第二章 单自由度系统振动

1、第2章 单自由度系统的振动机械振动与模态分析机械振动与模态分析西南交通大学牵引动力实验室西南交通大学牵引动力实验室第第2 2章章 单自由度系统的振动单自由度系统的振动 张立民第2章 单自由度系统的振动第第2 2章章 单自由度系统的振动单自由度系统的振动 2.1 2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动 2.2 2.2 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 2.3 2.3 单自由度系统的工程应用单自由度系统的工程应用 第2章 单自由度系统的振动第第2 2章章 单自由度系统的振动单自由度系统的振动 2.1 2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动 第2章 单自由度系

2、统的振动2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动 正如第一章所述，振动系统可分为正如第一章所述，振动系统可分为离散模型离散模型和和连连续模型续模型两种不同的类型。离散模型具有有限个自由度两种不同的类型。离散模型具有有限个自由度，而连续模型则具有无限个自由度。，而连续模型则具有无限个自由度。 系统的自由度定义为能完全描述系统运动所必系统的自由度定义为能完全描述系统运动所必须的独立的坐标个数。须的独立的坐标个数。 在离散模型中，最简单的是在离散模型中，最简单的是单自由度线性系统单自由度线性系统，它用一个二阶常系数常微分方程来描述。这类模型常它用一个二阶常系数常微分方程来描述。这类模型常

3、用来作为较复杂系统的初步近似描述。用来作为较复杂系统的初步近似描述。第2章 单自由度系统的振动第2章 单自由度系统的振动2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动第2章 单自由度系统的振动第2章 单自由度系统的振动2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动第2章 单自由度系统的振动第2章 单自由度系统的振动2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动第2章 单自由度系统的振动 构成构成离散模型离散模型的的元素元素有三个，有三个，弹性元件弹性元件、阻尼元件阻尼元件和和惯惯性元件性元件。第2章 单自由度系统的振动2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动第2章

4、 单自由度系统的振动第2章 单自由度系统的振动通常假定弹簧为无质量元件。如图通常假定弹簧为无质量元件。如图2-1(a)所示，弹簧力所示，弹簧力Fs 与其相与其相对变形对变形 x2-x1的典型函数关系如下图的典型函数关系如下图2-1（b）所示。所示。 图图2-1 2-1 弹簧模型弹簧模型2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动 当当x2-x1 比较小时，可以认为弹簧力与弹簧变形量成正比，比较小时，可以认为弹簧力与弹簧变形量成正比，比例系数为图中曲线的斜率比例系数为图中曲线的斜率k，如果弹簧工作于弹簧力与其相，如果弹簧工作于弹簧力与其相对变形成正比的范围内，则称弹簧为对变形成正比的范围

5、内，则称弹簧为线性弹簧线性弹簧，常数称为，常数称为弹簧弹簧常数常数k ，或，或弹簧刚度弹簧刚度。一般用。一般用k 表示。单位为（表示。单位为（N/m）。）。 第2章 单自由度系统的振动阻尼元件阻尼元件通常称为通常称为阻尼器阻尼器，一般也假设为无质量。，一般也假设为无质量。 常见的阻尼模型三种形式常见的阻尼模型三种形式: (a) (b) c 0 斜率 c dF 1x 2x dF 12xx dF 图图2-22-2阻尼模型阻尼模型 阻尼元件阻尼元件由物体在粘性流体中运动时受到的阻力所致的粘滞阻尼。由物体在粘性流体中运动时受到的阻力所致的粘滞阻尼。由相邻构件间发生相对运动所致的干摩擦（库仑）阻尼。由相

6、邻构件间发生相对运动所致的干摩擦（库仑）阻尼。由材料变形时材料内部各平面间产生相对滑移或滑动引起由材料变形时材料内部各平面间产生相对滑移或滑动引起内摩擦所致的滞后阻尼。内摩擦所致的滞后阻尼。 粘滞阻尼是一种最常见的阻尼模型。粘滞阻尼是一种最常见的阻尼模型。2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动第2章 单自由度系统的振动 如无特别说明，后续所说的阻尼均指如无特别说明，后续所说的阻尼均指粘滞阻尼粘滞阻尼，其阻，其阻尼力尼力Fd 与阻尼器两端的相对速度成正比，如图与阻尼器两端的相对速度成正比，如图2-2（b），比比例系数例系数 c 称为称为粘性阻尼系数粘性阻尼系数，它的单位为牛顿，它的

7、单位为牛顿-秒秒/米（米（N-s/m），），阻尼器阻尼器通常用通常用c 表示。表示。图图2-22-2阻尼模型阻尼模型 2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动 (a) (b) c 0 斜率 c dF 1x 2x dF 12xx dF 第2章 单自由度系统的振动 惯性元件惯性元件就是离散系统的就是离散系统的质量元件质量元件，惯性力惯性力Fm与与质量元件的加速度质量元件的加速度 成正比，如图成正比，如图2-3所示，比例所示，比例系数就是质量系数就是质量m 。m 的单位为千克（的单位为千克（kg ）。）。 )(tx 图图2-3 2-3 质量模型质量模型 惯性元件惯性元件2.1 单自由度系

8、统的自由振动单自由度系统的自由振动第2章 单自由度系统的振动 并联时弹簧的等效刚度并联时弹簧的等效刚度 在实际工程系统中，常常会有多个弹性元件以各种形式在实际工程系统中，常常会有多个弹性元件以各种形式组合在一起的情况，其中最典型的是并联和串联两种形式，组合在一起的情况，其中最典型的是并联和串联两种形式，分别如图分别如图2-4（a）和和2-4（b）所示。所示。 图图2-4 2-4 弹簧的组合弹簧的组合 2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动)(1211xxkFs)(1222xxkFs（2-1） )()()(1212212121xxkxxkxxkFFFeqsss所以等效弹簧刚度为所以

9、等效弹簧刚度为 （2-2）21kkkeq第2章 单自由度系统的振动 并联时弹簧的等效刚度图解并联时弹簧的等效刚度图解 弹性元件的组合弹性元件的组合2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动（2-1） （2-2）第2章 单自由度系统的振动1neqiikk 串串联时弹簧的等效刚度联时弹簧的等效刚度111neqiikk2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动在图在图2-42-4（b b）所示的串联情况下，可以得到如下关系所示的串联情况下，可以得到如下关系)(101xxkFs)(022xxkFs将将x0 消掉，可得消掉，可得)(12xxkFeqs12111kkkeq（2-6）（2

10、-5）（2-4）（2-3）如果有如果有n 个弹簧串联时，可以证明有以下结论个弹簧串联时，可以证明有以下结论第2章 单自由度系统的振动2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动（2-1） 题1串联串联并联第2章 单自由度系统的振动2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动 （2-2）并联并联串并联第2章 单自由度系统的振动2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动（2-1） （2-2）第2章 单自由度系统的振动2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动（2-1） （2-2）问题，将如图所示机床简化成单自由度系统，写出其运问题，将如图所示机床简化成单自由度系

11、统，写出其运动方程。动方程。第2章 单自由度系统的振动2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动（2-1） 问题：判断正误，左侧系统等效成右侧图问题：判断正误，左侧系统等效成右侧图第2章 单自由度系统的振动2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动（2-1） （2-2）问题：判断正误，左侧系统等效成右侧图问题：判断正误，左侧系统等效成右侧图第2章 单自由度系统的振动2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动（2-1） （2-2）问题：判断等效的正误问题：判断等效的正误第2章 单自由度系统的振动2.1.1 单自由度系统的运动方程单自由度系统的运动方程 图图2-5 2

12、-5 单自由度模型单自由度模型 单自由度弹簧单自由度弹簧-阻尼器阻尼器-质量系统可由图质量系统可由图2-5（a）表示，下面用牛顿定律来建立系统的运动方程。绘系表示，下面用牛顿定律来建立系统的运动方程。绘系统的分离体图如图统的分离体图如图2-5（b）。 运动微分方程运动微分方程2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动第2章 单自由度系统的振动( )( )( )( )mx tcx tkx tF t（2-8） ( )( )( )( )sdF tF tF tmx t由于由于 ， 方程（方程（2-7）变为）变为: )()(tkxtFs)()(txctFd（2-8）式是一个式是一个二阶常系数常

13、微分方程二阶常系数常微分方程。常数。常数 m ，c， k是描是描述系统的述系统的系统参数系统参数。方程（方程（2-8）的求解在振动理论中是十分重）的求解在振动理论中是十分重要的。要的。 用用 F(t)表示作用于系统上的外力，用表示作用于系统上的外力，用x(t) 表示质量表示质量m 相对相对于平衡位置的位移，可得于平衡位置的位移，可得:（2 -7） 2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动第2章 单自由度系统的振动n称为系统的无阻尼自然角频率（可用量纲分析）。可以证明称为系统的无阻尼自然角频率（可用量纲分析）。可以证明（2-9）式具有如下形式的通解）式具有如下形式的通解:2( )(

14、)0nx tx t2nkm （2-9）12( )cossinnnx tAtAt（2-10）2.1.2 无阻尼自由振动无阻尼自由振动 本节首先讨论单自由度系统的自由振动。在自由振动情况本节首先讨论单自由度系统的自由振动。在自由振动情况下，下，F (t) 恒等于零。在（恒等于零。在（2-8）式中令，）式中令，F (t) =0 ，c = 0 则有则有: 其中其中A1和和A2为积分常数，由系统的初始条件决定，即由初始为积分常数，由系统的初始条件决定，即由初始位移位移x(0)和初始速度和初始速度 决定。决定。)0( x 运动方程运动方程2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动第2章 单自由度

15、系统的振动若引入若引入1cosAA2sinAA （2-11）可得可得:2212AAA121tanAA蒋蒋(2-11)代入代入(2-10)可导得可导得:( )cosnx tAt （2-12）（2-13） A和和也是积分常数，同样由也是积分常数，同样由x(0) 和和 决定。决定。方程（方程（2-13）表明系统以为）表明系统以为n 频率的简谐振动，这频率的简谐振动，这样的系统又称为样的系统又称为简谐振荡器简谐振荡器。（。（2-13）式描述的是最）式描述的是最简单的一类振动。简单的一类振动。 )0(x 2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动第2章 单自由度系统的振动 在简谐振动中，完成一

16、个完整的运动周期所需的时间定在简谐振动中，完成一个完整的运动周期所需的时间定义为义为周期周期T 周期周期2nT 从物理概念上讲，从物理概念上讲，T代表完成一个代表完成一个完整的振荡所需的时间完整的振荡所需的时间，事实上事实上T等于振动过程中相邻的两个完全相同的状态所对应的时等于振动过程中相邻的两个完全相同的状态所对应的时间差，其单位为间差，其单位为秒秒。 自然频率自然频率12nnfT自然频率的单位为自然频率的单位为赫兹赫兹(HZ)。自然频率自然频率通常也用每秒的循环次数表示，其数学表达式为通常也用每秒的循环次数表示，其数学表达式为:2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动 （2-1

17、4）（2-15）第2章 单自由度系统的振动00( )cossinnnnvx txtt（2-16）100tannvx2200nvAx 下面给出用下面给出用初始条件初始条件表示的积分常数表示的积分常数A和和 的表达的表达式。引入符号式。引入符号 ， ，利用方程（，利用方程（2-10）不难证明简谐振子对初始条件不难证明简谐振子对初始条件 x0和和v0 的响应为的响应为0(0)xx)0(0 xv 比较方程（比较方程（2-11）和（）和（2-16），并利用（），并利用（2-12）式的）式的关系，可以导出振幅关系，可以导出振幅A与相角与相角 有如下形式有如下形式 积分常数积分常数A和和 的表达式的表达式2

18、.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动（2-17）第2章 单自由度系统的振动2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动第2章 单自由度系统的振动2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动第2章 单自由度系统的振动2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动第2章 单自由度系统的振动2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动第2章 单自由度系统的振动2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动第2章 单自由度系统的振动2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动第2章 单自由度系统的振动2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的

19、自由振动第2章 单自由度系统的振动2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动第2章 单自由度系统的振动2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动第2章 单自由度系统的振动2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动第2章 单自由度系统的振动2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动第2章 单自由度系统的振动2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动第2章 单自由度系统的振动2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动第2章 单自由度系统的振动2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动第2章 单自由度系统的振动 例例2-1 如图如

20、图2-6 ，一个半径为，一个半径为R的半圆形薄壳，的半圆形薄壳，在粗糙的表面上滚动，试推导此壳体在小幅运动下的在粗糙的表面上滚动，试推导此壳体在小幅运动下的运动微分方程，并证明此壳体的运动象运动微分方程，并证明此壳体的运动象简谐振子简谐振子，计，计算振子的自然振动频率。算振子的自然振动频率。 图图2-6 2-6 例例2-12-1题图题图 2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动第2章 单自由度系统的振动ccIM（a） 分析分析:本例运动方程的建立过程要比弹簧质量系统复杂一本例运动方程的建立过程要比弹簧质量系统复杂一些，运用理论力学中平面运动的理论，可建立系统的运动方些，运用理论力学

21、中平面运动的理论，可建立系统的运动方程。程。 设壳体倾斜角为设壳体倾斜角为（如图（如图2-6），设），设c 为壳体与粗糙表面的为壳体与粗糙表面的接触点，在无滑动的情况下，壳体瞬时在绕接触点，在无滑动的情况下，壳体瞬时在绕c 点作转动。对点作转动。对c 点取矩，可得系统的运动微分方程。点取矩，可得系统的运动微分方程。 解：解：2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动第2章 单自由度系统的振动2222222sinsincos2sincMRdwgRdgRgR （b） 其中，其中，IC为绕点为绕点 C的转动惯量，的转动惯量， MC为重力作用下的恢复力矩。为方便起见，为重力作用下的恢复力矩。

22、为方便起见，设壳体的长度为单位长度，由图设壳体的长度为单位长度，由图2-6，对，对于给定的于给定的，对，对C点的恢复力矩点的恢复力矩MC 有如下有如下形式：形式：ccIM（a）2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动第2章 单自由度系统的振动2222222sinsincos2sincMRdwgRdgRgR （b）2222322sin(1 cos )21 cos2(2cos )cIRRdmRdR（c）壳体对壳体对C 点的转动惯量为点的转动惯量为: 其中其中， dw是给定角是给定角位置的微元体重量，位置的微元体重量，是壳体单位面积是壳体单位面积的质量。的质量。 2.1 单自由度系统的自

23、由振动单自由度系统的自由振动第2章 单自由度系统的振动 当壳体作当壳体作小幅振动小幅振动时，即时，即很小时，引入近似表达式很小时，引入近似表达式sin，cos1 ， 并将（并将（b）、（）、（c）两式代入（）两式代入（a）中，得到）中，得到:32222RgR （d）02gR（e）2ngR（f）整理可得整理可得: （e）式表明，当）式表明，当 很小时，系统运动的确象很小时，系统运动的确象简谐振子简谐振子，其，其自然频率自然频率为为: ccIM （a）2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动第2章 单自由度系统的振动2( )2( )( )0nnx tx tx t（2-18b）( )st

24、x tAe（2-19）2220nnss(2-20)2.1.3 有阻尼自由振动有阻尼自由振动 有阻尼自由振动方程有阻尼自由振动方程: 其中，其中， 称为粘性阻尼因子。设（称为粘性阻尼因子。设（2-18b）式的解有如）式的解有如下形式下形式:nmc2/将（将（2-19）代入（）代入（2-18b）中，可得代数方程）中，可得代数方程(特征方程特征方程) 有阻尼自由振动方程有阻尼自由振动方程 2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动( )( )( )0mx tcx tkx t（2-18a） 写成写成: 第2章 单自由度系统的振动2220nnss(2-20)这就是系统的特征方程，它是这就是系统

25、的特征方程，它是s 的二次方程，有两个解：的二次方程，有两个解： 1221ssn 很明显很明显，s1、s2 的性质取决于的性质取决于阻尼因子阻尼因子 ，其相互关系可以从，其相互关系可以从s 平面，即复平面上得到反映（如平面，即复平面上得到反映（如图图2-7）。）。 （2-21）图图2-7 s1 、s2 的复平面表示的复平面表示 2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动第2章 单自由度系统的振动（2-20）式的根）式的根 s1 、s2 作为作为阻尼因子阻尼因子 的函数在复平面的函数在复平面上描绘出一条曲线，图中可上描绘出一条曲线，图中可直观地了解参数直观地了解参数对系统运对系统运动行

26、为的影响，或者说对系动行为的影响，或者说对系统响应的影响。统响应的影响。 参数参数对系统响应的影响。对系统响应的影响。2220nnss(2-20)2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动第2章 单自由度系统的振动 当当 =0时，得到两个复根时，得到两个复根in ，此时，此时系统就是简谐振子。系统就是简谐振子。 当当 0 1时，时， 为复共轭，在图中对称为复共轭，在图中对称地位于实轴的两侧，并位于半径为地位于实轴的两侧，并位于半径为 n的的圆上。圆上。 当当 =1时，特征方程的根时，特征方程的根 s1 、s2为为n ，落在实轴上。，落在实轴上。 当当 1时，特征方程的根始终在实轴上时

27、，特征方程的根始终在实轴上,且随着且随着 ， s1 0、s2 1221ssn （2-21）2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动第2章 单自由度系统的振动 将特征方程的根（将特征方程的根（2-21）代入（）代入（2-19）式，可得系统的）式，可得系统的通解通解 : :tnnnntstsnetAtAtAtAeAeAtx)1exp()1exp(1exp1exp)(222122212121（2-22）( )stx tAe（2-19）1221ssn （2-21） 系统的通解系统的通解2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动第2章 单自由度系统的振动 式（式（2-22），对应于

28、），对应于 1的情况，此时系统的的情况，此时系统的运动是运动是非振荡非振荡的，并且随时间的，并且随时间按指数规律衰减按指数规律衰减，x(t) 的确切形状取决于的确切形状取决于A1 和和A2 ，也即取决于初始位移，也即取决于初始位移 x0 和初速度和初速度v0 。 1的情况称为的情况称为大阻尼大阻尼或或过阻尼过阻尼。 大阻尼大阻尼( 1)tnnnntstsnetAtAtAtAeAeAtx)1exp()1exp(1exp1exp)(222122212121（2-22）2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动第2章 单自由度系统的振动这也代表一指数衰减的响应，这也代表一指数衰减的响应，

29、=1的情况称为临界阻尼。的情况称为临界阻尼。 在特殊情况在特殊情况 =1,方程（方程（2-20）有一个重根，）有一个重根，s1=s2=n ，不难证明在这种情况下，系统有如下形式的解不难证明在这种情况下，系统有如下形式的解:tnetAAtx)()(21（2-23） 由表达式由表达式 可见当可见当 =1时，临界粘性阻尼时，临界粘性阻尼/2ncmkmmcncr22 临界阻尼（临界阻尼（ =1） 临界阻尼是临界阻尼是 1和和 1的一个分界点，应该注意到，的一个分界点，应该注意到， =1时，系统的运动趋近于平衡位置的速度是最大的时，系统的运动趋近于平衡位置的速度是最大的。 =1也是系统振动与非振动运动的

30、临界点。也是系统振动与非振动运动的临界点。2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动2220nnss（2-20）第2章 单自由度系统的振动图图2-8 1 时时x(t) 曲线曲线 1 、 =1时系统的自由振动如图时系统的自由振动如图2-8-图图2-9 。图图2-9 =1 时时x(t) 曲线曲线 2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动第2章 单自由度系统的振动其中，其中， ，通常称为有，通常称为有阻尼自由振动频率阻尼自由振动频率。 212)1 (nd由于由于 : :titetiteddtiddtiddsincossincos 0 1时，解（时，解（2-22）可改写成如下形式

31、：）可改写成如下形式： 221212( )exp1exp1nddntnnitittx tAitAiteAeA ee （2-24） 小阻尼（小阻尼（ 0 1）2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动第2章 单自由度系统的振动 式（式（2-24）简化成）简化成)cos()(tAetxdtn（2-27） 可见上式表示的运动为振动，频率为常值可见上式表示的运动为振动，频率为常值 ，相角，相角为为 ，而幅值为，而幅值为 ，以指数形式衰减。常数，以指数形式衰减。常数 、 由由初始条件决定。初始条件决定。 称为称为小阻尼小阻尼或或欠阻尼欠阻尼情况。情况。dtnAeA10并设并设cos21AAAs

32、in)(21AAAi（2-26）2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动第2章 单自由度系统的振动小阻尼情况的典型响应曲线如图小阻尼情况的典型响应曲线如图2-10所示，曲线所示，曲线 为响应曲线的为响应曲线的包络线包络线。很明显，当。很明显，当t ， x(t) 0，因，因此响应最终趋于消失。此响应最终趋于消失。tnAe图图2-10 0 1 时时x(t) 曲线曲线2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动第2章 单自由度系统的振动 例例2-2 对于图对于图2-5所示的单自由度系统，计算系统分别在所示的单自由度系统，计算系统分别在 ， 和和 时，对于初始条件时，对于初始条件

33、， 的响应。的响应。 11010)0(x0)0(vx12AA 解解: 对于对于 ，用（，用（2-22）式有）式有 ，所以，所以0)0(21AAx1（a）因此因此,系统响应应有如下形式系统响应应有如下形式teAtxntn1sinh2)(21（b）因此，系统响应对（因此，系统响应对（b）式求导，并代入初始条件）式求导，并代入初始条件 可得可得0(0)xvnvA12201 （c） 可得可得 时，系统的响应时，系统的响应1tevtxntnn1sinh1)(220（d d）2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动第2章 单自由度系统的振动 对于对于 ，从（，从（2-23）式中容易导出）式中容

34、易导出 和和 ，所以此，所以此时的响应为时的响应为:101A02vA tntevtx0)(（e） 对于对于 ，在（，在（2-27）式中用初始条件）式中用初始条件 得得 ，幅值则与初始速度有关，幅值则与初始速度有关， ，因此（，因此（2-27）简化为）简化为 : :100)0(x2/dvA/0tevtxdtdnsin)(021nd （f） 表达式（表达式（d）、（）、（e）、（）、（f）分别对应于大阻尼、临界阻尼和）分别对应于大阻尼、临界阻尼和小阻尼的情况，其图形分别见图小阻尼的情况，其图形分别见图2-82-10。图中将。图中将 、 、 作作为参数，给出了响应为参数，给出了响应 随这些参数的变化

35、规律。随这些参数的变化规律。 n0v)(tx2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动第2章 单自由度系统的振动2.1.4 对数衰减率对数衰减率 如前所述，在小阻尼情况下粘性阻尼使振动按指数规律衰减，如前所述，在小阻尼情况下粘性阻尼使振动按指数规律衰减，而指数本身又是阻尼因子而指数本身又是阻尼因子 的线性函数。下面来寻求的线性函数。下面来寻求通过衰减响应通过衰减响应确定阻尼因子确定阻尼因子 的途径的途径。图图2-112-111时时x( (t t) )的一般规律的一般规律 在图在图2-11中，设中，设t1 和和 t2表示两相邻周期中相距一个完整周期表示两相邻周期中相距一个完整周期 T

36、的的两对应点的时间。两对应点的时间。2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动)cos()(tAetxdtn第2章 单自由度系统的振动由（由（2-27）式，可得）式，可得)cos()cos(212121tAetAexxdtdtnn（2-28）)cos()(tAetxdtn（2-27）)cos()cos(12ttdd 由于由于 ， 是有阻尼振动的周期，所以是有阻尼振动的周期，所以Ttt12dT/2TTttnnneeexx121（2-29）这样（这样（2-28）式可化为）式可化为:2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动第2章 单自由度系统的振动 观察（观察（2-29）式的指

37、数关系，可以自然地引入以）式的指数关系，可以自然地引入以下关系式下关系式:22112lnTxxn（2-30） 要确定系统的阻尼，可以测量两任意相邻周期的要确定系统的阻尼，可以测量两任意相邻周期的对应点对应点 x1 和和 x2 ，计算对数衰减率，计算对数衰减率21lnxx222（2-31）此处，此处，称为称为对数衰减率对数衰减率。从而得到从而得到2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动第2章 单自由度系统的振动 对于微小阻尼情况，（对于微小阻尼情况，（2-31）式可近似为）式可近似为2（2-32） 值得注意的是，值得注意的是， 可以通过测量相隔任意周期的两对可以通过测量相隔任意周期的

38、两对应点的位移应点的位移 ， 来确定。设来确定。设 、 为为 、 对对应的时间，应的时间， 为整数，则为整数，则1x1jx1tjTttj111x1jxjTjjnexx11（2-33） 由（由（2-33）可导得）可导得11ln1jxxj（2-34）2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动第2章 单自由度系统的振动 例例2-3 实验观察到一有阻尼单自由度系统的振动幅值在实验观察到一有阻尼单自由度系统的振动幅值在5个个完整的周期后衰减了完整的周期后衰减了50%，设系统阻尼为粘性阻尼，试计算系统的，设系统阻尼为粘性阻尼，试计算系统的阻尼因子。阻尼因子。 解解:设设 ，则，则5j13863.

39、 02ln515 . 0ln51ln511161xxxx 由（由（2-31）、（）、（2-32）式分别得到：）式分别得到：022058. 013863. 0213863. 0 2 222231022064. 0213863. 02322.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动第2章 单自由度系统的振动2.1.5 2.1.5 弹簧的等效质量弹簧的等效质量 在图在图2-12中，设弹簧中，设弹簧 具有质量，其单位长度的质量具有质量，其单位长度的质量为为 ，那么弹簧的质量对系统的振动有多大影响呢？下面，那么弹簧的质量对系统的振动有多大影响呢？下面就来讨论这个问题。就来讨论这个问题。k图图2-

40、12 2-12 弹簧等效质量系统示意图弹簧等效质量系统示意图 设质量设质量 的位移用的位移用 表示，弹簧的长度为表示，弹簧的长度为 ，那么距，那么距左端为左端为 的质量为的质量为 的微单元的位移则可假设为的微单元的位移则可假设为 ，设，设 为常数。为常数。 txLd txL/m2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动第2章 单自由度系统的振动 )()3(213)(21)(2121212023222202txLmLtxtxmdtxLtxmTLL（2-35）)(212tkxV （2-36） 根据能量守恒原理根据能量守恒原理0dtVTddtdE（2-37）则系统的动能和势能可分别表示为则

41、系统的动能和势能可分别表示为2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动第2章 单自由度系统的振动 可得可得0)()(tkxtxmeff （2-38） 此处此处 称为称为等效质量等效质量。3Lmmeff可见可见弹簧的质量将会使系统的自然频率降低到弹簧的质量将会使系统的自然频率降低到3Lmkn（2-39）（2-39）式表明）式表明弹簧将自身质量的三分之一贡献给系统的弹簧将自身质量的三分之一贡献给系统的等效质量等效质量，当然，前提是假设弹簧按，当然，前提是假设弹簧按 规律变形规律变形的。如果假设其他类型的变形模式，影响效果则有可能不的。如果假设其他类型的变形模式，影响效果则有可能不同。同。

42、)(/txL2.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动第2章 单自由度系统的振动第第2 2章章 单自由度系统的振动单自由度系统的振动 2.2 2.2 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 第2章 单自由度系统的振动2.2 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 工程振动中一个很重要方面是分析系统对外部激工程振动中一个很重要方面是分析系统对外部激励的响应，这种振动有别于上节的自由振动，称为励的响应，这种振动有别于上节的自由振动，称为强强迫振动迫振动，这是本节要讨论的内容。，这是本节要讨论的内容。 对于线性系统，根据叠加原理，可以分别求系统对于线性系统，根据叠加原理，可以分

43、别求系统对于初始条件的响应和对于外部激励的响应，然后再对于初始条件的响应和对于外部激励的响应，然后再合成为系统的总响应。合成为系统的总响应。第2章 单自由度系统的振动2.2.12.2.1 系统对于简谐激励的响应系统对于简谐激励的响应 对于图对于图2-5所示的有阻尼单自由度系统，其运动方程为所示的有阻尼单自由度系统，其运动方程为)()()()(tFtkxtxctxm （2-40） 首先考虑最简单的情况，即首先考虑最简单的情况，即简谐激励简谐激励情况，设情况，设F(t) 有如下形式有如下形式图图2-5 2-5 单自由度模型单自由度模型 tkAtkftFcos)()(（2-41） 运动方程运动方程2

44、.2 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 第2章 单自由度系统的振动tkAtkftFcos)()(（2-41）将（将（2-41）代入（）代入（2-40），两边同除以），两边同除以m 有有 tAtfmktxtxtxnnncos)()()(2)(22 （2-42）当当A 为零时，系统为齐次方程，其解就是系统的自由振动响为零时，系统为齐次方程，其解就是系统的自由振动响应，自由振动响应随时间衰减，最后消失，所以自由振动应，自由振动响应随时间衰减，最后消失，所以自由振动响应也叫响应也叫瞬态响应瞬态响应。式（式（2-42）的特解也就是强迫振动响应不会随时间衰减，所）的特解也就是强迫振动响应不会随

45、时间衰减，所以称为以称为稳态响应稳态响应。2.2 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 第2章 单自由度系统的振动)cos()(tXtx（2-43）将（将（2-43）代入方程（）代入方程（2-42），可得），可得 tAttXnnncos)sin(2)cos(222（2-44）利用三角函数关系利用三角函数关系 sincoscossinsinsinsincoscoscostttttt并令（并令（2-44）式中）式中 和和 项的系数相等可得项的系数相等可得tcostsin0cos2sinsin2cos22222nnnnnXAX（2-45） 设系统（设系统（2-42）的稳态响应有如下形式）的稳

46、态响应有如下形式 稳态响应稳态响应2.2 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 第2章 单自由度系统的振动21222)2(1nnAX（2-46）2112tannn（2-47） 将（将（2-46）、（）、（2-47）代入（）代入（2-43）得到系统的）得到系统的稳态解稳态解。解（解（2-45）式可得）式可得 2.2 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 第2章 单自由度系统的振动2.2 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 21222)2(1nnAXA=2 XnX=A|H|= Xn*2|H|21222211)(nnH式中第2章 单自由度系统的振动典型的激励与响应关系曲线如

47、图典型的激励与响应关系曲线如图2-13所示。所示。 将将 f(t)用复数形式表示用复数形式表示: 图图2-13 简谐激励简谐激励f(t) 与响应与响应 x(t)曲线曲线 tiAetf)(（2-48） f(t)的这种表示只是一种数学上的处理，是为了求解方便，不言的这种表示只是一种数学上的处理，是为了求解方便，不言而喻地隐含着激振力仅由而喻地隐含着激振力仅由 f(t)的实部表示，当然，响应也应由的实部表示，当然，响应也应由x(t) 的实部表示。式中的实部表示。式中A 一般为复数。一般为复数。 2.2 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 第2章 单自由度系统的振动系统的稳态响应系统的稳态响

48、应 nntinntiniAeiAetx21Re2Re)(2222（2-50）由上式可见，系统稳态响应由上式可见，系统稳态响应 x(t)与激振力与激振力f(t) 成正比，且比例因子成正比，且比例因子为为nniH211)(2（2-51）这称为这称为复频响应复频响应.在复数表示情况下，系统响应和激励满足关系在复数表示情况下，系统响应和激励满足关系tinnnnAetftxtxtx222)()()(2)( （2-49）2.2 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 第2章 单自由度系统的振动 由（由（2-51）式，可见）式，可见 的模的模 等于响应幅值和等于响应幅值和激励幅值激励幅值 的无量纲比，

49、即的无量纲比，即 )(H)(HA21222211)(nnH 常称为常称为幅值因子幅值因子。 )(H（2-53）)()()()()()()(tFtFtFtkxtftxHs（2-52） 这表明这表明复频响应是弹簧力与实际的外激励复频响应是弹簧力与实际的外激励 的无的无量纲比量纲比。这里。这里 中的中的 是由静平衡位置算起的。是由静平衡位置算起的。 )(tF)(tF)(tx由（由（2-50）、（）、（2-51）式可得）式可得 2.2 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 第2章 单自由度系统的振动图图2-14 简谐激励的响应简谐激励的响应 图图2-14 给出了在不同阻尼比给出了在不同阻尼比

50、下下 与与 的关系曲线。的关系曲线。 n/ 从图中可见，阻尼使系统的振幅值减小，也使峰值相对从图中可见，阻尼使系统的振幅值减小，也使峰值相对于于 的位置的位置左移左移。1/n2.2 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 )(H第2章 单自由度系统的振动21221n（2-54） 当当=0时，在时，在 =n处处H () 不连续。不连续。对（对（2-53）式求导，并令其等于零，可得到曲线峰值点对应的）式求导，并令其等于零，可得到曲线峰值点对应的 值值 当当=0时，对应于无阻尼情况，此时系统的齐次微分方时，对应于无阻尼情况，此时系统的齐次微分方程就是程就是简谐振子简谐振子。 当驱动频率当驱动频

51、率趋近于系统的自然频率趋近于系统的自然频率n时，简谐振子的时，简谐振子的响应趋于无穷，这种状态称为响应趋于无穷，这种状态称为共振共振，系统会发生剧烈振，系统会发生剧烈振动。动。2.2 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 21222211)(nnH第2章 单自由度系统的振动 值得注意的是，当值得注意的是，当 =n 时，（时，（2-50）式所表示的解已不）式所表示的解已不适用了，必须对系统（适用了，必须对系统（2-42）重新求解。）重新求解。 在微小阻尼情况下，如在微小阻尼情况下，如 0 .05， H () 的极大值的的极大值的位置几乎与位置几乎与 /n=1相差无几，引入符号相差无几，引

52、入符号H () max=Q ，在，在微小阻尼情况下，有微小阻尼情况下，有21Q（2-55） 品质因子品质因子QtAtfmktxtxtxnnncos)()()(2)(22 （2-42） Q通常称为通常称为品质因子品质因子。2.2 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 21222211)(nnH第2章 单自由度系统的振动另外，工程上常将另外，工程上常将H () 曲线上取值为曲线上取值为 的两点的两点P1 和和P2称为称为半功率点半功率点。半功率点所对应频率之差称为。半功率点所对应频率之差称为半功率点带宽半功率点带宽，在，在小阻尼情况下，小阻尼情况下，不难证明不难证明(如何证明？如何证明？)

53、，半功率点带宽，半功率点带宽 取如取如下值下值2/Qn212（2-56） 比较（比较（2-55）和（）和（2-56）式，可得）式，可得 1221nQ（2-57）（2-57）式给出了一种快速估计）式给出了一种快速估计Q 和和 值的方法。值的方法。 2.2 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 第2章 单自由度系统的振动 下面将注意力转到相角上来，由（下面将注意力转到相角上来，由（2-51）和（）和（2-53）式，不）式，不难得到难得到 ieHH)()(（2-58）这里这里2112tannn（2-59）这与（这与（2-472-47）式的结果相同。根据（）式的结果相同。根据（2-582-58

54、）式和（）式和（2-592-59）式，）式，（2-502-50）式可写为）式可写为 titie)(HARee )(AHRe)t ( x（2-60） 相角相角2.2 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 第2章 单自由度系统的振动从（从（2-602-60）式和图）式和图2-152-15可以看出可以看出: : 对应于不同对应于不同 值的所有曲线均在值的所有曲线均在 /n=1处通过共同点处通过共同点 。2 对于对于 =0，随，随 /n的变化曲线在的变化曲线在 /n=1处间断。从处间断。从 的的 = 0 跳到跳到 /n1时的时的= 。这可以通过。这可以通过=0 时的时的x(t)解来解释。解来解

55、释。 对于对于 /n1情况随情况随 /n减小，减小，相角趋于零。相角趋于零。 对于对于 /n1情况，随情况，随 /n增大，增大，相角趋于相角趋于 。 图图2-15 2-15 简谐激励的相位简谐激励的相位 即即 /n1时响应同相，时响应同相， /n1时响应反相时响应反相。2.2 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 第2章 单自由度系统的振动方程方程（2-612-61）也清楚地表明简谐振子在驱动频率也清楚地表明简谐振子在驱动频率 趋近于自然频率趋近于自然频率n时，响应变为无穷大。时，响应变为无穷大。 下面讨论简谐振子的共振响应，此时系统的运动方下面讨论简谐振子的共振响应，此时系统的运动方

56、程变为程变为 : :tAtxtxnnncos)()(22 （2-62）tinAetx211Re)(（2-61） 简谐振子的共振响应简谐振子的共振响应2.2 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 第2章 单自由度系统的振动不难证明系统有如下特解不难证明系统有如下特解ttAtxnnsin2)(（2-63） 此式表明，解是幅值随时间线性增加的振荡响应，这隐含了随此式表明，解是幅值随时间线性增加的振荡响应，这隐含了随着时间的增大，解将趋于无穷。因此在工程上讲，共振是很危险的着时间的增大，解将趋于无穷。因此在工程上讲，共振是很危险的状态，一定要避免。上式所描述的共振响应特性示于下图。状态，一定要

57、避免。上式所描述的共振响应特性示于下图。 图图2-16 简谐振子的共振响应简谐振子的共振响应 有阻尼单自由度系统的总响应可由其自由响应与强迫响应叠加而成有阻尼单自由度系统的总响应可由其自由响应与强迫响应叠加而成。 2.2 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 第2章 单自由度系统的振动 例例2-4 如图如图2-17所示，有两个带有偏心的质量所示，有两个带有偏心的质量 反向旋转，旋反向旋转，旋转角速度为常数转角速度为常数 ，不平衡质量的垂直位移为，不平衡质量的垂直位移为 ， 由静平由静平衡算起。求衡算起。求 。 2msinxltx)(tx图图2-17 例例2-4题图题图 解解:由题意不难

58、得到系统的运动方程由题意不难得到系统的运动方程:0)sin()(2222kxdtdxctlxdtdmdtxdmM简化为简化为:tiemltmltkxtxctxM22Imsin)()()( 2.2 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 第2章 单自由度系统的振动系统的响应为系统的响应为:mktHlMmeHlMmtxnntin222,)sin()()(Im)(相角相角由（由（2-38）式给出。将上改写为）式给出。将上改写为)sin()(tXtx可得可得:)(2HMmlXn在这一例子中，可将无量纲比写为在这一例子中，可将无量纲比写为)(2HmlMXn 的图形与的图形与 的图形完全不同，这将于

59、稍后叙述。的图形完全不同，这将于稍后叙述。 )(2Hn)(H2.2 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 第2章 单自由度系统的振动例例2-5 2-5 研究一种基础激振的情况。如图研究一种基础激振的情况。如图2-182-18所示所示: :解解:系统的运动微分方程有如下形式系统的运动微分方程有如下形式 : :图图2-18 例例2-5题图题图 0yxkyxxxm 简化为简化为:yyxxxnnnn2222 设基础的运动为简谐运动，有如下形式设基础的运动为简谐运动，有如下形式tiAetyRe)(则系统的响应为则系统的响应为tinnnAeiitx2121Re)(22.2 单自由度系统的强迫振动单

60、自由度系统的强迫振动 第2章 单自由度系统的振动将将 简写成简写成)(tx1cos)(tXtx那么那么)(212121212212222HAAXnnnn22311212tannnn无量纲比可写为无量纲比可写为)(21212HAXn2.2 单自由度系统的强迫振动单自由度系统的强迫振动 第2章 单自由度系统的振动 简谐振动的复指数描述简谐振动的复指数描述 有阻尼系统的简谐激振力和在激振力作用下的响应的复指有阻尼系统的简谐激振力和在激振力作用下的响应的复指数描述，可以通过在复平面上的几何图形来说明，将（数描述，可以通过在复平面上的几何图形来说明，将（2-602-60）式两边对求导得式两边对求导得)(