选修2-1第三章空间向量共8课时---

1、【教理总54】§3.1.1 空间向量及其加减运算【学习目标】1. 理解空间向量的概念，掌握其表示方法；2. 会用图形说明空间向量加法、减法及它们的运算律；3. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；4. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题 【使用要求】1.结合问题导学自己预习课本选修2-1的P84页至P85页，用红色笔勾画出疑惑点；独立完成探究题，并总结规律方法。2.针对问题导学及小试牛刀找出的疑惑点，课上讨论交流，答疑解惑。【问题导学】1空间向量的相关概念（1） 叫空间向量；（2）零向量是指 ，记为 ；（3）单位向量是指 ；（4） 叫做相等向量；（

2、5） 叫做相反向量，的相反向量表示为 ；（6）空间向量如何表示： 。2空间向量的加法和减法运算：空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，变为两个平面向量的加法和减法运算，例如右图中， ， 。3：空间向量加法有如下运算律吗？加法交换律：；加法结合律：；4. 平面向量中：（1）实数与向量的积是一个 量，记作 ，其长度和方向规定如下： | 。当0时，与 ；当0时，与 ；当0时， 。（2）= 5共线向量：如果表示空间向量的 所在的直线互相 或 ，则这些向量叫共线向量，也叫 向量.零向量与任何向量 。 6空间向量共线定理：对空间任意两个向量（）， 的充要条件是存在实数，使得 。7如图，为经过已知点A且平

3、行于已知非零向量的直线，对空间的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是 其中向量叫做直线l的 向量；8.叫共面向量。【小试牛刀】1.分别用三角形法则和平行四边形法则求， 2化简下列各式：（1）= = = = 2. 点C在线段AB上，且,则 , .【合作、探究、展示】例1 已知平行六面体（如图），化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量： 从而可知，空间向量中加法交换律：与结合律：都是成立的。例2在右图中，用表示和。例3.已知直线AB，点O是直线AB外一点，若，且x+y1，试判断A,B,P三点是否共线？例4如图，已知不共线，从平面外任一点，作出点,使得：4. 小结：空间向量加法的运算要注意

4、：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的 点指向末尾向量的 点的向量，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量。【达标训练】1. 下列说法中正确的是（ ）A. 若=，则，的长度相同，方向相反或相同;B. 若与是相反向量，则=; C. 空间向量的减法满足结合律;D. 在四边形ABCD中，一定有.2. 长方体中，化简= 3. 已知向量，是两个非零向量，是与，同方向的单位向量，那么下列各式正确的是（ ）A. B. 或 C. D. =4. 在四边形ABCD中，若,则四边形是（ ）A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 平行四边形5. 下列说法正确的是（ ）A. 零向量没有方向

5、B. 空间向量不可以平行移动C. 如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等 D. 同向且等长的有向线段表示同一向量6、在三棱柱ABC-A'B'C'中，M,N分别为BC,B'C'的中点，化简下列式子： + + 7. 正方体中，点E是上底面的中心，,则x ，y ，z . 8. 已知平行六面体，M是AC与BD交点，若，则与相等的向量是（ ）A. ； B. ； C. ； D. .学【教理总55】§3.1.2 空间向量的数乘运算主备人 周庆文 审核人：周庆文【学习目标】1. 掌握空间向量的数乘运算律，能进行简单的代数式化简；2. 理解共线向量定理和共面向

6、量定理及它们的推论； 3. 能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题【使用要求】1.结合问题导学自己预习课本选修2-1的P86页至P88页，用红色笔勾画出疑惑点；独立完成探究题，并总结规律方法。2.针对问题导学及小试牛刀找出的疑惑点，课上讨论交流，答疑解惑。【问题导学】1.空间任意两个向量不共线的两个向量有怎样的位置关系？空间三个向量又有怎样的位置关系？ 2.共面向量： 同一平面的向量叫共平面向量。3. 空间向量共面定理：对空间两个不共线向量，向量与向量共面的充要条件是存在 ， 使得 .4空间一点P与不在同一直线上的三点A,B,C共面的充要条件是：（如下图） 存在 ，使 1 对

7、空间任意一点O，有 。【小试牛刀】1若空间任意一点O和不共线的三点A,B,C满足关系式,则点P与 A,B,C共面吗？2若空间任意一点O和不共线的三点A,B,C满足关系式,且点P与 A,B,C共面，则 。【合作、探究、展示】例1 下列等式中，使M,A,B,C四点共面的个数是（ ） .A. 1 B. 2 C. 3 D. 4例2 如图，已知平行四边形ABCD,过平面AC外一点O作射线OA,OB,OC,OD,在四条射线上分别取点E,F,G,H,并且使求证：E,F,G,H四点共面. 【达标训练】1. 在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，向量、是（ ）A. 有相同起点的向量 B等长向量 C共面向量 D

8、不共面向量.2. 在下列命题中：若a、b共线，则a、b所在的直线平行；若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；已知三向量a、b、c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为pxaybzc其中正确命题的个数为 （ ）.A0 B.1 C. 2 D. 3 3. 若，若，求实数x，y4.已知两个非零向量不共线, . 求证：共面【教理总56】§3.1.3 空间向量的数量积运算主备人 周庆文 审核人：周庆文【学习目标】1. 掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；2. 掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几

9、何中的一些简单问题【使用要求】1.结合问题导学自己预习课本选修2-1的P90页至P92页，用红色笔勾画出疑惑点；独立完成探究题，并总结规律方法。2.针对问题导学及小试牛刀找出的疑惑点，课上讨论交流，答疑解惑。【问题导学】1.两个向量的夹角的定义：已知两非零向量，在空间 一点，作，则叫做向量与的夹角，记作 .1 范围: =0时, ;=时, (2) 成立吗？ (3) ，则称与互相垂直，记作 .2.向量的数量积：已知向量，则 叫做的数量积，记作，即 .规定:零向量与任意向量的数量积等于零. 两个向量的数量积是数量还是向量？ （选0还是）3. 空间向量数量积的性质： （1）设单位向量，则 （2） （3

10、） .4. 空间向量数量积运算律：（1）（2）（交换律）（3）（分配律）【小试牛刀】1.吗？举例说明.2.若，则吗？举例说明.3.若，则吗？为什么【合作、探究、展示】例1 用向量方法证明：在平面上的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.例2.用向量方法证明：已知：是平面内的两条相交直线，直线与平面的交点为，且.求证： 【达标训练】1. 下列命题中：若，则，中至少一个为 若且，则 正确有个数为（ ）A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个2. 已知和是两个单位向量，夹角为，则下面向量中与垂直的是（ ）A. B. C. D. 3.已知中，所对的边为，且,则=

11、4. 已知，且和不共线，当 与的夹角是锐角时，的取值范围是 .5. 已知向量满足，则_ 6. 已知空间四边形中，求证：.【教理总57】§3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示主备人 周庆文 审核人：周庆文【学习目标】1. 掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；2. 掌握空间向量的坐标运算的规律；【使用要求】1.结合问题导学自己预习课本选修2-1的P86页至P87页，用红色笔勾画出疑惑点；独立完成探究题，并总结规律方法。2.针对问题导学及小试牛刀找出的疑惑点，课上讨论交流，答疑解惑。【问题导学】1. 对空间的任意向量，能否用空间的几个向量唯一表示？如果能，那需要几个向

12、量？这几个向量有何位置关系？2. 空间向量的正交分解：空间的任意向量，均可分解为不共面的三个向量、，使. 如果两两 ，这种分解就是空间向量的正交分解.3. 空间向量基本定理：如果三个向量 ，对空间任一向量，存在有序实数组，使得. 把 的一个基底，都叫做基向量.4. 空间任意一个向量的基底有 个.5. 单位正交分解：如果空间一个基底的三个基向量互相 ，长度都为 ，则这个基底叫做单位正交基底，通常用i,j,k表示.6. 空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O-xyz和向量，且设i、j、k为 x轴、y轴、z轴正方向的单位向量，则存在有序实数组，使得，则称有序实数组为向量的坐标，记着 .7. 设

13、A，B，则 .8. 向量的直角坐标运算：设，则； ；2 ； ·.【小试牛刀】1. 设，则向量的坐标为 .2. 若A，B，则 .3. 已知，求，8，·【合作、探究、展示】例1 已知向量是空间的一个基底，从向量中选哪一个向量，一定可以与向量 构成空间的另一个基底？例2 如图，M,N分别是四面体QABC的边OA,BC的中点，P,Q是MN的三等分点，用表示和. 【达标训练】1. 若为空间向量的一组基底，则下列各项中，能构成基底的是（ ）A. B. C. D. 2. 设i、j、k为空间直角坐标系O-xyz中x轴、y轴、z轴正方向的单位向量，且，则点B的坐标是 3. 在三棱锥OABC中

14、，G是的重心（三条中线的交点），选取为基底，试用基底表示 4. 正方体的棱长为2，以A为坐标原点，以为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，E为BB1中点，则E的坐标是 .5. 已知,求线段AB的中点坐标及线段AB的长度.【教理总58】§3.1.5 空间向量的坐标表示主备人 周庆文 审核人：周庆文【学习目标】1. 掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式；2. 会用这些公式解决有关问题.【使用要求】1.结合问题导学自己预习课本选修2-1的P95页至P96页，用红色笔勾画出疑惑点；独立完成探究题，并总结规律方法。2.针对问题导学及小试牛刀找出的疑惑点，课上讨论

15、交流，答疑解惑。【问题导学】1. 向量的模：设，则 2. 两个向量的夹角公式：设，由向量数量积定义： ·|a|b|cos,，又由向量数量积坐标运算公式：· ，由此可以得出：cos, 3.设，b，则 a/B. a与b所成角是 a与b的坐标关系为 ； aba与b的坐标关系为 ；4. 两点间的距离公式：在空间直角坐标系中，已知点，则线段AB的长度为：.5. 线段中点的坐标公式：在空间直角坐标系中，已知点，则线段AB的中点坐标为: 【小试牛刀】1.当cos、1时，与所成角是 ；2.当cos、1时，与所成角是 ；3.当cos、0时，与所成角是 ；【合作、探究、展示】例1. 如图,在正

16、方体中，点分别是的一个四等分点，求与所成的角的余弦值例2. 如图，正方体中，点E,F分别是的中点，求证：. 【达标训练】1. 若a，b，则是的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不不要条件2. 已知，且， 则x .3. 已知,与的夹角为120°，则的值为（ ）A. B. C. D. 4. 若，且的夹角为钝角，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 5. 已知 ， 且，则（ ）A. B. C. D. 6、 如图，正方体棱长为， 求的夹角；求证：. 【教理总59】§3.2立体几何中的向量方法（1）主备人 周庆文 审核人：周庆文 学习目标

17、 1. 掌握利用向量运算解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题；2. 掌握在几何中用空间向量法证明空间线面平行与垂直一、课前准备（预习教材P102 P104，找出疑惑之处）复习1： 可以确定一条直线；确定一个平面的方法有哪些？ 复习2：如何判定空间A,B,C三点在一条直线上？ 复习3：设a，b，a·b 二、新课导学 学习探究探究任务一： 向量表示空间的点、直线、平面问题：怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？新知： 点：在空间中，我们取一定点作为基点，那么空间中任意一点的位置就可以用向量来表示，我们把向量称为点的位置向量. 直线： 直线的方向向量：和这条直线平行或共线的非零

18、向量. 对于直线上的任一点,存在实数，使得，此方程称为直线的向量参数方程. 平面： 空间中平面的位置可以由内两个不共线向量确定.对于平面上的任一点,是平面内两个不共线向量，则存在有序实数对,使得. 空间中平面的位置还可以用垂直于平面的直线的方向向量表示空间中平面的位置. 平面的法向量：如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面,记作，那 么向量叫做平面的法向量.试试： .1.如果都是平面的法向量，则的关系 .2.向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则与的关系是 .反思： 1. 一个平面的法向量是唯一的吗？2. 平面的法向量可以是零向量吗？ 向量表示平行、垂直关

19、系： 典型例题例1 在空间直角坐标系中,已知,试求平面ABC的一个法向量. 小结：平面的法向量与平面内的任意向量都垂直. 求平面的法向量步骤：设平面的法向量为；找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标；根据法向量的定义建立关于的方程组；解方程组,取其中的一个解,即得法向量. 例2. 如图, 在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AB=5，AA14，点D是AB的中点， （I）求证：ACBC1； （II）求证：AC 1/平面CDB1；三、总结提升 学习小结1. 空间点，直线和平面的向量表示方法2. 平面的法向量求法和性质. 知识拓展：. 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1.

20、 设分别是直线的方向向量，则直线的位置关系是 .2. 设分别是平面的法向量，则平面的位置关系是 .3. 已知，下列说法错误的是（ ）A. 若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则4.下列说法正确的是（ ）A.平面的法向量是唯一确定的B.一条直线的方向向量是唯一确定的C.平面法向量和直线的方向向量一定不是零向量D.若是直线的方向向量，则5. 已知，能做平面的法向量的是（ ）A. B. C. D. 6 如图，在直三棱柱中，,点M是的中点，求证：. 7 如图，长方体中，点E,F分别在上，且,. 求证：平面; 【教理总60】§3.2立体几何中的向量方法（2）主备人 周庆文 审核人：周庆文 学习目标 1. 掌握利用向量运算解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题；2. 掌握在几何中用空间向量法求空间的角与距离一、用法向量求空间的角（1）求直线与平面所成的角设直线与平面的夹角为，是直线的一个方向向量，是面的一个法向量，则， （2）求二面角设二面角的大小为，分别是面的一个法向量，则与相等或互补，再结合题目条件就能确定的大小。二、用法向量求空间的距离（1）求两异面直线的距离设是两条异面直线，是的公垂线段的方向向量，又C、D分别是上的任意两点，则（2）求点到面的距离设是平面的法向量，AB是平面的一条斜线，则点B到平面的三、实际运用例1：在直三棱柱