盾，所以船不可能在O上；假设船在O外，则有AEB，即C，这与C矛

10、盾，所以船不可能在O外因此，船只能位于O内(2)当船与两个灯塔的夹角小于“危险角”C时，船位于暗礁区域外(即O外)理由是：假设船在O上，则有C，这与C矛盾，所以船不可能在O上；假设船在O内，则有AEB，即C这与C矛盾，所以船不可能在O内，因此，船只能位于O外注意：用反证法证明命题的一般步骤：(1)假设命题的结论不成立；(2)从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确课时小结本节课我们学习了圆周角定理的2个推论，结合我们上节课学到的圆周角定理，我们知道，在同圆或等圆中，根据弦及其所对的圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系，实现了圆中这些量之间相等关系的转

11、化，而圆周角定理建立了圆心角与圆周角之间的关系，因此，最终实现了圆中的角(圆心角和圆周角)线段(弦、弦心距)、弧等量与量之间相等关系的相互转化，从而为研究圆的性质提供了有力的工具和方法课后作业课本P108 习题35活动与探究1如下图，BC为O的直径，ADBC于D，P是上一动点，连结PB分别交AD、AC于点E、F(1)当时，求证：AEEB；(2)当点P在什么位置时，AFEF证明你的结论过程(1)连结AB，证AEEB需证ABEBAE(2)执果索因寻条件：要AFEF，即要AAEF，而AEFBED，而要ABED，只需BC，从而转化为结果(1)证明：延长AD交O于点M，连结AB、BMBC为O的直径，ADBC于DBADBMD又，ABPBMDBADABPAEBE(2)当时，AFEF证明