数学新学案同步精致讲义选修2-1苏教版：第3章空间向量与立体几何3.2.1-3.2.2含答案

1、§3.2空间向量的应用直线的方向向量与平面的法向量空间线面关系的判定(一 ) 平行关系学习目标1.掌握空间点、线、面的向量表示.2.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；会用待定系数法求平面的法向量.3.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、 平面与平面的平行问题知识点一直线的方向向量与平面的法向量思考怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？答案(1)点：在空间中，我们取一定点O 作为基点，那么空间中任意一点P 的位置就可以用向量 OP来表示我们把向量OP称为点 P 的位置向量(2) 直线：直线的方向向量：和这条直线平行或共线的非零向量对于直线l 上的任一点P，在直线上取 A

2、B a，则存在实数t，使得 APtAB .(3) 平面：空间中平面 的位置可以由 内两条相交直线来确定 对于平面 上的任一点 P，a， b 是平面 内两个不共线向量，则存在有序实数对(x， y)，使得 OP xayb.空间中平面的位置还可以用垂直于平面的直线的方向向量表示梳理(1)用向量表示直线的位置：直线 l 上一点 A条件表示直线 l 方向的向量 a(即直线的方向向量 )t，使在直线 l 上取 AB a，那么对于直线 l 上任意一点 P，一定存在实数形式得 AP tAB定位置点 A 和向量 a 可以确定直线的位置作用可以具体表示出 l 上的任意一点定点(2) 用向量表示平面的位置：通过平面

3、 上的一个定点 O 和两个向量 a 和 b 来确定：条件平面 内两条相交直线的方向向量a， b 和交点 O形式对于平面 上任意一点 P，存在有序实数对( x，y)使得 OP xa yb通过平面上的一个定点A 和法向量来确定：平面的法向量确定平面位置直线 l ，直线过点 A，以向量l 的方向向量叫做平面的法向量a 为法向量的平面是完全确定的(3) 直线的方向向量和平面的法向量：能平移到直线上的非零向量a，叫做直线直线的方向向量l 的一个方向向量直线 l ，取直线 l 的方向向量n，n 叫做平面的法向量平面 的法向量知识点二利用空间向量处理平行问题思考(1)设 v1 (a1， b1，c1)，v2

4、(a2，b2，c2 )分别是直线l 1， l2 的方向向量若直线l1l 2，则向量v1， v2 应满足什么关系(2) 若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量，则这两向量满足哪些条件可说明直线与平面平行？(3) 用向量法处理空间中两平面平行的关键是什么？答案(1)由直线方向向量的定义知若直线l 1 l2，则直线l 1， l2 的方向向量共线，即l1 l2? v1v2? v1 v2(R )(2) 可探究直线的方向向量与平面的法向量是否垂直，进而确定线面是否平行(3) 关键是找到两个平面的法向量，利用法向量平行来说明两平面平行梳理 (1)空间中平行关系的向量表示：设直线 l， m 的方向向量分别

5、为 a， b，平面 ， 的法向量分别为 ， v，则线线平行l m? a b? a kb(k R)线面平行l ? a? a· 0面面平行 ? v? kv(k R)(2) 利用空间向量解决平行问题时，第一，建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、 平面，把立体几何问题转化为向量问题；第二，通过向量的运算，研究平行问题；第三，把向量问题再转化成相应的立体几何问题，从而得出结论1 若两条直线平行，则它们的方向向量方向相同或相反()2平面 的法向量是唯一的，即一个平面不可能存在两个不同的法向量(× )3两直线的方向向量平行，则两直线平行(× )4直

6、线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时，直线与平面垂直()类型一求直线的方向向量、平面的法向量例 1如图，四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，PA平面 ABCD ，E 为 PD 的中点ABAP 1， AD3，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE 的一个法向量解因为 PA平面 ABCD ，底面 ABCD 为矩形，所以 AB， AD ， AP 两两垂直如图，以A 为坐标原点，AB， AD， AP的方向为x 轴， y 轴， z 轴的正方向，建立空间直角坐标系 A xyz，则 D(0，3， 0)， E 0，3，1， B(1,0,0) ， C(1，3，0) ，223 1于是 AE

7、 0， 2 ，2， AC (1， 3， 0)设 n (x， y， z)为平面 ACE 的法向量，x3y 0，n·AC 0，则即31 0，y z 0，22n·AEx3y，令 y 1，则 x z 3.所以z3y，所以平面 ACE 的一个法向量为 n ( 3， 1， 3)引申探究若本例条件不变，试求直线PC 的一个方向向量和平面PCD 的一个法向量解 由例 1 解析图可知，P(0,0,1) ，C(1，3， 0)，3， 1)，所以 PC (1，即为直线 PC 的一个方向向量设平面 PCD 的法向量为n (x， y， z)因为 D (0，3， 0)，所以 PD(0，3， 1)x 3y

8、 z 0，n·PC 0，由即3y z 0，n·PD 0，x 0，令 y1，则 z 3.所以z3y，所以平面PCD 的一个法向量为 n (0,1， 3)反思与感悟利用待定系数法求平面法向量的步骤(1) 设向量：设平面的法向量为 n (x，y， z) (2) 选向量：在平面内选取两个不共线向量AB， AC.(3) 列方程组：由n·AB 0，列出方程组n·AC 0，n·AB 0，(4) 解方程组：n·AC0.(5) 赋非零值：取其中一个为非零值(常取 ±1)(6) 得结论：得到平面的一个法向量跟踪训练 1 如图所示，在四棱锥S A

9、BCD 中，底面是直角梯形，ABC 90°，SA底面1，建立适当的空间直角坐标系，求平面 SCD 与平面 SBAABCD ，且 SA AB BC 1，AD 2的一个法向量解如图，以 A 为坐标原点，以 AD ， AB， AS分别为 x， y， z 轴的正方向建立空间直角坐标系 A xyz，1则 A(0,0,0)， D 2， 0，0 ，C(1,1,0) ， S(0,0,1) ，1则 DC 2，1，0 ，1DS 2， 0， 1 . 1易知向量 AD 2， 0， 0 是平面 SAB 的一个法向量设 n (x， y， z)为平面 SDC 的法向量，11n·DC 2x y 0，y 2

10、x，则1即1n·DS 2x z 0，z 2x.取 x 2，则 y 1，z1，平面 SDC 的一个法向量为(2， 1,1)类型二证明线线平行问题例 2已知直线l 1 与 l2 的方向向量分别是a (2,3， 1)， b ( 6， 9,3)证明： l1 l 2.证明a (2,3， 1)， b ( 6， 9,3)，1a 3b，ab，即 l1l 2.反思与感悟两直线的方向向量共线时，两直线平行；否则两直线相交或异面跟踪训练 2已知在四面体 ABCD 中， G， H 分别是 ABC 和 ACD 的重心，则 GH 与 BD的位置关系是 _答案平行 22解析设 E， F 分别为 BC 和 CD 的

11、中点，则 GH GA AH 3(EAAF ) 3EF，所以 GHEF ，所以 GH BD.类型三利用空间向量证明线面、面面平行问题例 3已知正方体ABCD-A 1B1C1D1 的棱长为 2，E， F 分别是 BB1， DD1 的中点，求证：(1) FC1平面 ADE；(2) 平面 ADE 平面 B1C1F .证明(1)以 D 为坐标原点，以DA，DC ， DD 1的方向为x 轴， y 轴， z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz，则有 D(0,0,0) ，A(2，0,0)，C(0,2,0) ，C1(0,2,2) ，E(2，2,1)，F(0,0,1) ， B1(2,2,2) ，所以

12、 FC1 (0,2,1) ，DA (2,0,0)， AE (0,2,1)设 n1 (x1， y1，z1)是平面 ADE 的法向量，则 n1 DA， n1 AE，x1 0，n1·DA 2x1 0，即 2y1 z1 0，得1z1 2y1，n ·AE令 z1 2，则 y1 1，所以 n1 (0， 1,2)因为 FC 1 ·1 2 2 0，所以 FC 1 n1.n又因为 FC1?平面 ADE ，所以 FC 1平面 ADE.因为1 1(2)1 1 (2,0,0) ，设 n2 (x2，y2 ，z2 是平面F的一个法向量 由 2 FC 1，n2 C11，C B)B CnBx2

13、0，n2·FC1 2y2 z2 0，得得z2 2y2.n2·C1B1 2x2 0，令 z2 2，得 y2 1，所以 n2 (0， 1,2)，因为 n1 n2，所以平面ADE平面 B1C1F.反思与感悟利用向量证明平行问题，可以先建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，然后根据向量之间的关系证明平行问题跟踪训练3如图，在四棱锥P ABCD 中， PA平面 ABCD ， PB 与底面所成的角为45°，1底面 ABCD 为直角梯形， ABC BAD 90°，PABC AD 1，问在棱 PD 上是否存在2一点 E，使 CE平面 PAB？若存在，求出

14、E 点的位置；若不存在，请说明理由解以 A 为坐标原点分别以AB，AD ， AP 所在直线为x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系 A xyz，如图所示P(0,0,1) ， C(1,1,0) ，D (0,2,0) ，设存在满足题意的点E(0， y， z)，则PE (0， y， z 1)，PD (0,2， 1)，PEPD ，y× (1) 2(z 1) 0，AD (0,2,0) 是平面 PAB 的法向量，又CE ( 1， y 1，z)，CE平面 PAB，CE AD，(1， y 1， z) ·(0,2,0) 0.1y 1，代入得z 2，E 是 PD 的中点，存在点 E，当点

15、 E 为 PD 中点时， CE平面 PAB.1若点 A( 1,0,1) ，B(1,4,7)在直线 l 上，则直线 l 的一个方向向量的坐标可以是_(填序号 ) ( 1,0,1) ； (1,4,7) ； (2,4,6) 答案 解析可以作为直线l 的一个方向向量显然 AB (2,4,6)2已知 a (2,4,5) ，b (3，x，y) 分别是直线 l 1， l 2 的方向向量若l 1 l2，则 x _，y_.答案1562解析由 l1l2 得，245，解得 x 6， y 15.3xy23已知向量n (2， 3,1)是平面 的一个法向量，则下列向量中能作为平面的法向量的是_ (填序号 ) n1 (0，

16、 3,1)； n2 ( 2,0,4)； n3 ( 2， 3,1)； n4 ( 2,3， 1)答案 解析由题可知只有可以作为 的法向量4已知向量 n ( 1,3,1)为平面 的法向量，点M(0,1,1) 为平面内一定点P(x， y， z)为平面内任一点，则 x， y，z 满足的关系式是 _答案x 3y z 4 0解析由题可知 MP ( x，y 1， z 1)又因为 n·MP 0，故 x 3(y 1) (z 1) 0，化简，得 x 3y z 4 0.5若直线 l ，且 l 的方向向量为 (2，m,1)，平面 的法向量为1，1， 2，则 m 为 _2答案 8l，平面 的法向量为1解析1，2

17、， 2 ，1(2，m,1) ·1， 2， 2 0，122m2 0，m 8.1 应用向量法证明线面平行问题的方法：(1) 证明直线的方向向量与平面的法向量垂直(2) 证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线(3) 证明直线的方向向量可用平面内的任意两个不共线的向量表示即用平面向量基本定理证明线面平行2证明面面平行的方法：设平面 的法向量为n1 (a1， b1， c1)，平面 的法向量为n2 (a2，b2， c2)，则 ? n1n2? ( a1， b1，c1) k(a2， b2， c2)(k R)一、填空题1已知 l 1 的方向向量为v 1 (1,2,3) ，l2 的方向向量为

18、v2 (，4,6)，若 l 1 l 2，则 _.答案2解析l1l2 ，v1 v2，则 12， 2.42已知 a ( 1,0,2) ， b (6,2 1,2)，若 a b，则 的值为 _答案12解析1因为 ab，故 2 1 0，即 .23直线 l 的方向向量s ( 1,1,1)，平面 的一个法向量为n (2， x2 x， x)，若直线 l，则 x 的值为 _答案± 2解析易知 1× 21× (x2 x) 1× ( x) 0，解得 x ± 2.4设平面的法向量为 (1,2， 2)，平面 的法向量为 (2， 4，k)，若 ，则 k 的值为_答案 4解

19、析因为 ，所以平面与平面 的法向量共线，所以 ( 2， 4， k) (1,2， 2)， 2 ， 2，所以 4 2，解得k 4.k 2，所以 k 的值是 4.5已知平面内两向量a (1,1,1) ，b (0,2， 1) 且 c ma nb (4， 4,1)若 c 为平面 的法向量，则m，n 的值分别为 _答案 1,2解析c ma nb (4， 4,1) (m， m， m) (0,2n， n) (4， 4,1) (m 4， m 2n4，m n1)，c·a 0，m 1，由 c 为平面 的法向量，得得c·b 0，n 2.6已知 A(4,1,3) ，B(2,3,1) ，C(3,7，5

20、) ，点 P(x， 1,3)在平面 ABC 内，则 x 的值为 _答案11解析点 P 在平面 ABC 内，存在实数 k1， k2，使AP k1AB k2 ，AC即( x4， 2,0) k1( 2,2， 2) k2( 1,6， 8)，2k1 6k2 2，k1 4，解得k1 4k20，k2 1.x 4 2k1 k2 81 7，即 x 11.7已知 l ，且 l 的方向向量为m (2， 8,1)，平面 的法向量为n (1，y,2)，则 y _.答案12解析l，l 的方向向量m (2， 8,1)与平面的法向量n (1， y,2)垂直， 2× 1 8× y 2 0，1y2.8若平面

21、的一个法向量为u1 ( 3，y,2) ，平面 的一个法向量为u2 (6， 2，z)，且 ，则 yz_.答案 3 3y 2解析，u1u2， 6 z. 2y 1， z 4.y z 3.9已知平面与平面 平行，若平面与平面 的法向量分别为 (5,25,5) ， v (t,5,1)，则 t 的值为 _答案 1解析平面 与平面 平行，平面 的法向量 与平面 的法向量 v 平行，5255，解得 t 1.t5110已知平面 内的三点 A(0,0,1) ，B(0,1,0) ，C(1,0,0) ，平面 的一个法向量为n ( 1，1， 1)，且 与 不重合，则 与 的位置关系是 _答案 解析AB， 1)， (0,

22、1， 1)， AC (1,0n·AB ( 1， 1， 1) (0,1·， 1) 1× 0 ( 1)×1 ( 1)× ( 1) 0，n·AC ( 1， 1， 1) ·(1,0， 1) 1× 10 ( 1) (·1) 0，nAB， n AC.n 也为 的一个法向量又与 不重合， .11若平面 的一个法向量为u1 (m,2， 4)，平面 的一个法向量为u2 (6， 4， n)，且 ，则 m n_.答案5解析m2 4，u1u2. n6 4m 3， n 8.m n 5.二、解答题12如图，在正方体ABCD A1B1

23、C1D1 中，求证：AC1 是平面 B1D1C 的法向量证明如图，以 D 为坐标原点， DA ，DC，DD 1 分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系设正方体的棱长为1，则 D 1(0,0,1) ， A(1,0,0) ， C(0,1,0) ，B1(1,1,1) ， C1(0,1,1) (1,0,1)，所以 AC1( 1,1,1)， D1 B1 (1,1,0)， CB1 所以 AC1 ·D1B1 ( 1,1,1) (1,1,0)· 0， AC1 ·CB1 ( 1,1,1) (1,0,1)· 0，所以 AC1 D 1B1， AC1 CB1，又 B1D 1CB1 B1，且 B1D1， CB1? 平面 B1D1C，所以 AC1平面 B1D1C， AC1 是平面 B1D1 C 的法向量13已知 A 0， 2，19，B 1， 1，5，C 2， 1，5是平面 内的三点，设平面 的法向888量 a (x， y， z)，求 x y