第六章简单的超静定问题

1、62 拉压超静定问题61 超静定问题及其解法63 扭转超静定问题64 简单超静定梁 第六章 简单的超静定问题约束反力及轴力都可以由静力平约束反力及轴力都可以由静力平衡方程求得，这类问题称为衡方程求得，这类问题称为静定静定问题。问题。凭静力平衡方程不能求得约束反凭静力平衡方程不能求得约束反力或轴力，这类问题称为力或轴力，这类问题称为静不定静不定问题。问题。定义定义：6-1 超静定问题及其解法未知力个数未知力个数-平衡方程的个数平衡方程的个数=1 =1 一次一次超静定超静定未知力个数未知力个数-平衡方程的个数平衡方程的个数=2 =2 二次二次超静定超静定解超静定问题的方法步骤解超静定问题的方法步骤

2、: :平衡方程；平衡方程；几何方程几何方程变形协调方程；变形协调方程；物理方程物理方程弹性定律；弹性定律；补充方程：由几何方程和物理方程得；补充方程：由几何方程和物理方程得；解由平衡方程和补充方程组成的方程组解由平衡方程和补充方程组成的方程组超静定结构的类型超静定结构的类型1 1、不同材料制成的组和杆件的超静定问题、不同材料制成的组和杆件的超静定问题 这类超静定问题的变形特征是这类超静定问题的变形特征是: :两种材料的伸长两种材料的伸长( (缩短缩短) )变形相等变形相等. .6-26-2拉压超静定问题拉压超静定问题例例1 1 木制短柱的四角用四个木制短柱的四角用四个4040 4040 4 4

3、的等边角钢加固，角钢和的等边角钢加固，角钢和木材的许用应力分别为木材的许用应力分别为 1 1=160=160M Fa和和 2 2=12=12MFa，弹性模弹性模量分别为量分别为E1 1=200=200GFa 和和 E2 2 =10 =10GFa；求许可载荷求许可载荷P。1240NNYFFP21LL1122121122NNFLFLLLE AE A 几何方程几何方程物理方程及物理方程及补充方程补充方程：解：解：平衡方程平衡方程:Py4FN1FN2 解平衡方程和补充方程解平衡方程和补充方程，得，得: :120.07 ; F0.72NNFPP1110.07NFPA求结构的许可载荷：求结构的许可载荷：方

4、法方法1 1: :角钢面积由型钢表查得角钢面积由型钢表查得: : A1 1=3.086=3.086cm22220.72NFPA kN104272. 0/1225072. 0/2222AP kN4 .70507. 0/1606 .30807. 0/111AP4FN1FN2 mm8 . 0/111ELmm2 . 1/222EL所以在所以在1 1= =2 2 的前提下，角钢将先达到极限状态，的前提下，角钢将先达到极限状态， 即角钢决定最大载荷。即角钢决定最大载荷。求结构的许可载荷求结构的许可载荷： 111 0.070.07NAFPkN4 .70507. 06 .308160另外：若将钢的面积增大另外

5、：若将钢的面积增大5倍，怎样？倍，怎样？若将木的面积变为若将木的面积变为25mm，又又怎样？怎样？结构的最大载荷永远由钢控制着结构的最大载荷永远由钢控制着。方法方法2:2:、几何方程、几何方程：解：解：、平衡方程、平衡方程：120NNYFFP0ACBCLLL 例例2 、结构受力如图、结构受力如图,求两端的约束反力求两端的约束反力L1L2p AE1A1 CE2A2 B二、 两端固定的超静定问题 这类超静定问题的变形特征是:杆件的总长度不变.FN1FN2ACBP、物理方程、物理方程解平衡方程和补充方程，得解平衡方程和补充方程，得: :1221112211222111NNPFE A LE ALPFE

6、 ALE A L、补充方程补充方程11112222 NACNBCF LLE AFLLE A 112211220NNF LFLE AE A伸长伸长缩短缩短三、杆系超静定结构三、杆系超静定结构这类超静定问题的变形特征是这类超静定问题的变形特征是: :结构受力变形后各节点结构受力变形后各节点仍连接于一点仍连接于一点. .解这类超静定问题必须有两种图和两种方程解这类超静定问题必须有两种图和两种方程两种图两种图受力图受力图变形几何关系图变形几何关系图变形与变形与内力一致内力一致静力平衡方程静力平衡方程补充方程补充方程两种方程两种方程例例3 设设1、2、3三杆用铰链连接如图，已知：各杆长为：三杆用铰链连接

7、如图，已知：各杆长为：L1 1= =L2 2、 L3 3 = =L ；各杆面积为；各杆面积为A1=A2=A、 A3 3 ；各杆弹性模量；各杆弹性模量为：为：E1 1= =E2 2= =E、E3 3。外力沿铅垂方向，求各杆的内力。外力沿铅垂方向，求各杆的内力。CPABD123解：解：、平衡方程、平衡方程: :12sinsin0NNXFF123coscos0NNNYFFFPPAFN1FN3FN211111NFLLE A33333NFLLE A几何方程几何方程变形协调方程：变形协调方程：物理方程物理方程弹性定律：弹性定律：补充方程：由几何方程和物理方程得。补充方程：由几何方程和物理方程得。解由平衡方

8、程和补充方程组成的方程组，得解由平衡方程和补充方程组成的方程组，得: :cos31LL11331133cosNNFLFLE AE A233111233311331133cos ; F2cos2cosNNNE A PE APFFE AE AE AE ACABD123A11L2L3L例例4、(练习）练习） 所示构架的三根杆件由同一所示构架的三根杆件由同一材料制成材料制成.各杆的横截面面积为各杆的横截面面积为A1,A2,A3,在节点在节点B所受的力为所受的力为p ,求各杆的内力求各杆的内力.CBADp1 32pBN2N3N1解解 这是一次超静定这是一次超静定1 画节点画节点B的受力图的受力图2 列静

9、力平衡方程列静力平衡方程0X 00132cos30cos300(1)NN N0021sin30sin300(2)NNp0Y 3 画节点画节点B的位移图的位移图BB3B2B1B/ED3002313L1L2LGED=BD-BG-GE5 建立补充方程建立补充方程将物理关系代入几何关系将物理关系代入几何关系4 建立几何变形关系建立几何变形关系33112212312321,0.5(3)N LN LN LLLLEAEAEANN3得N联立联立(1),(2),(3)可得可得12357.7() 42.3() 13.5()NKNNKNNKN压压拉1 1、静定结构当温度升高时可自由变、静定结构当温度升高时可自由变形

10、所以不会引起构件的内力，即形所以不会引起构件的内力，即无温无温度应力。度应力。一一 、温度应力、温度应力例例1 1、如图，如图，1 1、2 2号杆的尺寸及材料都号杆的尺寸及材料都相同，当结构温度由相同，当结构温度由T1 1变到变到T2 2时时, ,求各求各杆的温度内力。（各杆的线膨胀系数分杆的温度内力。（各杆的线膨胀系数分别为别为 i ; ; T= = T2 2 - -T1 1) )CABD123A11L2L3L2 2、静不定问题、静不定问题存在温度应力存在温度应力。温度应力和装配应力温度应力和装配应力CABD123A11L2L3L、几何方程、几何方程解：解：、平衡方程、平衡方程: :12si

11、nsin0NNXFF123coscos0NNNYFFFcos31LLiNiiiiiiF LLTLE A、物理方程：、物理方程：PAFN1FN3FN2CABD123A11L2L3L、补充方程补充方程313111331133()cosNNF LF LTLTLE AE A解平衡方程和补充方程，得解平衡方程和补充方程，得: :221113131133(cos) 1 2cos /NNE ATFFE A E A 211133311332(cos)cos 1 2cos /NE ATFE A E A aaaaFN1FN2例例2 2、 如图，阶梯钢杆的上下两端在如图，阶梯钢杆的上下两端在T1 1=5=5时被时被

12、固定固定, ,杆的上下两段的面积分别杆的上下两段的面积分别 = = cm2 ， = =cm2，当温度升至，当温度升至T2 2=25=25时时, ,求求各杆的温度应力。各杆的温度应力。( (线膨胀系数线膨胀系数 =12.5=12.5 弹性模量弹性模量E=200=200GPa) )C1106、几何方程：、几何方程：解：解：、平衡方程：、平衡方程：210NNYFF0NTLLL、物理方程、物理方程解平衡方程和补充方程，得解平衡方程和补充方程，得: :1233.3kN NNFF、补充方程补充方程12122 ; NNTNF aF aLa TLEAEA22112EANEANT、温度应力、温度应力11166.

13、7MPa NFA22233.3MPa NFA、几何方程、几何方程解：解：、平衡方程、平衡方程: : 2 2、静不定问题存在装配应力。、静不定问题存在装配应力。12sinsin0NNXFF123coscos0NNNYFFF13cos)(LL二、装配应力二、装配应力1、静定问题无装配应力。、静定问题无装配应力。 例例3 3 如图，如图，3 3号杆的尺寸误差为号杆的尺寸误差为 ，求，求 各杆的装配内力各杆的装配内力。ABC12ABC12DA1331311133()cosNNF LF LE AE A、物理方程及、物理方程及补充方程补充方程： 、解平衡方程和补充方程，得、解平衡方程和补充方程，得: :2

14、2111331133cos 12cos /NNE AFFLE AE A31133311332cos 1 2cos /NE AFLE AE A A1FN1FN2FN3AA13L2L1L6-3 6-3 扭转超静定问题扭转超静定问题 例题例题 两端固定的圆截面等直杆AB，在截面C处受扭转力偶矩Me作用，如图a。已知杆的扭转刚度为GIp。试求杆两端的约束力偶矩以及C截面的扭转角。(a) 解解: : 1. 有二个未知约束力偶矩MA, MB，但只有一个独立的静力平衡方程故为一次超静定问题。0 0eBAxMMMM，(a)MAMB 2. 以固定端B为“多余”约束，约束力偶矩MB为“多余”未知力。在解除“多余”

15、约束后基本静定系上加上荷载Me和“多余”未知力偶矩MB，如图b；它应满足的位移相容条件为注：这里指的是两个扭转角的绝对值相等。BBMBMe另一约束力偶矩MA可由平衡方程求得为3. 根据位移相容条件利用物理关系得补充方程：由此求得“多余”未知力，亦即约束力偶矩MB为ppeGIlMGIaMB elaMMB eeeelbMlaMMMMMBA4. 杆的AC段横截面上的扭矩为lbMMTAACe从而有 peplGIabMGIaTACC(a) 例题例题2由半径为a的铜杆和外半径为b的钢管经紧配合而成的组合杆，受扭转力偶矩Me作用，如图a。试求铜杆和钢管横截面上的扭矩Ta和Tb，并绘出它们横截面上切应力沿半径

16、的变化情况。(a) 解解: : 1. 铜杆和钢管的横截面上各有一个未知内力矩 扭矩Ta和Tb(图b)，但只有一个独立的静力平衡方程Ta+Tb= Me，故为一次超静定问题。TaTb(b)2. 位移相容条件为BbBa3. 利用物理关系得补充方程为4. 联立求解补充方程和平衡方程得：bbbaaabbbaaaTIGIGTIGlTIGlTpppp ，即epppepppMIGIGIGTMIGIGIGTbbaabbbbbaaaaa，TaTb(b)5. 铜杆横截面上任意点的切应力为aIGIGMGITbbaaaaaa0ppep钢管横截面上任意点的切应力为baIGIGMGITbbaabbbbppep 上图示出了铜

17、杆和钢管横截面上切应力沿半径的变化情况。需要注意的是，由于铜的切变模量Ga小于钢的切变模量Gb，故铜杆和钢管在 = a处切应力并不相等，两者之比就等于两种材料的切变模量之比。这一结果与铜杆和钢管由于紧配合而在交界处切向的切应变应该相同是一致的。aaab64 64 简单超静定梁的求解简单超静定梁的求解1 1、用多余约束反力代替多余约束（取静定基，原则：便于计算）、用多余约束反力代替多余约束（取静定基，原则：便于计算）2 2、在多余约束处根据变形协调条件列出变形的几何方程、在多余约束处根据变形协调条件列出变形的几何方程3 3、把物理条件代入几何方程列出力的补充方程求出多余反力、把物理条件代入几何方

18、程列出力的补充方程求出多余反力4、计算梁的内力、应力、强度、变形、刚度。、计算梁的内力、应力、强度、变形、刚度。L/2A AC CAqL/2B=L/2A AC CAqL/2BFcY分析0CYCFCqCwww048384534EILFEIqLCYqLFCY85步骤步骤q q 0 0L LA AB BF FBYBY=q q 0 0L LA AB BEI、几何方程解解：、建立静定基0BYBFBqBwww、由物理关系确定力的 补充方程求出多余反力34;83BYBYBqBFFLqLwwEIEI 34083BYF LqLEIEI83qLFBY0AAMAqAq q 0 0L LA AB BM A=A AB

19、BR R B Bq q 0 0A AB B+F FBYBYq q 0 0L LA AB BC CEI、几何方程 解解：、建立静定基BCBFBqBLwwwBY例例：结构如图，求B点反力。L LBCBCEA、补充方程求出支反力34 ;83BYBYBqBFF LqLwwEIEI EALFLBCBYBC)3(834EILALIqLFBCBY3483BYBCBYF LF LqLEIEIEA=q q 0 0L LA AB BR R B BEIFBYq q 0 0A AB B+=A AB BR RB BFBYq q 0 0L LA AB BC CEIL LB BC CEA例：结构如上图例：结构如上图，E=2

20、10Gpa，s=240MPa，LBC=1m，ABC=1cm2, AB为矩形截面梁,b=10cm,h=30cm,L=2m，q0=20 kN/m, 求结构的安全系数。 解解：由上题可知q q0 0A AB BNBC)(14.8)3(834kNEILALIqLFFBCBYNBC maxmaxzABWM)(6237202MPa 弯矩如图. )(4.81108140 4MPaAFBCNBCBC94.24.81240max snNBCMx-23.72k N m1.64k N m例例7 梁梁AB AB 和和BC BC 在在B B 处铰接，处铰接，A A、C C 两端固定，梁的抗弯刚度两端

21、固定，梁的抗弯刚度均为均为EIEI，F F = 40kN= 40kN，q q = 20kN/m = 20kN/m。画梁的剪力图和弯矩图。画梁的剪力图和弯矩图。 从从B B 处拆开，使超静定结构变处拆开，使超静定结构变成两个悬臂梁。成两个悬臂梁。变形协调方程为：变形协调方程为：21BByyBBFFFByB1 FByB2物理关系物理关系EIFEIqyBB3484341 EIFEIFyBB3424362322 解解FB FByB1yB2kN75. 84842046104023342BF代入得补充方程：代入得补充方程：EIFEIFEIFEIqBB342436234843234确定确定A A 端约束力端约束力04, 0 qFFFBAykN25.7175. 82044 BAFqF0424, 0 BAAFqMM mkN12575. 842204424 BAFqMFB F ByB1yB20, 0 FFFFCBy确定确定B B 端约束力端约束力 kN75.4875. 840 BCFFF042, 0 BCCFFMM kN.m115