普通高等学校招生全国统一考试重庆卷文含详解

1、2006 年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（文史类）数学试题（文史类）共5 页。满分150 分。考试时间120 分钟。注意事项：1答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。2答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮檫擦干净后，在选涂其他答案标号。3答非选择题时，必须用0.5mm 黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。4所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效。5考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。参考公式：如果事件A、B 互斥，那么 P( A B)P( A) P(B)如果事件A、B 相互独立，那么 P(

2、A B) P( A) P(B)如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率：P (k)C k pk (1 p)n knn一选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知集合 U1,2,3,4,5,6,7 ， A2,4,5,7 ，B3,4,5，则 (痧A)(UB)U（A ） 1,6（ B） 4,5（C） 2,3,4,5,7（ D） 1,2,3,6,7（2）在等差数列an 中，若 an0 且 a3 a764 ， a5 的值为（A ）2（B）4（ C）6（D）8（3）以点（ 2，

3、 1）为圆心且与直线3x4 y5 0 相切的圆的方程为（A ） (x 2)2( y 1)23（ B） ( x 2) 2( y 1)23（C） (x 2)2( y 1)29（D ） (x 2)2( y 1)23（4）若 P 是平面外一点，则下列命题正确的是（A ）过 P 只能作一条直线与平面相交（B ）过 P 可作无数条直线与平面垂直（C）过 P 只能作一条直线与平面平行（ D）过 P 可作无数条直线与平面平行（5） 2x53 的展开式中 x2 的系数为（A ） 2160（ B） 1080（ C） 1080（ D） 2160（ 6 ）设函数yf ( x) 的反函数为 yf1 ( x) ，且 yf

4、 (2 x 1)的图像过点(1,1)，则2y f 1( x) 的图像必过（A） (1,1)（B） (1,1)（ C） (1,0)（ D） (0,1)22（7）某地区有300 家商店，其中大型商店有30 家，中型商店有75 家，小型商店有195 家。为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为 20 的样本。若采用分层抽样的方法，抽取的中型商店数是（A ）2（B） 3（ C）5（D ）13（8）已知三点 A(2,3), B(1,1),C (6, k) ，其中 k 为常数。 若 ABAC ，则 AB与 AC的夹角为（A ） arccos(24 )（ B） 或 arccos 2425225（C）

5、arccos 24（D ）或arccos 2425225（9）高三（一）班学要安排毕业晚会的4 各音乐节目，2 个舞蹈节目和1 个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是（A ） 1800（B ）3600（ C） 4320（ D） 5040（10）若,(0,) ， cos(3, sin()1) 的值等于2)，则 cos(2222（A ）3（ B）11（ D）322（ C）22（ 11）设 A( x1 , y1 ), B(4, 9 ),C (x2 , y2)是右焦点为 F 的椭圆 x2y21 上三个不同的点，5259则“ AF , BF , CF 成等差数列”是“ x1x2

6、8 ”的（A ）充要条件（ B）必要不充分条件（C）充分不必要条件（ D）既非充分也非必要（12）若 a, b, c0 且 a22ab 2ac 4bc12 ，则 ab c 的最小值是（A）2 3（ B）3（ C）2（D ）3二填空题：本大题共4 小题，每小题4 分，共 24 分。把答案填写在答题卡相应位置上。（13）已知 sin25，则tan。，52（14）在数列 an 中，若 a11， an 1 an2(n1) ，则该数列的通项 an。（15）设 a 0, a 1，函数 f ( x) log a ( x22 x3) 有最小值， 则不等式 log a ( x1) 0的解集为。x2y30（16）

7、已知变量 x ， y 满足约束条件x3y30 。若目标函数zaxy （其中 a0 ）y10仅在点(3,0)处取得最大值，则a 的取值范围为。三解答题：本大题共6 小题，共（17）（本小题满分13 分）甲、乙、丙三人在同一办公室工作。76 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。办公室只有一部电话机，设经过该机打进的电话是打给甲、乙、丙的概率依次为1 、1 、1。若在一段时间内打进三个电话，且各个电话相互独632立。求：（）这三个电话是打给同一个人的概率；（）这三个电话中恰有两个是打给甲的概率；（18）（本小题满分13 分）设函数f ( x)3cos2xsinx cosxa（其中0, aR

8、）。且f ( x)的图像在y轴右侧的第一个最高点的横坐标是。6（）求的值；（）如果f ( x)在区间, 5上的最小值为3 ，求a 的值；3 6（ 19）（本小题满分 12 分）设函数 f ( x)x33ax23bx 的图像与直线 12xy 1 0相切于点 (1, 11) 。（）求 a,b 的值；（）讨论函数f ( x) 的单调性。（20）（本小题满分12 分）如图，在增四棱柱 ABCD1A1B1C中1D，AB1,B1B 3 1E 为BB1上使B1E 1，的点。平面 AEC1 交 DD1 于 F ，交 A1D1 的延长线于 G ，求：（）异面直线AD 与 C1G 所成角的大小；（）二面角A C1

9、G A1 的正切值；（21）（本小题满分12 分）已知定义域为R 的函数 f ( x)2xb 是奇函数。2x 1a（）求 a,b 的值；（）若对任意的tR ，不等式f (t 22t )f (2t 2k)0 恒成立，求 k 的取值范围；（22）（本小题满分12 分）如图，对每个正整数n ， An ( xn , yn ) 是抛物线x24 y 上的点，过焦点 F 的直线 FAn 角抛物线于另一点 Bn (sn , tn ) 。（）试证：xnsn4(n1)；（）取 xn2n ，并记 Cn 为抛物线上分别以An 与 Bn 为切点的两条切线的交点。试证：FC1FC2FCn2n2 n 11；2006 年普通

10、高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学（文史类）参考答案（1）（ 12） DDCDBCCDBBAA(13) -2(14) 2 n 1(15)（2，）1（16） a2三解答题：本大题共6 小题，共 76 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分13 分）甲、乙、丙三人在同一办公室工作。办公室只有一部电话机，设经过该机打进的电话是打给甲、乙、丙的概率依次为1、1、 1。若在一段时632间内打进三个电话，且各个电话相互独立。求：（）这三个电话是打给同一个人的概率；（）这三个电话中恰有两个是打给甲的概率；解：（）由互斥事件有一个发生的概率公式和独立事件同时发生的概率公式，所求概

11、率为： p ( 1)3(1) 3( 1)31 .63261（）这是n=3， p=的独立重复试验，故所求概率为：P3 (2) C32( 1) 2( 5)5 .6672（18）（本小题满分13 分）设函数f ( x)3cos2x sin xcos x a（其中0, a R ）。且 f ( x) 的图像在 y 轴右侧的第一个最高点的横坐标是。6（）求的值；（）如果f ( x) 在区间 , 5 上的最小值为3 ，求 a 的值；36解：（ I ） f (x)3 cos2x1 sin 2x3sin(2x)3a22232依题意得213226（ II ）由（ I）知， f ( x) sin( x)3又当 x

12、3, 5 时，326x0, 7 ，故1sin( x)1 ，从而 f ( x) 在区间 5，636233上的最小值为313a ，故 a31.222（19）（本小题满分12 分）设函数f ( x)x33ax23bx的图像与直线12 xy10相切于点 (1, 11) 。（）求a,b的值；（）讨论函数f ( x) 的单调性。解：（）求导得f ' ( x)3x26ax3b 。由于f ( x)的图像与直线12xy10相切于点(1,11)，所以f (1)11, f ' (1)12 ，即：1-3a+3b= -11解得 : a1,b3 3-6a+3b=-12（）由 a1,b3得： f '

13、 (x)3x26ax3b3(x22x 3) 3( x 1)( x 3)令 f（ x） 0，解得 x -1 或 x3；又令 f （x） < 0，解得 -1 x3.故当 x（, -1）时， f( x)是增函数，当 x（ 3,）时， f(x) 也是增函数，但当 x（ -1， 3）时， f(x) 是减函数 .（20）（本小题满分12 分）如图，在正四棱柱 ABCD A BC1D 中，111AB 1, BB131， E 为 BB1上使 B1E1的点。平面 AEC1 交 DD1 于 F ，交 A1D1 的延长线于G ，求：（）异面直线AD 与 C1G 所成角的大小；（）二面角AC1GA1 的正切值；

14、解法一：（）由AD / DG 知C GD 为异面直线AD 与111C1G 所成角（如图1）连接C1F因为和C1F分别是平行平面和CC1D1D与平面 AECG的交线 ，ABB1 A11所以 AE/ C1F ,由此得 D FBF3.再由 FDGFDADG3.111在Rt中, 由CD=1得 CGDC1D1G11116（）作 D1HC1G 于 H, 由三垂线定理知FHC1G,故D1HF为二面角 F-C G-D11即二面角 AC1GA1 的平面角 .在中, 由DG= 3GD得D1H3 .Rt HD1G1, H 162从而 tan D1HFD1 F32 .D1 H32解法二：（）由AD / DG1 知 C

15、1GD1 为异面直线AD 与 C1G 所成角（如图2）因为EC1C与平面 AAD与平面 AECG的交线 ，和 AF 是平行平面 BB1C11D11所以 EC1/ AF ,由此得AGA1EC1B1,AG1AA131 D1G3.4在Rt中, 由CD=1得 CGDC1D1G11116（） 在1 1中 , 由C1A1G=, A1GC=1知11为钝角。AC G46AC G作 A1HGC1交 GC1 的延长线于 H,连接 AH ，由三垂线定理知GHAH ,故为二面角 A-CG-A 的平面角 .A1HA11在RtA1HG中,由AG= 31, HGA得 A31.1161H2从而 tan A1HAA1A312

16、.A1H312解法三：（）以A1 为原点， A 1B1，A 1D1， A 1A所在直线分别为 x、 y、z 轴建立如图 3所示的空间直角坐标系，于是，A(0,0,31), C1 (1,1,0), D(0,1, 31), E(1,0,1),AD (0,1,0), EC1(0,1,1). 因为 EC1 和 AF 是平行平面BBC11C和AAD与平面 AECG的交线 ，所以EC1/ AF 设（ 0,y,0） ,则1D11AG (0, y,111,于是 y3 1.3).由 EC1 / AG13y故 G(0,13,0), C1G(1, 3,0) .设异面直线 AD 与 C1G 所成的角的大小为,则 :c

17、 o sA DC1G3.,从而6A DC1G2（）作 A1 HC1G H, 由三垂线定理知GHAH , 故 A1HA为二面角 A-C1G-A1的平面角 . 设 H （a,b,0） ,则 : A1 H( a, b,0), C1 H(a1,b1,0) .由 A1 HC1G 得:C1 H C1G0,由此得 a-3b=0. 又由 H,C ,G共线得 CH /CG,a 1b1 ,于是111133a b (31)0. 联立得 : a33 , b3 1.故H (33 ,31) ,4444由 A1H(33 )2(13) 21 3,A1A 13得 :442tan A1 HAA1A31.A1H3212（21）（本

18、小题满分12 分）已知定义域为R 的函数 f ( x)2xb 是奇函数。2x 1a（）求 a, b 的值；（）若对任意的tR ，不等式 f (t 22t)f (2t 2k)0 恒成立，求 k 的取值范围；解：（）因为 f ( x) 是奇函数，所以f ( x) =0，即 b10 b1 f ( x)12xa2a2x 112112a 2.又由 f（ 1） = -f （ -1）知4a1a（）解法一：由（）知f (x)12x11，易知 f ( x) 在 (,) 上2 2x 122x1为减函数。 又因 f ( x) 是奇函数， 从而不等式：f (t 22t ) f (2t 2k ) 0等价于 f (t 2

19、2t )f (2t 2k )f (k2t 2 ) ，因 f ( x) 为减函数，由上式推得：t 22tk2t 2即对一切 tR 有： 3t 22tk0，从而判别式412k0 k1 .3解法二：由（）知f (x)12x又由题设条件得：22x11t 22t12t 2k220 ，2t 22t 122t 2k 122即 ： (22 t2k 12)(1 2t 2 2t )(2t 2 2t 12)(1 22t 2 k ) 0 ，整理得23t 2 2t k1,因底数 2>1, 故: 3t22tk0上式对一切 tR 均成立，从而判别式412k0k1 .3（22）（本小题满分12 分）如图，对每个正整数n

20、 ，An ( xn , yn ) 是抛物线x24 y上的点，过焦点 F 的直线 FAn 交抛物线于另一点Bn (sn , tn ) 。（）试证：xn sn4(n1)；（） 取 xn2n ，并记Cn 为抛物线上分别以An 与Bn为切点的两条切线的交点。试证：FC1FC2FCn2n2n 11 ；证明：（）对任意固定的n1,因为焦点 F（ 0,1） ,所以可设直线An Bn 的方程为y1 kn x, 将它与抛物线方程x24y 联立得 :x24k x 40 ,由一元二次方程根与系数的关系得xnsn 4(n 1)n（）对任意固定的n1,利用导数知识易得抛物线 x24y 在 An 处的切线的斜率 kAxn

21、 , 故 x24y 在 An 处的切线的方程为：n2yynxn (xxn ) ， 2类似地，可求得x24y 在 B 处的切线的方程为：nytnsn ( xsn ) ， 2由得： yntnxnsnxxn2sn2xn2sn2，2244xnsn xxn2sn2,xxnsn 242将代入并注意xnsn4 得交点 Cn的坐标为 ( xnsn,1) 2222由两点间的距离公式得：FCn( xnsn ) 24xnsn2244xn242xn2 2), FCnxn24xn2(xn22xn现在 xn2n ，利用上述已证结论并由等比数列求和公式得：FC1FC2FCn1 ( x1 x2xn ) 2( 111 )2x1

22、x2xn122n111)(2n1) (21 n)n2n 11.(22 )2(2n2222222006 年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学（文史类）（编辑：ahuazi ）参考公式：如果事件 A、B 互斥，那么 P( A B)P( A)P(B)如果事件 A、 B 相互独立，那么 P( A B)P( A) P( B)如果事件 A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率：P (k)C k pk(1p)n knn一选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共 50 分。在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知集合 U= 1,2,3

23、,4,5,6,7 , A=2,4,5,7,B=3,4,5, 则 (痧A)(UB)（ D）U（ A ） 1,6（ B） 4,5（ C） 2,3,4,5,7（ D） 1,2,3,6,7解： (痧A)(UB) 1， 3， 6 1， 2， 6， 7 1， 2， 3， 6， 7故选 DU（2）在等差数列an中，若 an0 且 a3 a764 ， a5 的值为 (D)（A）2（B）4（C） 6（D ）8解： a3a7a52 64，又 an0，所以 a5 的值为 8，故选 D（3）以点（ 2， 1）为圆心且与直线3x 4 y5 0 相切的圆的方程为 (C)（ A ）（ C）( x 2)2( y 1)23（

24、B） ( x 2) 2( y 1)23( x 2)2( y 1)29（ D） (x 2)2( y 1)23解： r |324 （1）5| 3，故选 C3242（4）若 P 是平面外一点，则下列命题正确的是 (D)（ A ）过 P 只能作一条直线与平面相交（ B）过 P 可作无数条直线与平面垂直（ C）过 P 只能作一条直线与平面平行（ D）过 P 可作无数条直线与平面平行解：过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行，且这个平面内的任一条直线都与已知平面平行。故选D（5） 2x5B)3 的展开式中 x2 的系数为 (（ A ） 2160（B ） 1080（ C）1080（ D） 2160解：r

25、5rrr5rr5r ，由5 r 2 解得 r 3，故所求（）（ ）（ ）Tr 1C52x33 2 C5 x系数为322（3） 2C5 1080 故选 B（6）设函数 yf ( x) 的反函数为 yf1 (x) ，且 yf (2 x1) 的图像过点 (1,1) ，12则 yf 1( x) 的图像必过 (C)2（A） ( 1 ,1)（B） (1,1)（ C） (1,0)（D ） (0,1)22解：当 x 1 时， 2x1 0，即 yf（ x）的图象过点（0，1），所以 yf1 (x) 的图2像必过（ 1， 0）故选 C（7）某地区有 300 家商店，其中大型商店有30 家，中型商店有75 家，小型

26、商店有 195 家。为了掌握各商店的营业情况，要从中抽取一个容量为20 的样本。若采用分层抽样的方法，抽取的中型商店数是(C)（A ）2（B）3（C） 5（D）13解：各层次之比为： 3075195 2513，所抽取的中型商店数是5，故选 C（ 8）已知三点 A(2,3), B( 1, 1),C (6, k) ，其中 k 为常数。若 ABAC ，则 AB与AC的夹角为 ( D)（A ） arccos(24（B ）24)或 arccos25225（C） arccos 24（ D）或arccos 2425225解：由 ABAC 解得 k0 或 6，当 k0 时， AB 与 AC 的夹角为，当 k

27、6arccos 242时， AB 与 AC 的夹角为，故选 D25（9）高三（一）班学生要安排毕业晚会的4 个音乐节目， 2 个舞蹈节目和1 个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是(B)（A ） 1800（ B） 3600（ C） 4320（D） 5040解：不同排法的种数为A55 A62 3600，故选 B（10）若 ,(0,)，cos(2)3, sin()1，则 cos()的值等于 (B)2222（A ）3（B ）11（ D）322（ C）22解：由,(0, ) ，则（， ），（2， ），又224224cos()3)1， ， sin(2，所以2222626解得 ，

28、所以 cos(1) ，故选 B32（ 11）设 A( x1 , y1 ), B(4,9x2y21 上三个不同的点，),C (x2 , y2 )是右焦点为 F 的椭圆2595则“ AF , BF , CF 成等差数列”是“ x1x28”的(A)（A ）充要条件（ B）必要不充分条件（C）充分不必要条件（ D）既非充分也非必要解： a 5， b 3， c 4， e 4 ， F（ 4， 0），由焦半径公式可得|AF| 5 4x1，55|BF| 54 ×4 9 ，|CF|5 4x2，故 AF , BF , CF 成等差数列（5 4x1）5555（ 5 4 x2） 2× 9x1x28

29、故选 A55（12）若 a, b, c0 且 a22ab 2ac4bc12 ，则 abc 的最小值是 (A)（A）2 3（B）3（C）2（ D）3解：（ a b c）2 a2 b2 c2 2ab 2ac2bc 12（ b c）212，当且仅当b c 时取等号，故选A二填空题：本大题共4 小题，每小题 4 分，共 24 分。把答案填写在答题卡相应位置上。25，则 tan-2。（13）已知 sin，52解：由 sin255，cos5，所以 tan 225（14）在数列 a中，若 a11， an 1an 2(n1) ，则该数列的通项a2n-1。nn解：由 an 1an2(n 1) 可得数列 an 为

30、公差为2 的等差数列，又 a11，所以an 2n 1（15）设 a 0, a 1 ，函数 f ( x) log a (x22x3) 有最小值，则不等式 log a (x 1) 0 的解集为( 2 ,)。解：由 a 0, a1 ，函数 f ( x)loga (x22x3) 有最小值可知 a1，所以不等式 log a ( x1) 0 可化为 x 11，即 x2.x2y30（16）已知变量 x ， y 满足约束条件x3y30 。若目标函数 z axy （其中 a0 ）y10仅在点 (3,0) 处取得最大值，则a 的取值范围为 ( 1, )。2y解：画出可行域如图所示，其中B（ 3， 0），C（ 1，1），D（ 0，1），若目标函数 z axy 取得最大值，必在B， C，D 三点处取得，故有3a a 1 且 3a1，解得 a12x 2y3 0DCy1 0x 3y 3 0OBx：三解答题：本大题共6 小题，共 76 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分