数字信号处理基本概念

1、现代数字信号处理现代数字信号处理引论引论北京交通大学信息科学研究所引论v现代数字信号处理是基于统计判决理论的现代数字信号处理是基于统计判决理论的随机信号处理的进一步发展。随机信号处理的进一步发展。v随机信号用统计方法来研究，是从随机信号用统计方法来研究，是从2020世纪世纪4040年代军事科学的需要而迅速发展起来的。年代军事科学的需要而迅速发展起来的。北京交通大学信息科学研究所引论v4040年代，由维纳和科尔莫哥罗夫将随机过程和数年代，由维纳和科尔莫哥罗夫将随机过程和数理统计的观点引入通信、雷达和控制中，建立了理统计的观点引入通信、雷达和控制中，建立了维纳滤波理论。通过解维纳滤波理论。通过解W

2、iener-Wiener-HopfHopf方程，在最小方程，在最小均方误差准则下，求线性滤波器的最优传递函数。均方误差准则下，求线性滤波器的最优传递函数。19431943年，诺斯提出了最大输出信噪比的匹配滤波年，诺斯提出了最大输出信噪比的匹配滤波器理论，器理论，19461946年，科捷利尼科夫提出相关接收机年，科捷利尼科夫提出相关接收机理论。理论。5050年代香农信息论问世不久，伍德沃德年代香农信息论问世不久，伍德沃德(Woodward)(Woodward)提出后验概率接收机概念。后来密德提出后验概率接收机概念。后来密德尔顿尔顿(Middleton)(Middleton)提出风险理论准则。这一

3、阶段主提出风险理论准则。这一阶段主要是应用于通信技术的统计理论和估计理论的发要是应用于通信技术的统计理论和估计理论的发展和成熟。奠定了随机信号处理的主要理论基础。展和成熟。奠定了随机信号处理的主要理论基础。北京交通大学信息科学研究所引论自自2020世纪世纪6060年代后，随着八个方面的发展，形成了年代后，随着八个方面的发展，形成了现代数字信号处理的技术起步和大发展，这八个现代数字信号处理的技术起步和大发展，这八个方面是：方面是：（1 1）2020世纪世纪6060年代的卡尔曼滤波理论。这一理论年代的卡尔曼滤波理论。这一理论引进状态空间法，突破了噪声必须是平稳过程的引进状态空间法，突破了噪声必须是

4、平稳过程的限制。限制。（2 2）非参量检测与估计。发展了噪声特性基本未知）非参量检测与估计。发展了噪声特性基本未知情况下的随机信号处理。卡蓬情况下的随机信号处理。卡蓬(J. Gapon)于于19591959年年提出非参量检测与估计问题提出非参量检测与估计问题, ,汉森汉森(V.G.Hassan)在在7070年代提出年代提出“广义符号检测法广义符号检测法”。北京交通大学信息科学研究所引论（3 3）现代谱估计理论：基于）现代谱估计理论：基于FFTFFT的周期图法和的周期图法和BT (Blackman-Tukey)法的法的经典谱估计法存在分辨率经典谱估计法存在分辨率低的问题。低的问题。1967年伯格

5、年伯格(Burg)提出最大熵谱分析，提出最大熵谱分析，帕曾帕曾(Parzen) 1968年提出的自回归年提出的自回归(AR)模型谱估模型谱估计，以及后来发展的谐波分析法、最大似然法、计，以及后来发展的谐波分析法、最大似然法、AMAR和空间谱估计和空间谱估计(Music, Esprit)等，随机信号等，随机信号谱估计进入现代谱估计发展阶段。谱估计进入现代谱估计发展阶段。（4 4）非线性检测与估计，大多数火箭制导和控制问）非线性检测与估计，大多数火箭制导和控制问题的模型是非线性的。频率调制和相位调制，相题的模型是非线性的。频率调制和相位调制，相位检测和相参积累，实际上都是非线性检测与估位检测和相参

6、积累，实际上都是非线性检测与估计问题。计问题。北京交通大学信息科学研究所引论（5 5）自适应理论：）自适应理论：19671967年由年由B.WidrowB.Widrow提出，发展提出，发展迅速。它可以在缺乏信号和噪声先验统计知识的迅速。它可以在缺乏信号和噪声先验统计知识的情况下，实现均方意义下最佳滤波和预测。广泛情况下，实现均方意义下最佳滤波和预测。广泛应用于通信中的自适应均衡、雷达和声纳的波束应用于通信中的自适应均衡、雷达和声纳的波束形成、自适应噪声对消和自适应控制等方面。形成、自适应噪声对消和自适应控制等方面。（6 6）多维信号处理与分析：涉及多维变换、多维数）多维信号处理与分析：涉及多维

7、变换、多维数字滤波、多维谱估计，以及为实现多维信号处理字滤波、多维谱估计，以及为实现多维信号处理的器件结构及算法，如并行算法、流水线信号处的器件结构及算法，如并行算法、流水线信号处理以及人工神经网络等。理以及人工神经网络等。北京交通大学信息科学研究所引论（7 7）时频联合分析、多分辨率分析：即基于线性时）时频联合分析、多分辨率分析：即基于线性时频分析的频分析的STFTSTFT、GaborGabor和小波变换与分析、基于非和小波变换与分析、基于非线性时频分析的线性时频分析的Winger_Ville分布。分布。（8 8）非高斯信号处理：与以二阶统计量作为分析项）非高斯信号处理：与以二阶统计量作为分

8、析项的传统信号处理不同（因为一般传统随机信号处的传统信号处理不同（因为一般传统随机信号处理基本上将实际过程看成高斯或正态分析处理），理基本上将实际过程看成高斯或正态分析处理），是以非高斯信号的高阶量作为分析工具。是以非高斯信号的高阶量作为分析工具。 非高斯性分为两类：非高斯性分为两类：一类是所有时间内均为同一种非高斯概率分布；一类是所有时间内均为同一种非高斯概率分布；另一类是多数时间为一种高斯分布，少数时间为另一种另一类是多数时间为一种高斯分布，少数时间为另一种高斯分布或非高斯分布，后者用另种分布的数据作为高斯分布或非高斯分布，后者用另种分布的数据作为异常值处理异常值处理鲁棒参数估计鲁棒参数估

9、计, ,前者用高阶谱估计。前者用高阶谱估计。 北京交通大学信息科学研究所引论引论v2020世纪世纪8080年代后，光纤通信和激光技术的发展、年代后，光纤通信和激光技术的发展、基于量子信息、量子检测、量子估计理论的研究基于量子信息、量子检测、量子估计理论的研究和发展，又是一个新的领域。和发展，又是一个新的领域。v因此，现代信号处理包括信号检测、波形估计、因此，现代信号处理包括信号检测、波形估计、最优滤波、现代谱分析、时频分析、自适应理论、最优滤波、现代谱分析、时频分析、自适应理论、非高斯信号的高阶谱估计等广泛内容，是现代信非高斯信号的高阶谱估计等广泛内容，是现代信息论、控制论、系统论的重要分支。

10、息论、控制论、系统论的重要分支。 北京交通大学信息科学研究所v匹配滤波匹配滤波- -最大输出信噪比最大输出信噪比v相关接收机相关接收机- -最小均方误差准则下，互相关函数最最小均方误差准则下，互相关函数最大大v后验概率接收机后验概率接收机- -后验概率择大准则，即条件概率后验概率择大准则，即条件概率 信号瞬时功率最大噪声平均功率( / )( )( )p s xx ts t最大，接收信号，理想信号北京交通大学信息科学研究所引论v从回波检测目标、去噪中利用多普勒信号将运动从回波检测目标、去噪中利用多普勒信号将运动物体与固定体区分、不同运动速度物体在频域上物体与固定体区分、不同运动速度物体在频域上区

11、分。这一区分又是通过回波信号和发射信号间区分。这一区分又是通过回波信号和发射信号间的相位差实现的。即运动体的相位差是随机的，的相位差实现的。即运动体的相位差是随机的，固定体的相位差是固定的，因此通过相位检测实固定体的相位差是固定的，因此通过相位检测实现。现。v相参积累相参积累包络检波前，将多个回波脉冲叠加，包络检波前，将多个回波脉冲叠加，需要严格的相位关系。需要严格的相位关系。v在包络检波后的累积，由于只有幅度累积，无相在包络检波后的累积，由于只有幅度累积，无相位信息，故又称非相参积累。位信息，故又称非相参积累。北京交通大学信息科学研究所引论本课分八章本课分八章v第一章第一章 数字信号处理基本

12、概念数字信号处理基本概念v第二章第二章 随机信号分析基础随机信号分析基础v第三章第三章 平稳随机信号的随机模型平稳随机信号的随机模型v第四章第四章 波形估计波形估计v第五章第五章 功率谱估计功率谱估计v第六章第六章 自适应滤波自适应滤波v第七章第七章 小波分析和小波变换小波分析和小波变换第一章第一章 数字信号处理基本概念数字信号处理基本概念北京交通大学信息科学研究所Contents概述概述1离散时间信号离散时间信号2信号的信号的Fourier变换变换3离散时间系统离散时间系统4Z Z变换变换56系统函数系统函数北京交通大学信息科学研究所v 信号与信息处理信号与信息处理信息获取、处理（加信息获取

13、、处理（加工）、存储、传输、显示的学科。工）、存储、传输、显示的学科。v 一级学科一级学科 二级学科二级学科v 模式识别与智能系统模式识别与智能系统v 人机交互工程人机交互工程 通信系统工程信息通信工程信号与信息处理北京交通大学信息科学研究所1.1 概述概述v信号信号信息的载体。可表现为时间或空间的函信息的载体。可表现为时间或空间的函数，例如语音信号表示成一维时间函数数，例如语音信号表示成一维时间函数s(ts(t) )，图，图像为一个二维空间的灰度（亮度）函数像为一个二维空间的灰度（亮度）函数g(x,yg(x,y) )，视频为二维空间加时间维的三维函数视频为二维空间加时间维的三维函数f(x,y

14、,tf(x,y,t) )。v信号形式信号形式模拟-时间幅度均为连续连续信号量化-时间连续,幅度离散取样-时间离散,幅度连续离散信号-序列数字-时间离散,幅度离散北京交通大学信息科学研究所1.1 概述v 信号的分类信号的分类 除连续、离散两大类区分信号外，常见的分类除连续、离散两大类区分信号外，常见的分类还有：还有： 1 1）周期信号和非周期信号）周期信号和非周期信号 若若 x(n)=x(nkN), k,N 均为正整数均为正整数 x(n)为周期函数，否则为非周期函数为周期函数，否则为非周期函数 2 2）因果信号与非因果信号）因果信号与非因果信号 当当n0时，时，h(n)=0, , 则称则称h(n

15、)为因果的，否则为非因果的。为因果的，否则为非因果的。北京交通大学信息科学研究所1.1 概述 3)3)确定性信号与随机信号确定性信号与随机信号 x(n)在任意时刻在任意时刻n的值都能被精确确定，则称的值都能被精确确定，则称为确定性信号；反之，若信号随时间变化是随机为确定性信号；反之，若信号随时间变化是随机的，没有确定规律，则称之为随机信号。的，没有确定规律，则称之为随机信号。 4 4）一维信号与多维信号及多通道信号）一维信号与多维信号及多通道信号 x(n)一维信号（例：声音）一维信号（例：声音） x(m,n)二维信号（如：图像）二维信号（如：图像） X=x1(n),x2(n),xm(n)Tm维

16、信号维信号 若若m表示通道数，如心电圈，表示通道数，如心电圈，1212个电极给出个电极给出1212个个导联信号，不仅要看导联心电图的形态，还要检导联信号，不仅要看导联心电图的形态，还要检查各个导联间的关系。查各个导联间的关系。北京交通大学信息科学研究所1.1 概述一维、多维、多通道信号又都可对应确定性、随机一维、多维、多通道信号又都可对应确定性、随机性、周期与非周期信号、能量信号与功率信号。性、周期与非周期信号、能量信号与功率信号。 5)5)能量信号与功率信号能量信号与功率信号 能量为有限的信号能量为有限的信号能量信号能量信号如：如：22( ),( )ft dtEfnE北京交通大学信息科学研究

17、所1.1 概述 信号功率为有限值的信号信号功率为有限值的信号功率信号功率信号 如：如： 2T1Plim|f(n)|Tnf(n)e为非能量和功率信号为非能量和功率信号北京交通大学信息科学研究所1.1 概述v数字信号处理研究领域数字信号处理研究领域 1 1）信号采集：采集、量化、多抽样率、量）信号采集：采集、量化、多抽样率、量化噪声等。化噪声等。 2 2）信号分析（时、频域）：信号的特征分）信号分析（时、频域）：信号的特征分析。析。 3 3）信号变换：各种变换方法（如傅里叶变）信号变换：各种变换方法（如傅里叶变换、换、z z变换、小波变换等）。变换、小波变换等）。 4 4）信号编码：语音、图像信号

18、的压缩编码）信号编码：语音、图像信号的压缩编码等。等。 5 5）信号估值：估值理论、相关、功率谱估）信号估值：估值理论、相关、功率谱估计。计。北京交通大学信息科学研究所1.1 概述 6 6）离散时间系统的分析：系统的描述、频）离散时间系统的分析：系统的描述、频率特性、稳定性。率特性、稳定性。 7 7）信号滤波：各种滤波器的设计及应用，）信号滤波：各种滤波器的设计及应用，最优化滤波等。最优化滤波等。 8 8）快速算法：）快速算法：FFTFFT，FWTFWT等。等。 9 9）信号建模：）信号建模：ARAR、MAMA、ARMAARMA模型，谐波模模型，谐波模型等。型等。 1010）非线性信号处理：神

19、经网信号处理等。）非线性信号处理：神经网信号处理等。 1111）硬件实现技术：）硬件实现技术：DSPDSP，ASICASIC，通用或专，通用或专用芯片，并行处理技术用芯片，并行处理技术。北京交通大学信息科学研究所1.1 概述 1212）应用研究：雷达，水声，振动，语音，）应用研究：雷达，水声，振动，语音，图像，生物等信号处理图像，生物等信号处理 不仅是有电子信息设备的地方，有不仅是有电子信息设备的地方，有DSPDSP的应用，还可以说只要有数据的地方，都的应用，还可以说只要有数据的地方，都可以有可以有DSPDSP的应用。的应用。北京交通大学信息科学研究所1.2 1.2 离散时间信号离散时间信号v

20、1.2.1典型的序列信号典型的序列信号 1 单位抽样序列单位抽样序列 性质：性质： 偶函数偶函数 筛选筛选 0,0( )1,0nnn1.2 离散时间信号( )n( )()nn( ) ()( ) ()f nnkf knk( ) ()( )nf nnkf k( ) ()( )nf knkf n任意信号与抽样序列的卷任意信号与抽样序列的卷积等于函数本身。积等于函数本身。0,0( ),( )1,0ttt dtt 相当于连续系统中的单位冲激信号。相当于连续系统中的单位冲激信号。( )n北京交通大学信息科学研究所1.2 1.2 离散时间信号离散时间信号 区别在：区别在： 在在n=0n=0点幅度为点幅度为1

21、 1，无尺度变换，无尺度变换 的面积为的面积为1 1，可尺度变换。，可尺度变换。 2 2 脉冲序列脉冲序列 3 3 单位阶跃信号单位阶跃信号( )n1.2 离散时间信号( )()kp nnk( )p n1,0( )0,0nu nn0( )()( )( )(1)ku nnknu nu n)(t北京交通大学信息科学研究所1.2 1.2 离散时间信号离散时间信号 4 4 正弦序列正弦序列 5 5 复指数序列（复正弦序列）复指数序列（复正弦序列） 6 6 实指数序列实指数序列 00( )sin(),x nAnA幅度频率初始相位00(j)n00(j) +jn00( )ee cos()jsin()( )e

22、e cos()jsin()nnx nnnx nnn( )nx na北京交通大学信息科学研究所1.2 1.2 离散时间信号离散时间信号1.2.2 1.2.2 信号的基本运算信号的基本运算 1 1）序列相加）序列相加 2 2）序列相乘）序列相乘 3 3）序列乘常数（放大、缩小）序列乘常数（放大、缩小） 4 4）序列移位）序列移位12( )( )( )y nx nx n1.2 离散时间信号1( )x n2( )x n12( )( )( )y nx n x n1( )x n2( )x n( )( ),y nCx n C为常数( )( )( )Cx ny nCx n00( )(),y nx nnn序列左

23、移00( )(),y nx nnn序列右移( )x n(1)x n( )x n(1)x n北京交通大学信息科学研究所1.2 1.2 离散时间信号离散时间信号 5 5）重排）重排 抽取抽取 插入插入 如下图所示：如下图所示：1.2 离散时间信号e( )(2 ),(n)( )( ),(n)2dxnxnxnx nxx取的一半取点的二倍x(n) 0 2 1 1.5 0.5 0 -1 0 1 2 3 4 5 n-1x (2n) 0 2 1.5 0.5 0 0 0 -1 0 1 2 3 4 5 nx(n/2) 0 2 1 05 0.5 0 -2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n北京交通大学

24、信息科学研究所1.2 1.2 离散时间信号离散时间信号 6 6）卷积）卷积 7 7）相关）相关 自相关函数自相关函数 互相关函数互相关函数 由卷积定义，有由卷积定义，有 121221( )( )*( )( )()( )()mmy nx nx nx m x nmx m x nm( )( ) ()( -) ( )xynnRmx n y nmx n m y n( )( ) ()( ) ()xnnR mx n x nmx n x nm( )( )* (),( )( )* ()xxyR mx mxmRmx mym北京交通大学信息科学研究所1.2 1.2 离散时间信号离散时间信号1.2.3 1.2.3 抽

25、样定理抽样定理 1 1 连续时间信号采样连续时间信号采样 2 2 取样定理取样定理x(t)x(nT)x(t)x(nT)p(t)()( )( )( )()() ()nnx nTx tp tx ttnTx nTtnT( ):x t 的傅里叶变换( )( )j tXx t edt1( )( )2j tx tXed北京交通大学信息科学研究所1.2 1.2 离散时间信号离散时间信号( )()mp ttmT由于为周期信号由周期信号的傅里叶级数展开：由周期信号的傅里叶级数展开：( )sjntnmp tF e/2-/211( )sTjntnTFp t edtTT1( )sjmtmp teT所以采样后的频谱为：

26、所以采样后的频谱为：s2TT为周期基频， 为采样周期北京交通大学信息科学研究所1.2 离散时间信号- ()1( )( ) ( )( )11( )()ssjmtj tj tmjmtsmmXx t p t edtx teedtTx t edtXmTT( )X( )X( )snpF和的图如下X( )R-Rs2s( )spX( )RR-s-sR- sR+北京交通大学信息科学研究所1.2 1.2 离散时间信号离散时间信号 显然要使频谱不发生混叠，必须显然要使频谱不发生混叠，必须著名的著名的shannon采样定理采样定理 Nyguist采样频率采样频率 Nyguist频率频率 Nyguist折叠频率折叠频

27、率 RsR- sR2sR2/s北京交通大学信息科学研究所1.3 1.3 信号的信号的Fourier变换变换 1822 1822年年, ,任意一个函数任意一个函数x(t)都可以分解为都可以分解为无穷多个不同频率的正弦信号的和。无穷多个不同频率的正弦信号的和。1.3.1 1.3.1 连续时间信号的连续时间信号的FTFT 1. 1. 周期连续时间信号的周期连续时间信号的FTFT（即（即FSFS） 设信号设信号x(t)的周期为的周期为T T，其，其FSFS定义为：定义为： 0001()( )TjktX kx t edtT （1.3.1）02,0, 1,.,kT式中北京交通大学信息科学研究所1.3 1.

28、3 信号的信号的Fourier变换变换 反变换反变换IFSIFS为为 由前节知，周期信号的频谱是线谱（离散谱）由前节知，周期信号的频谱是线谱（离散谱） 2 2 非周期连续时间信号的非周期连续时间信号的FTFT 若若x(tx(t) )是绝对可积的，即是绝对可积的，即 则其则其FTFT存在存在 从周期信号的从周期信号的FTFT知，当知，当 周期周期- -非周期非周期00( )()jktkx tX ke （1.3.2）| ( )|x tdt （1.3.3）T 000,0,k()即谱线间隔连续 北京交通大学信息科学研究所1.3 1.3 信号的信号的Fourier变换变换 012T 00()()X kX

29、频谱密度 0000T002T22()X()lim()Tlimlim( )( )Tjktj tTX kX kx t edtx t edt 同理，同理，IFTIFT可由以下推导得到：可由以下推导得到：00( )()jktkx tX ke 00(k) 0 TTk|,|k 北京交通大学信息科学研究所1.3 1.3 信号的信号的Fourier变换变换000T0()( )lim( k)1( )2jktkj tX kx teXed 即X()( )jtx t edt 1( )()2jtx tXed （1.3.4）（1.3.5）北京交通大学信息科学研究所1.3 1.3 信号的信号的Fourier变换变换1.3.

30、2 1.3.2 离散时间信号的离散时间信号的FTFT 1 1 将式将式(1.3.1)，式，式(1.3.2)的的t nT, ,则可得则可得 周期信号的离散周期信号的离散Fourier级数（级数（DFSDFS） 时域、频域均为离散的周期形式时域、频域均为离散的周期形式21N021N0( )( )1( )( )NjknnNjknkX kx n ex nX k eN （1.3.6）（1.3.7）北京交通大学信息科学研究所1.3 1.3 信号的信号的Fourier变换变换 2 2 非周期离散时间信号非周期离散时间信号x(nx(n) )的的FTDTFTFTDTFT 将将(1.3.4)，(1.3.5)式中的

31、式中的t nT， 则得非周期则得非周期x(n)的的FTFT 时域离散，频域周期连续时域离散，频域周期连续 T T ()( )1( )()2jj nnjj nX ex n ex nX eed （1.3.8）（1.3.9）北京交通大学信息科学研究所1.3 1.3 信号的信号的Fourier变换变换1.3.3 1.3.3 离散离散FourierFourier变换变换 DFTDFT DFS DFS在频域及时域各取一个周期（或称主在频域及时域各取一个周期（或称主值区间）则得：值区间）则得： 利用利用 的对称性、周期性、可约性的对称性、周期性、可约性 DFT FFTDFT FFT（快速算法）（快速算法）1

32、010( )( )1( )( )NnkNnNnkNkX kx n Wx nX k WN （1.3.10）（1.3.11）,0,1,2.,1k nN2jNNWe nkNW北京交通大学信息科学研究所1.3 1.3 信号的信号的Fourier变换变换小结小结( )x t( )x n( )x n( )X k( )X k()jX e( )X z()kX zt=nT,T=1sin()()()tnTTx nTtnTT ( ( )Nx n( )NR nDFSIDFSZ域取样( )NRk( )NX k时域取样( )*X k内插函数2kN单位圆取样jz=rejz=ekkzA Z变换取样DFT0，N-1上DFS周期

33、 DTFS2Z变换Chirp Z变换()()sX jX j tnT ,j TT je DTFT北京交通大学信息科学研究所1.3.4 DFT1.3.4 DFT的性质的性质 1 1 线性线性 2 2 移位移位 时域调制时域调制 频移频移 3 3 对称性对称性 1）x(n)为奇序列为奇序列, ,即即 则则 2）x(n)为偶序列为偶序列, ,即即 则则312( )( )( )x nx nx n312( )( )( )XkX kXk00 ()( )()( )mkNk nNDFT x nmWX kIDFT X kkWx n ( )()x nxn ( )()X kXk ( )()x nxn( )()X kX

34、k1.3 信号的信号的Fourier变换变换北京交通大学信息科学研究所 4 4 虚实性虚实性实数虚数实数虚数偶奇偶奇奇偶奇偶( )x n( )x n( )X k( )X k1.3 信号的信号的Fourier变换变换北京交通大学信息科学研究所 5 5 循环卷积循环卷积6 6 序列初值序列初值 312312( )( )( )( )( )( )x nx nx nXkX k Xk 123( ),( ),( )Nx n x n x n 均为 点圆周卷积101( )NkxX kN(0)= 1.3 信号的信号的Fourier变换变换北京交通大学信息科学研究所 7 7 序列总和序列总和 8 8 帕斯瓦尔定理帕

35、斯瓦尔定理100( )|(0)( )NknX kXx n 1122001( )|( )|NNnkx nX kN 1.3 信号的信号的Fourier变换变换北京交通大学信息科学研究所1.4 1.4 离散时间系统离散时间系统1.4.1 1.4.1 基本概念基本概念 离散时间系统离散时间系统从输入离散时间信号（序列）从输入离散时间信号（序列）到输出离散时间信号（序列）的变换到输出离散时间信号（序列）的变换 y(n)=Tx(n) Tx(n）y(n)北京交通大学信息科学研究所1.4.2 1.4.2 离散时间系统的线性和时不变性离散时间系统的线性和时不变性 1 1 线性系统线性系统 若若 则有则有 2 2

36、 时不变系统时不变系统 若若y(n)=Tx(n) 则则Tx(n-k)=y(n-k) 3 3 线性时不变系统线性时不变系统（LSI, Linear Shift Invariant） 兼具有线性和时不变性兼具有线性和时不变性1122( ) ( )( )( )y nT x ny nT x n 121212( )( ) ( )( )( )( )T ax nbx naT x nbT x nay nby n1.4 离散时间系统离散时间系统北京交通大学信息科学研究所1.4.3 1.4.3 离散时间系统的单位冲激响应离散时间系统的单位冲激响应 1 概念概念 输入为单位取样信号输入为单位取样信号 ，离散系统对应

37、的输，离散系统对应的输出响应出响应单位冲激响应单位冲激响应 h(n)。 对一个对一个LSILSI，输入为，输入为x(nx(n) )时，系统输出为：时，系统输出为：( )n( )( ) ( )h ny nTn( ) ( )( ) ()( ) ()( ) ()( )* ( )kkky nT x nTx knkx k Tnkx k h nkx nh n 1.4 离散时间系统离散时间系统h(n)T( )n北京交通大学信息科学研究所 2. IIR2. IIR系统和系统和FIRFIR系统系统 IIRIIR：h(nh(n) )无限长，输出反馈系统无限长，输出反馈系统 FIRFIR：h(nh(n) )有限长，

38、无输出反馈系统有限长，无输出反馈系统 3. 3. 因果系统因果系统 y(ny(n) )取决于现在和过去时刻的取决于现在和过去时刻的x(n),x(n-1),x(n-2),x(n),x(n-1),x(n-2),x(n-mx(n-m) )，而与将来，而与将来输入无关。输入无关。 定理：一个线性时不变系统是因果系统的定理：一个线性时不变系统是因果系统的充要条件是：当充要条件是：当n0n0时，时，h(nh(n)=0)=01.4 离散时间系统离散时间系统北京交通大学信息科学研究所1.4.4 离散时间系统的频响 一、正弦（信号）序列输入的稳态响应，一、正弦（信号）序列输入的稳态响应，仍为正弦频率序列，且是幅

39、度和相位发生仍为正弦频率序列，且是幅度和相位发生变化，反映系统的频响特性。变化，反映系统的频响特性。 设输入序列设输入序列 对对LSILSI系统的输出响应为系统的输出响应为 令令 系统函数系统函数( )j nx ne ()( )( )( )jn kj nj kkky nh k eeh k e()( )jj kkHh kee 1.4 离散时间系统离散时间系统北京交通大学信息科学研究所arg()()()() |()|jjjjjjHRIHHjHHeeeeee实部虚部幅度（偶）相位（奇）(2 )jkj k由于ee 二二 是是 的周期函数，故可傅里叶级数展开的周期函数，故可傅里叶级数展开 扩广到一般序列

40、扩广到一般序列()jHe1( )()2jj nh nHdee ()( )1( )()2jj nnjj nX ex n ex nX eed 序列的频谱序列的频谱即为式即为式( (1.3.8)和和( (1.3.9) DTFT/IDTFT1.4 离散时间系统离散时间系统北京交通大学信息科学研究所1.4离散时间系统离散时间系统 由 即频域中输出即频域中输出=输入乘系统频响，输入乘系统频响， 时域卷积时域卷积频域相乘频域相乘( )() ( )jy nHx ne ()( )() ( )()( )()()jj njj nnnjj njjnY ey n eH ex n eH ex n eH eX e 北京交通

41、大学信息科学研究所1.4离散时间系统离散时间系统1.4.5 LSI1.4.5 LSI系统的稳定性系统的稳定性 一个一个LSILSI系统是稳定的充要条件是系统是稳定的充要条件是 证：充分性：证：充分性： x(n)有界，有界， 则有则有 即即y(n)有界，故充分性得证。有界，故充分性得证。 必要性：必要性：（即系统稳定，即系统稳定， 成立）成立）| ( )|nh n | ( )| |( ) ()| ( )| ()|kky nx k h nkx kh nk| ( )|x nR | ( )| ()|y nRh nk | ( )|nh n 北京交通大学信息科学研究所1.4 离散时间系统离散时间系统 设一

42、有界信号为设一有界信号为 有有 可见，可见， 必要性得证。必要性得证。(),| ( )| 0| ()|( )0,hnh nhnx n其他 2( )(0)( ) ()( )| ( )|( )| ( )| ( )|kkkkh kyh k xkh kh kh kh kh k | ( )|nh n 北京交通大学信息科学研究所1.5 Z变换变换1.5.1 Z1.5.1 Z变换定义变换定义序列序列x(n)的双边的双边z z变换定义为：变换定义为： 单边单边z z变换为：变换为：( )( )nnX zx n z 0( )( ),njnX zx n zzre ()( )jnj nnXx n ree 1,|z|

43、 1DTFTr即时，北京交通大学信息科学研究所1.5 Z变换变换1.5.2 Z1.5.2 Z变换收敛域变换收敛域ZZ变换收敛的变换收敛的z z值集合值集合 条件条件 绝对可和绝对可和 由于乘上由于乘上 ，比较，比较DTFTDTFT容易收敛容易收敛 例例 x(n)=u(n), DTFTDTFT不收敛不收敛 但但z z变换仍可收敛，只要变换仍可收敛，只要 即即u(n) z变换的收敛域为变换的收敛域为 | ( )|nnx n r nr| | 1,| 1rz即| 1z 北京交通大学信息科学研究所1.5 Z变换变换v几种典型序列的几种典型序列的Z变换收敛域变换收敛域 1 右边序列右边序列 第一项第一项z

44、为任何有限值时收敛，为任何有限值时收敛， 第二项级数要求第二项级数要求 若若 ，则，则 处不收敛处不收敛 若若 ，则，则 处收敛处收敛1110( )( )( )( )nnnn nn nnX zx n zx n zx n z1| |xzzR10n z 10n z 北京交通大学信息科学研究所1.5 Z变换 由此可见，由此可见， a. 右边序列的收敛域是半径为右边序列的收敛域是半径为 的圆的外的圆的外部，反之，收敛域为一个圆外部的序列为部，反之，收敛域为一个圆外部的序列为右边序列。右边序列。 b. 因果序列因果序列: 收敛，反之，收敛域为收敛，反之，收敛域为一个圆外部且包括一个圆外部且包括 的序列为

45、因果序的序列为因果序列。列。 c. 若若x(n)的收敛域延伸到单位圆内的收敛域延伸到单位圆内|r|a 而而 为有限时宽，为有限时宽，ROC为整个为整个z z平面。平面。 ( )( )( )( ),|Z ax nby naX zbY z RzRmax,xyxyRRRRmin RR( )(1)( )nna u na u nn( )na u n(1)na u n( )n北京交通大学信息科学研究所1.5 Z1.5 Z变换变换 2 2）移位）移位 n0为正时，引入零点为正时，引入零点z=0z=0 引入极点引入极点z=z= n0为负时，则相反。为负时，则相反。 3 3）乘指数序列）乘指数序列 （尺度变换）

46、（尺度变换） 00 ()( ),|nZ x nnz X z RzR1( )()nZ a x nX a z| | |aRzaRaa正实数零极点沿径向移动为复数| |=1，沿圆周变化北京交通大学信息科学研究所1.5 Z变换 4 4）X(zX(z) )的微分（原序列乘的微分（原序列乘n)n) 5 5）初值定理）初值定理 若若x(nx(n) )为右边序列，则为右边序列，则 6 6）序列卷积）序列卷积( )( )dX zZ nx nzdz (0)lim( )lim ( )nzzxX zx n z( )( ) ()kw nx k y nk( )( ) ( )W zX z Y z北京交通大学信息科学研究所1

47、.5 Z变换 证：证： ROC类似于线性组合，即类似于线性组合，即X(z)Y(z)的交集。的交集。 7 7）复卷积定理）复卷积定理 设设 则则 令令 代入上式，则有代入上式，则有()()( )( )( ) ()( )()( ) ( )nn kknnkkn kknW zw n zx k y nk zzx k zy nk zX z Y z ( )( ) ( )w nx n y n11( )() ( )2zW zXY V v dvjV|xyxyR RzR R,jjVfezre()1( )() ()2jjrW zXeY fedf 为 的周期函数循环卷积北京交通大学信息科学研究所1.6 1.6 系统函数

48、系统函数1 1 连续时间域的系统函数连续时间域的系统函数 ,stLLLdiULiedt,( )stLLULseZsLs则则1,tstCCCUi dt ieC则则11,( )stCCUeZsCsCsLLLCC1( )Z sLsCs串联谐振串联谐振1( )0,Z ssjLC C21( )11LsZ sLCsCsLs并联谐振并联谐振1( ),Z ssjLC 北京交通大学信息科学研究所1.6 1.6 系统函数系统函数1LC1LC串联谐振sj1LC1LC并联谐振物理意义：零点物理意义：零点网络短路时自由震荡频率。网络短路时自由震荡频率。 极点极点网络开路时自由震荡频率。网络开路时自由震荡频率。北京交通大

49、学信息科学研究所1.6 1.6 系统函数系统函数输入到输出的映射或变换输入到输出的映射或变换称为系统函数称为系统函数 一般形式为：一般形式为： 由于由于所以除实轴外，所以除实轴外，s s平面上零极点共轭对称分布平面上零极点共轭对称分布可实现物理系统可实现物理系统1011100110(). 1( ). 1()nnnjjmmmiissa sa sH sb sb sss零点极点*()()2cossts tjtjtteeeeet00不稳定稳定北京交通大学信息科学研究所1.6 1.6 系统函数系统函数v对于稳定系统，极点分布在左半平面对于稳定系统，极点分布在左半平面 由于由于 则有以下对应则有以下对应,

50、jjjzrereeeS平面Z平面S平面的虚轴对应平面的虚轴对应Z平面的单位圆。平面的单位圆。S平面的左半平面对应平面的左半平面对应Z平面的单位圆内。平面的单位圆内。北京交通大学信息科学研究所1.6 系统函数2 2、离散时间域的系统函数、离散时间域的系统函数 一个线性非移变系统输出一个线性非移变系统输出/ /输入的映射为输入的映射为 系统函数系统函数 系统频响系统频响 因此，若系统函数的收敛域为包括单位圆的因此，若系统函数的收敛域为包括单位圆的环状区域环状区域稳定。稳定。 反之，系统稳定收敛域必然为包括单位圆的反之，系统稳定收敛域必然为包括单位圆的环，对于稳定的因果系统，收敛域应为包括环，对于稳

51、定的因果系统，收敛域应为包括单位圆的整个圆外平面，包括单位圆的整个圆外平面，包括( )( )* ( )y nh nx n( )( )( )Y ZH Z X Z( )H Z| 1Z ()jH ez 北京交通大学信息科学研究所1.6 1.6 系统函数系统函数3.3.离散时间系统的系统函数的一般形式离散时间系统的系统函数的一般形式 一个线性移不变系统的差分方程为一个线性移不变系统的差分方程为 对应的对应的z变换的表达式为：变换的表达式为：00()()NMkkkka y nkb x nk00( )( )NMkkkkkka z Y Zb zX Z10011010(1)( )( )( )(1)MMkkkk

52、kNNkkkkkb zc zbY ZH ZX Zad za z系统函数系统函数北京交通大学信息科学研究所1.6 1.6 系统函数系统函数 即每项对应一个指数序列即每项对应一个指数序列 单位单位z z变换变换 共轭项对应一个正弦序列。共轭项对应一个正弦序列。 极点反映波形特征，零点仅影响幅度和相位。极点反映波形特征，零点仅影响幅度和相位。11( )1H Zaz( )( )nh na u n北京交通大学信息科学研究所1.6 1.6 系统函数系统函数4 4 系统函数的零极点表示系统函数的零极点表示 系统频响的几何表示系统频响的几何表示021r12r120120()jjjreH er e到零点的极坐标

53、表示到极点的极坐标表示一般形式为一般形式为0101()ijMjijiNjjjrebH ear e显然1111|()|,arg()MMNijjiijNijjjrH eH er北京交通大学信息科学研究所1.6 1.6 系统函数系统函数5 5 逆系统逆系统 即 显然，该系统的对数幅度、相位和群延时都显然，该系统的对数幅度、相位和群延时都是原系统相应函数的负值。是原系统相应函数的负值。 因果因果( )iH z( )( )1( )*( )(iiH z H zh nh nn 11( ),()( )()jiijH ZH eH ZH e101101(1)( )()(1)MkkNkkc zbH Zad z101

54、101(1)( )()(1)NkkiMkkd zaH Zbc z| max |kkzd北京交通大学信息科学研究所1.6 1.6 系统函数系统函数 即即 的极点就是的极点就是 的零点。反之的零点。反之亦然。要使亦然。要使 式成立，根据线性卷积定理，式成立，根据线性卷积定理，必须必须 和和 有重合的收敛域。有重合的收敛域。例1.6.1 ROC是 ， 其逆函数其逆函数 因果稳定 ROC可有两种可能 或 显然，唯选 才与 有交集。故有 因果且稳定( )H z( )iH z( )( )iH Z( )H Z111 0.5( )1 0.9zH zz| 0.9z 111 0.9( )1 0.5izH zz| 0.5z | 0.5z | 0.5z | 0.9z 1( )(0.5)( )0.9(0.5)(1)nnih nu nu n北京交通大学信息科学研究所1.6 1.6 系统函数系统函数例1.6.2 ROC可为可为 冲激相应分别为：冲激相应分别为： 显然，显然， 稳定但非因果。稳定但非因果。 因果但非稳定。因果但非稳定。110.5( )1 0.9zH zz| 0.9z 11111 0.92 1.8( )0.51 2izzH zzz | 2,| 2zz11( )2(2)(1) 1.8(2)(),| 2nnihnununz 12( )2(2)( ) 1.8(2)(1),|