实变函数期末练习题

1、实变函数期末练习题（1-4）姓名 班级 练习1一、单项选择题1、下列各式正确的是（ ）（A）; （B）;（C）; （D）;2、设P为Cantor集，则下列各式不成立的是（ ）（A） c (B) (C) (D) 3、下列说法不正确的是（ ）(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B）可测集的任何子集都可测(C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D）波雷耳集都可测4、设是上的有限的可测函数列,则下面不成立的是( )（A）若, 则 (B) 是可测函数（C）是可测函数; （D）若,则可测5、设f(x)是上有界变差函数，则下面不成立的是（ ）(A) 在上有界 (B) 在上几乎处处存在导数（C）在上L可积 (D) 二

2、. 填空题1、_2、设是上有理点全体，则=_,=_,=_.3、设是中点集，如果对任一点集都_，则称是可测的4、可测的_条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.（填“充分”，“必要”，“充要”）5、设为上的有限函数，如果对于的一切分划，使_,则称为 上的有界变差函数。三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则举反例说明.1、设，若E是稠密集，则是无处稠密集。2、若，则一定是可数集.3、若是可测函数，则必是可测函数4设在可测集上可积分，若，则四、解答题1、设 ，则在上是否可积，是否可积，若可积，求出积分值。考 生 答 题 不 得 超 过 此 线2、求五、证明题.1、证明上的全体无理数作成

3、的集其势为.2、设是上的实值连续函数，则对于任意常数是闭集。考 生 答 题 不 得 超 过 此 线3、在上的任一有界变差函数都可以表示为两个增函数之差。4、设在上可积，则.5、设是上有限的函数，若对任意，存在闭子集，使在上连续，且，证明：是上的可测函数。(鲁津定理的逆定理)练习2一.单项选择题1设是两集合，则 =（ ）(A) (B) (C) (D) 2. 下列说法不正确的是( )(A) 的任一领域内都有中无穷多个点，则是的聚点(B) 的任一领域内至少有一个中异于的点，则是的聚点(C) 存在中点列，使，则是的聚点(D) 内点必是聚点3. 下列断言( )是正确的。（A）任意个开集的交是开集；(B)

4、 任意个闭集的交是闭集；(C) 任意个闭集的并是闭集；(D) 以上都不对；4. 下列断言中( )是错误的。（A）零测集是可测集； （B）可数个零测集的并是零测集；（C）任意个零测集的并是零测集；（D）零测集的任意子集是可测集；5. 若，则下列断言（ ）是正确的(A) 在可积在可积；(B) (C) ;(D) 二. 填空题1、设，则_。2、设为Cantor集，则 ，_，=_。3、设是一列可测集，则4、鲁津定理：_5、设为上的有限函数，如果_则称为上的绝对连续函数。三.下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则说明原因或举出反例. 1、由于，故不存在使之间对应的映射。2、可数个零测度集之和集仍

5、为零测度集。3、收敛的函数列必依测度收敛。4、连续函数一定是有界变差函数。四.解答题1、设 ，则在上是否可积，是否可积，若可积，求出积分值。2、求极限 .五.证明题1. 1、设f(x)是上的实值连续函数，则对任意常数 c， 是一开集.2. 设使，则E是可测集。3.在上的任一有界变差函数都可以表示为两个增函数之差。4.设函数列 在有界集上“基本上”一致收敛于，证明：收敛于。5.设在上可积，则对任何，必存在上的连续函数，使.练习3一、单项选择题1、设，则（ ）(A) （B）(C) （D）2、设是上有理点全体，则下列各式不成立的（ ）（A） (B) (C) =0，1 (D) 3、下列说法不正确的是（

6、）(A) 若，则 （B） 有限个或可数个零测度集之和集仍为零测度集 (C) 可测集的任何子集都可测 （D）凡开集、闭集皆可测4、设是一列可测集，且，则有（ ）（A） (B) （C）;（D）以上都不对5、设f(x)是上绝对连续函数，则下面不成立的（ ）(A) 在上的一致连续函数 (B) 在上处处可导（C）在上L可积 (D) 是有界变差函数二. 填空题1、设集合，则_2、设为Cantor集，则 ，_，=_。3、设是中点集，如果对任一点集都有_，则称是可测的4、叶果洛夫定理： 5、设在上可测，则在上可积的 充要 条件是|在上可积.（填“充分”，“必要”，“充要”）三、下列命题是否成立?若成立,则证明

7、之;若不成立,则举反例说明.1、任意多个开集之交集仍为开集。2、若，则一定是可数集. 3、收敛的函数列必依测度收敛。4、连续函数一定是有界变差函数。四、解答题1、设 ，则在上是否可积，是否可积，若可积，求出积分值。2、求极限 五、证明题.1、试证2、设f(x)是上的实值连续函数，则对任意常数 c， 是一开集.考 生 答 题 不 得 超 过 此 线3、设是可测集的非负可积函数，是的可测函数，且，则也是上的可积函数。4、设在上积分确定，且于，则在上也积分确定，且5、设在上,而成立,则有练习4一.单项选择题1设P为Cantor集，则 （A） À0 (B) (C) (D) 2. 下列说法不正

8、确的是( )(A) 的任一领域内都有中无穷多个点，则是的聚点(B) 的任一领域内至少有一个中异于的点，则是的聚点(C) 存在中点列，使，则是的聚点(D) 内点必是聚点3.设在上可积,则下面不成立的是( )(A)在上可测 (B)在上a.e.有限(C)在上有界 (D)在上可积4. 设是一列可测集，则有（ ）（A） (B) （C）;（D）以上都不对5.设为上的有界变差函数,则下面不成立的( )(A)在上可积 (B)在上可积(C)在上可积 (D)在上绝对连续二. 填空题(3分×5=15分)1、设，则_。2、设,若则是 闭 集；若，则是 _集；若，则是_集.3、设是一列可测集，则4、叙述鲁津定理： 5、设为上的有限函数，如果对于的一切划分，使 成一有界数集，则称为上的有界变差函数。三.下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则说明原因或举出反例.1、A为可数集，B为至多可数集，则AB是可数集.2、若，则.3、若是可测函数，则必是可测函数4设在可测集上可积分，若，则四.解答题1、设 ，则在上是否可积，是否可积，若可积，求出积分值。2、求五.证