第四节 重积分的应用

1、 DyxfV d),(10.4 重积分的应用重积分的应用10.4.1 几何应用几何应用 1. 求体积求体积 由二重积分的几何意义由二重积分的几何意义,xOy面上的闭区域面上的闭区域D为底的为底的以连续曲面以连续曲面 ),(yxfz 曲顶柱体的体积为曲顶柱体的体积为)0),( yxf为顶为顶,由三重积分的性质知由三重积分的性质知, 占有空间区域占有空间区域 的的.d VV立体的体积为立体的体积为axz y0例例1 求圆柱面求圆柱面 所围立体体积所围立体体积.222222azxayx 和和Dy = 0 x = 0 DyxxaVdd3316a 22xaZ 22xay 22022d 8xayxa ax

2、daaaaxoyDxz y0解解Oxyz解解a2 22yxz 4 20,40,20: a)0(22222 aazyx22yxz 例例2 求区域求区域与与的公共部分的体积的公共部分的体积.由由22222azyx 由锥面和球面围成由锥面和球面围成, 采用球面坐标采用球面坐标 a2024020dsindd 403d3)2(sin2 a3)12(34a 所求体积所求体积 VVd d(1) 设曲面设曲面的方程为的方程为:),(yxfz ,dD ,d),( yx点点.),(,(的切平面的切平面上过上过为为yxfyxMS ,d边界为准线边界为准线以以 ),(yxMAdxyzo ;dS为为截截曲曲面面 ,dA

3、为为截切平面截切平面 .),(上具有连续偏导数上具有连续偏导数在在Dyxf设小区域设小区域作母线平行于作母线平行于z轴的小柱面轴的小柱面,它在它在xOy面上的投影区域为面上的投影区域为D,Sd2. 求曲面的面积求曲面的面积 S,d面上的投影面上的投影在在为为xoydA ,cosdd A2211cosyxff dffdAyx221 DyxffA d122曲面曲面的的面积元素面积元素曲面面积为曲面面积为.dd122 xyDyxyzxzAASdd 则有则有(3) 设曲面设曲面的方程为：的方程为：),(xzhy 曲面面积为曲面面积为(2) 设曲面设曲面的方程为：的方程为：),(zygx 曲面面积为曲面

4、面积为.dd122 xzDzxzyxyA.dd122 yzDzyzxyxA它在它在yOz面上的投影区域为面上的投影区域为 ,yzD,xzD它在它在xOz面上的投影区域为面上的投影区域为,222yxaa 解解于是于是 表面积表面积 221 yzxz222:ayxDxy xyDyxyxaaAdd2222例例3 求球面求球面 的表面积的表面积.上半球面方程为上半球面方程为 ,222yxaz )0(2222 aazyx arrara02220dd2 24 a axz y0222ayx 222azx 解解 设圆柱面设圆柱面为为考虑第一卦限考虑第一卦限例例4 两相同正圆柱面的轴互相直交两相同正圆柱面的轴互

5、相直交, 圆柱的底半径圆柱的底半径为为a, 求一柱面被另一柱面所割出部分的面积求一柱面被另一柱面所割出部分的面积.D22xaz aaxz y0228d dDaAx yax 28a 22xay xayxaad axdaaxoyD22221xaazzyx ),( ,),(),(2211nnyxyxyx.,21nmmm则该质点系的则该质点系的重心重心的坐标为的坐标为设设xOy平面上有平面上有n个质点个质点, 它们分别位于它们分别位于质量分别为质量分别为处处，1. 重心重心(质心质心),11 niiniiimxmx niiniiimymy1110.4.2 物理应用物理应用 niimM1其中其中 为质点

6、系的总质量为质点系的总质量. 类似地类似地, 空间质点系的重心坐标公式为空间质点系的重心坐标公式为,11 niiniiimxmx,11 niiniiimymy niiniiimzmz11当薄片是均匀的当薄片是均匀的, 重心称为重心称为D的的形心形心.,d1 DxAx .d1 DyAy .d DA 其中其中,d),(d),( DDyxyxxx DDyxyxyy d),(d),(设有一平面薄片设有一平面薄片, 占有占有xOy 面上的闭区域面上的闭区域D, ),(yx 在点在点(x, y)处的面密度为处的面密度为),(yx 假定假定在在D 上连续上连续, 则平面薄片的重心坐标为则平面薄片的重心坐标为

7、其体质量密度为其体质量密度为 类似地类似地, 若若 是空间几何体是空间几何体,d),(d),( VzyxVzyxxx ),(zyx 的体积为的体积为V, 则则 的重心坐标为的重心坐标为 VzyxVzyxyyd),(d),( VzyxVzyxzzd),(d),( 其中其中 为为体积体积的重量的重量. VzyxMd),( ,dVVxx VVd其中其中 为物体的体积为物体的体积. .,dVVyy VVzz d 的的形心形心坐标为坐标为b例例5 求位于两圆求位于两圆之间的之间的均匀均匀薄片的质心薄片的质心.axyO, 0 y DxAx d1 )(222ababab 解解 薄片关于薄片关于x轴对称轴对称

8、. 则则2222 ab 20coscosdrcosd2 barr质心质心 0 ,)(222ababab)0(cos,cosbabrar DxyxyI d),(2则平面薄片绕则平面薄片绕 x 轴的转动惯量为轴的转动惯量为2. 转动惯量转动惯量设有一平面薄片设有一平面薄片, 占有占有xOy 面上的闭区域面上的闭区域D, ),(yx 在点在点(x, y)处的面密度为处的面密度为),(yx 假定假定在在D 上连续上连续.绕绕 y 轴的转动惯量为轴的转动惯量为,d),(2 DyyxxI 绕原点绕原点O的转动惯量为的转动惯量为 DoyxyxI d),()(22其体质量密度为其体质量密度为 类似地类似地,

9、若若 是空间几何体是空间几何体,d),()(22 VzyxzyIx ),(zyx 则物体绕则物体绕 x 轴的转动惯量为轴的转动惯量为绕绕 y 轴的转动惯量为轴的转动惯量为,d),()(22 VzyxzxIy 绕绕 z 轴的转动惯量为轴的转动惯量为,d),()(22 VzyxyxIz 绕原点绕原点O的转动惯量为的转动惯量为 VzyxzyxIod),()(222 例例6 求均匀长方体关于它的一条棱的转动惯量求均匀长方体关于它的一条棱的转动惯量.解解设长方体的棱长分别为设长方体的棱长分别为a, b, c, 密度密度为常数为常数,则对长为则对长为c 的一条棱的转动惯量为的一条棱的转动惯量为 VyxIc

10、d)(22 cbazyxyx02200d)(dd )( 3122baabc 其中其中m为长方体的质量为长方体的质量. )( 3122bam d在三个坐标轴上投影的元素在三个坐标轴上投影的元素.3. 引力引力(1)平面薄片对质点的引力平面薄片对质点的引力设有一平面薄片设有一平面薄片, 占有占有xOy面上的闭区域面上的闭区域D,在点在点(x, y)处的面密度为处的面密度为),(yx 假定假定在在D上连续上连续, 计算该平面薄片对位于计算该平面薄片对位于z 轴上的点轴上的点),(yx 处质量为处质量为m的质点的引力的质点的引力.)0(), 0 , 0(0 aaMOxyzD的大小近似地为的大小近似地为

11、 d),(d2ryxmkF ), 0 , 0(0aM)0 ,(yx 薄片中薄片中 部分对该质点的引力部分对该质点的引力 d设设 为为引力引力),(zyxFFFF zyxFFFd,d,d222)0()0()0(ayxr 222ayx 引力的引力的方向方向),0,(ayx 方向余弦方向余弦 raryrx,d),(d3ryxxkmFx 3d),(dryxykmFy 3d),(dryxakmFz OxyzD d), 0 , 0(0aM)0 ,(yx d)(),(23222 DxayxxyxkmF其中其中k为引力常数为引力常数. d)(),(23222 DzayxyxakmF d)(),(23222 D

12、yayxyyxkmF(2) 物体对质点的引力物体对质点的引力设物体占有空间区域设物体占有空间区域 , ,),(zyx 物体对于物体外一点物体对于物体外一点),(zyxFFFF cosd),(d2rVzyxmkFx 有连续分布的密度有连续分布的密度引力元素在三坐标轴上的投影分别为引力元素在三坐标轴上的投影分别为空间一物体对于物体外一点空间一物体对于物体外一点),(0000zyxP处处质量为质量为m的质点的引力的质点的引力. .函数函数),(0000zyxP的质点的引力的质点的引力Vrxxzyxkmd)(,(30 VryyzyxkmFy d)( ),(30 Vrzzzyxkmd)(,(30 于是于是,d)(,(30VrxxzyxkmFx VrzzzyxkmFzd)( ),(30 cosd),(d3rVzyxmkFz 其中其中.)()()(202020zzyyxxr cosd),(d2rVzyxmkFy Vryyzyxkmd)(,(30 Foyzx0 yxFF求它对位于点求