高等数学课件1-6

1、第六节第六节 极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限1夹逼准则和重要极限夹逼准则和重要极限2重要极限重要极限0sinlim1xxx 1lim(1)xxex 一一 夹逼准则和重要极限夹逼准则和重要极限0sinlim1xxx 定理定理1 100(2)lim( ), lim ( ),xxxxg xah xa那末当那末当0lim( ).xxf xa 的极限存在的极限存在, , 且且0 xx时时,( )f x(1) (1) 存在存在时时, ,有有( )( )( ),g xf xh x0, 使当使当00 |xx 设设( )yf x ( )yg x 0 x01x 0 x 02x 01x 0 x

2、02x a aa ( )yh x xyo证证0, 00lim( ), lim ( ),xxxxg xah xa所以所以12,0, 使当使当010 |xx 时时,即即( )ag xa| ( )|g xa 恒有恒有当当020 |xx 时时,12min , 取取即即( )ah xa当当00 |xx 时时,即恒有即恒有|( )|,f xa 所以所以0lim( ).xxf xa | ( )|,h xa 恒有恒有( )( )g xh x恒有恒有( )f xa a 定理定理2 2(1)(,(2) lim, lim,nnnnnnnyxznn nyaza为某个正整数）为某个正整数）nnyx ,及及nz满足下列条

3、件满足下列条件: :如果数列如果数列对于自变量其他的趋向过程下的极限对于自变量其他的趋向过程下的极限, 也有类似也有类似的定理的定理, 例如夹逼准则的数列形式是例如夹逼准则的数列形式是:那末数列那末数列nx的极限存在的极限存在, , 且且lim.nnxa 定理定理1 1和定理和定理2 2称为称为夹逼准则夹逼准则. .注意注意: : 夹逼准则不仅可以用来判别极限的存在性夹逼准则不仅可以用来判别极限的存在性, ,还可以用来求极限还可以用来求极限. 例例1 1222111lim().12nnnnn求求解解,11112222 nnnnnnnn21limlim11nnnnnn 又又, 1 22111li

4、m1limnnnnn , 1 由夹逼定理得由夹逼定理得. 1)12111(lim222 nnnnn例例2证明证明lim1.nnn 证证显然显然1nn 记记1,nnhn则则2(1)(1)12nnnnn nnhnhh 2(1)2nn nh 所以所以21nhn 即即211nnn 因为因为2lim(1)1,1nn 所以所以lim1.nnn 例例3求极限求极限1lim(123 ) .xxxxx解解记记1( )(123 ) ,xxxxf x 显然显然3( ).f x 因为因为11( )(3 3 )3 3,xxxf x 而而110lim 3lim31uxuxxu 所以所以1lim(123 )3.xxxxx例

5、例4证明证明0sinlim1xxx 证证先证先证0sinlim1.xxx ,o设单位圆圆心为设单位圆圆心为c作单位圆的切线，作单位圆的切线，2,xoabs圆心角为 的扇形面积为圆心角为 的扇形面积为3,bdoabs 高为的面积为高为的面积为sin,xbd xab 弧弧tan,xac ,tansinxxx sincos1,xxx 即即1,acacos 得高为的面积为得高为的面积为且且321,sss, (0)2aobxx 圆心角圆心角odaxb00limcoslim11xxx由于由于所以所以0sinlim1xxx 而而000sinsin()sinlimlimlim1xxtxxtxxt 所以所以0s

6、inlim1xxx 例例6 6201coslim.xxx 求求解解2202sin2limxxx 原式原式220)2(2sinlim21xxx 20)22sin(lim21xxx 2121 .21 例例5求求0tanlim.xxx解解0tanlimxxx0sin1limcosxxxx 00sin1limlimcosxxxxx 1 0tanlim1xxx 201cos1lim2xxx 例例7求求0arcsinlim.xxx解解0arcsinlimxxxarcsinux 令令0limsinuuu1 0arcsinlim1xxx 同理同理0arctanlim1xxx 例例8求求0sin2lim.sin

7、3xxx解解0sin2limsin3xxx0sin223lim()23sin3xxxxxxx 2.3 二二 重要极限重要极限1lim(1)xxex在第二节中在第二节中,利用单调有界原理证明了重要极限利用单调有界原理证明了重要极限1lim(1)nnen现在说明现在说明n换成连续变量换成连续变量,x在在,xxx 时时, 极限仍然存在极限仍然存在, 且等于且等于. e例例8证明证明1lim(1).xxex证证先证先证1lim(1).xxex不妨设不妨设1,x 取取 ,nx 由于由于1,nxn所以所以1111(1)(1)(1),1nxnnxn , e 11111lim(1)lim(1)lim(1)11

8、1nnxxxnnn, e 1111111nxn 由于由于,xn 1111lim(1)lim(1)lim(1)nnxxxnnn 而而所以由夹逼准则得所以由夹逼准则得1lim(1).xxex再证再证1lim(1).xxex令令(1),xt 则则,xt 所以所以111lim(1)lim(1)1xtxtxt 1lim()1tttt 1111lim()lim(1) lim(1)ttttttttt . e 所以所以1lim(1).xxex1,tx 令令0,xt 所以所以10lim(1).ttte例例9 93lim(1) .xxx 求求解解331(lim)3(1)xxx 333lim(1)xxx 原式原式31.e 例例101023lim().2xxxx 求求解解2 2411lim(1) (1)22xxxx原式原式.2e 例例1