上海市2016-2017学年高二数学下学期期中试卷(含解析)

1、 2016-2017学年上海市高二（下）期中数学试卷 一、填空题 1 抛物线 x2=4y 的焦点到准线的距离为 _ . 2方向向量为.，.，且过点 A（ 3，4 ）的直线的一般式方程为 _ 3若复数 z 满足 则= （l-2i）2 4. 直线 x+y - 2=0 和 ax - y+仁 0 的夹角为 贝 U a的值为 5. _ 已知点（-4, 0）是椭圆kx2+3ky2=1 的一个焦点，贝 U k= _ “旷 3 卩+50,则 z=x - y+1 的最小值等于 Qi x=l+y （t 为参数），化为一般方程为 尸丄 9以椭圆 3x2+13y2=39 的焦点为顶点，以 丁-土为渐近线的双曲线方程为

2、 10. M 是抛物线 y=4x2+1 上的一个动点，且点 M 是线段 OP 的中点（O 为原点），P 的轨迹方程 为 _ 11. _ 某地球仪上北纬 60纬线长度为 6 n cm,则该地球仪的体积为 _ cmf. 12. 若圆（x - a） 2+ （y- a） 2=1 （a0）上总存在两个点到原点的距离为 1，则 a 的取值范围 二、选择题 13. 命题 p: a 1;命题 q：关于 x 的实系数方程 x2 - 2 x+a=0 有虚数解，则 p 是 q 的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 6 如果实数 x, y 满足线性约束条件 7 正四棱锥的侧棱长与底面边长都1,则侧棱与底面

3、所成的角为 &参数方程 -2 - C.充要条件 D .既不充分也不必要条件 14 .若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为 S、S2,则 S : S2=-3 - A. 1: 1 B . 2: 1 C . 3: 2 D. 4: 1 15. 如图，在下列四个几何体中，它们的三视图(主视图、左视图、俯视图)中有且仅有两 个相同，而另一个不同的几何体是( ) 16. 如果函数 y=|x| - 2 的图象与曲线 C: x2+y2=入恰好有两个不同的公共点，则实数 入的取 值范围是( ) A. 2 U( 4, +s) B. (2, +s) C. 2 , 4 D. (4, +

4、) 三、简答题 17. 直角坐标系中，已知动点 P ( x, y)到定点 F( 0, 2)的距离与它到 y= - 1 距离之差为 1, (1) 求点 P 的轨迹 C (2) 点 A (3, 1), P 在曲线 C 上，求|PA|+|PF|的最小值，并求此时点 P 的坐标. 18. 在长方体 ABCD- ABGD 中，AB=BC=2 AA=3,过 A、G、B 三点的平面截去长方体的一个 角后，得到如下所示的几何体 ABC A1C1D1. (1) 若 AQ 的中点为 O,求异面直线 BQ 与 AD 所成角的大小(结果用反三角函数值表示) ； (2) 求点 D 到平面 ABG 的距离 d . (3)

5、底面直径和高均为！的圆锥 A.( 2)( 3)( 4)B .( 1)( 2)( 3) H面讪辰的1、京为】芋乍凹梧柿 C . (1) (3) (4) D . ( 1) (2) (4) (J底面-4 - 19 .复数 z 满足 z 厂 + (1 - 2i ) z+ (1+2i )二=3,求|z|的最大值. 20.已知直线 I : kx - y+1+2k=0, k R (1) 直线过定点 P,求点 P 坐标； (2) 若直线 I交 x 轴负半轴于点 A,交 y 轴正半轴于点 B, O 为坐标原点，设三角形 OAB 的面 积为 4，求出直线 I方程. 2 2 21椭圆 C:务“b0) 过点 M(2,

6、 0),且右焦点为 F (1, a2 b2 0),过 F 的直线 I与椭圆 C 相交于 A、B 两点.设点 P (4, 3)，记 PA PB 的斜率分别为 匕和 k2. (1) 求椭圆 C 的方程； (2) 如果直线 I的斜率等于-1，求出 k1?k2的值； (3) 探讨 k1+k2是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，求出 k1+k2的取值范围. -5 - 2016-2017 学年上海市师大二附中高二(下)期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、填空题 1 抛物线 x2=4y 的焦点到准线的距离为 2 . 【考点】K8:抛物线的简单性质. 【分析】直接利用抛物线的性质求解即可. 【解答】解

7、：抛物线 x2=4y 的焦点到准线的距离为： p=2. 故答案为：2. ,且过点 A( 3, 4)的直线的一般式方程为 2x y 2=0 【考点】IG :直线的一般式方程. 【分析】根据点向式方程计算即可 【解答】解：方向向量为 . 即 2x - y - 2=0, 故答案为：2x - y - 2=0. 3 .若复数 z 满足- 【考点】A5:复数代数形式的乘除运算； A8:复数求模. 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求值. 2.方向向量为 ，且过点 A( 3, 4)的方程为 【解 答】 解 _(3吨)(1+3D (3-1) (-8+61) _-18+26i -3-4

8、1 - -3-4i (-1 搜+26i)(-3+4i)_ (-3-4i) (-3+缸)二亠 -6 - 故答案为： 匚 .-7 - 【考点】IV :两直线的夹角与到角问题. 【分析】先求出两条直线的斜率，再利用两条直线的夹角公式求得 a 的值. 【解答】解：直线 x+y - 2=0 的斜率为-1,和 ax - y+仁 0 的斜率为 a，直线 x+y - 2=0 和 ax- a= V3-1 5.已知点（-4, 0）是椭圆 kx2+3ky2=1 的一个焦点，贝 U k= 1 【考点】K4:椭圆的简单性质. 【分析】利用椭圆的焦点坐标，列出方程求解即可. 【解答】解：点（-4, 0）是椭圆 kx2+3

9、ky2=1 的一个焦点, 解得k= 6. 如果实数 x, y 满足线性约束条件“ x-3y+50 yl -2 . 【考点】7C:简单线性规划. 【分析】作出可行域，变形目标函数，平移直线 y= - x 可得当直线经过点 A （- 2, 1）时，z 取最小值，代值计算可得. 2x-y=C0 【解答】解：作出线性约束条件 ，所对应的可行域（如图）， 4 .直线 x+y - 2=0 和 ax - y+仁 0 的夹角为 7 ，贝 y a 的值为 2 土二 二 7 a-(-l) 1+a-(-1) 1，求得a=: =2 - l-9 - 变形目标函数可得 y=x+1+z，平移直线 y=x可知， 当直线经过点

10、 A (- 2, 1)时，截距取最小值，z 取最小值, 代值计算可得 z 的最小值为 z= - 2 - 1+仁-2 故答案为：-2. 2I-T-0 0 7 正四棱锥的侧棱长与底面边长都是 1,则侧棱与底面所成的角为 45 . 【考点】Ml:直线与平面所成的角； L3:棱锥的结构特征. 【分析】先做出要求的线面角，把它放到一个直角三角形中，利用直角三角形中的边角关系 求出此角. 【解答】解：如图，四棱锥 P- ABCD 中，过 P 作 POL平面 ABCD 于 0,连接 AQ 则 AQ 是 AP 在底面 ABCD 上的射影./ PA0 即为所求线面角， cos / PAO= = ./ PAO=4

11、5，即所求线面角为 45 PA 2 故答案为 45 -10 - 【考点】QH 参数方程化成普通方程. 【分析】参数方程消去参数 t，能求出其一般方程. 1 - 【解答】解：参数方程勺 （t 为参数）， ,1 消去参数 t，得：x=1+ （1 - y）, 整理，得一般方程为：x+y - 2=0. 故答案为：x+y - 2=0. 9 以椭圆 3x2+13y2=39 的焦点为顶点，以 丁三为渐近线的双曲线方程为 2 【考点】KI :圆锥曲线的综合. 【分析】求出椭圆的焦点坐标，得到双曲线的顶点坐标，结合双曲线的渐近线方程，求解即 可. 【解答】解：以椭圆 3x2+13y2=39 的焦点为（ 元 ,0

12、）,则双曲线的顶点（土 ”证 0）,可得 a=VlC , 以厂土丄； 为渐近线的双曲线，可得 b= , 2 2 2 ,2 x y 所求的双曲线方程为：- . 7 2 ,2 X y t 故答案为： 7 10. M 是抛物线 y=4x2+1 上的一个动点， 且点 M 是线段 OP 的中点 （O 为原点） ， P 的轨迹方程 为 y=2x2+2 . 【考点】KK 圆锥曲线的轨迹问题. 【分析】设出 P 的坐标，求出 M 的坐标，动点 M 在抛物线 y=4x2+1 上运动，点 M 满足抛物线方 程，代入求解，即可得到 P 的轨迹方程. 【解答】解：设 P 的坐标（x, y）,由题意点 M 为线段 0P

13、 的中点，可知 M （岂，工）, &参数方程 （t 为参数），化为一般方程为 x+y - 2=0 -11 - 2 2 动点 M 在抛物线 y=4x2+1 上运动，所以：=4三厂 +1,所以 y=2x2+2 2 2 动点 P 的轨迹方程为：y=2x2+2. 故答案为：y=2x2+2. 11. 某地球仪上北纬 60纬线长度为 6 n cm,则该地球仪的体积为 288 cm3. 【考点】LG:球的体积和表面积. 【分析】地球仪上北纬 60纬线的周长为 6n cm,可求纬圆半径，然后求出地球仪的半径， 再求体积. 【解答】解：由题意：地球仪上北纬 60纬线的周长为 6n cm, 纬圆半径是：3

14、cm 地球仪的半径是：6cm; 地球仪的体积是： n X 63=288cm3, 3 故答案为：288 n . 12. 若圆（x - a） 2+ （y- a） 2=1 （a0）上总存在两个点到原点的距离为 1,则 a 的取值范围 是 （0, ） 【考点】JA:圆与圆的位置关系及其判定. 【分析】转化题目，为两个圆的位置关系，通过圆心距与半径和与差的关系列出不等式求解 即可. 【解答】解：圆（x - a） 2+ （y - a） 2=1 （a 0）上总存在两个点到原点的距离为 1，转化为： 以原点为圆心 1 为半径的圆与已知圆相交， 可得 1 - 1 1;命题 q：关于 x 的实系数方程 x2 -

15、2 x+a=O 有虚数解，则 p 是 q 的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D .既不充分也不必要条件 【考点】2L:必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】根据复数的有关性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断. 【解答】解：若关于 x的实系数方程 x2- 2 x+a=0 有虚数解， 则判别式 2, p 是 q 的必要不充分条件， 故选：B 14 .若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，圆柱、球的表面积分别记为 S、S2,则 Si: S2= （ ） A. 1: 1 B . 2: 1 C . 3: 2 D. 4: 1 【考点】LG:球的体积和表面积. 【分

16、析】根据圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，设为球的半径为 1，结合圆柱的表面积 的公式以及球的表面积即可得到答案. 【解答】解：由题意可得：圆柱的底面直径和高都与球的直径相等，设球的半径为 1, 所以等边圆柱的表面积为： S=6 n , 球的表面积为：Sz=4n . 所以圆柱的表面积与球的表面积之比为 S: S2=3: 2. 故选 C. 15. 如图，在下列四个几何体中，它们的三视图（主视图、左视图、俯视图）中有且仅有两 个相同，而另一个不同的几何体是（ ）-13 - A. (2) ( 3) ( 4) B . (1) (2) ( 3) C . (1) (3) (4) D . ( 1) (2)

17、 (4) 【考点】L7:简单空间图形的三视图. 【分析】主视图、左视图、俯视图中有且仅有两个相同，需要看出四个图形的三视图，圆柱 的侧视图与主视图一样，圆锥的侧视图与主视图一样，四棱柱侧视图与主视图一样，得到结 果. 【解答】解：要找三视图中有且仅有两个相同，而另一个不同的几何体， 需要看出所给的四个几何体的三视图， 正方体的三视图都是正方形，都相同，不合题意， 圆柱的侧视图与主视图一样，符合题意， 圆锥的侧视图与主视图一样，符合题意， 四棱柱侧视图与主视图一样，符合题意， 故符合题意的有(2) ( 3) (4)三个， 故选 A. (4)匡面讷長泊1、高为1的存四棱杭 底面直径和蔦均为】的圆柱

18、 -14 - 16. 如果函数 y=|x| - 2 的图象与曲线 C: x2+y2=入恰好有两个不同的公共点，则实数 入的取 值范围是( ) A. 2 U( 4, +s) B. (2, +s) C. 2 , 4 D. (4, +) 【考点】J8 :直线与圆相交的性质. 【分析】根据题意画出函数 y=|x| - 2 与曲线C: x2+y2=入的图象，抓住两个关键点，当圆 0 与两射线相切时，两函数图象恰好有两个不同的公共点，过 0 作 OCLAB,由三角形 AOB 为等 腰直角三角形，利用三线合一得到 0C 为斜边 AB 的一半，利用勾股定理求出斜边，即可求出 0C 的长，平方即可确定出此时 入

19、的值；当圆 0 半径为 2 时，两函数图象有 3 个公共点，半径 大于 2 时，恰好有 2 个公共点，即半径大于 2 时，满足题意，求出此时 入的范围，即可确定 出所有满足题意 入的范围. 【解答】解：根据题意画出函数 y=|x| - 2 与曲线C: x2+y2= X的图象，如图所示， 当 AB 与圆 0 相切时两函数图象恰好有两个不同的公共点，过 0 作 0CL AB / 0A=0B=2 / A0B=90 , 根据勾股定理得：AB=2 二, 0C= AB=二 ，此时入=0C=2; 2 当圆 0 半径大于 2，即入4 时，两函数图象恰好有两个不同的公共点， 综上，实数入的取值范围是2 U( 4

20、, +8). 故选 A 三、简答题 17. 直角坐标系中，已知动点 P ( x, y)到定点 F( 0, 2)的距离与它到 y= - 1 距离之差为 1, (1) 求点 P 的轨迹 C -15 - (2) 点 A (3, 1), P 在曲线C 上，求|PA|+|PF|的最小值，并求此时点 P 的坐标.-16 - 【考点】IW:与直线有关的动点轨迹方程. 【分析】(1)设 P (x, y),由两点间距离公式和点到直线的距离公式列出方程，由此能求出 曲线 C 的方程； (2)要使|PA|+|PF|的值最小，则三点 P, A，F 三点共线，此时点 P 为直线 AF 与抛物线的交 点即可 【解答】解：

21、(1)( 1)设 P(x，y), 动点 P (x, y)到定点 F (0, 2)的距离与它到 y=- 1 距离之差为 1, ,整理得 x2=8y 点 P 的轨迹 C 是以原点为顶点，对称轴为 y 轴的抛物线. (2)如图,要使|PA|+|PF|的值最小,则三点 P, 此时点 P 为直线 AF 与抛物线的交点. 直线 AF 方程：x+3y - 6=0 |PA|+|PF|的最小值为 二-| 18. 在长方体 ABC- A1BC1D 中，AB=BC=2 AA=3 ,过 A、C1、B 三点的平面截去长方体的一个 角后，得到如下所示的几何体 ABC A1GD1. (1) 若 AQ 的中点为 O,求异面直

22、线 BQ 与 AD 所成角的大小(结果用反三角函数值表示) (2) 求点 D 到平面 ABC 的距离 d .F 三点共线, +3y-6=0 得P( -W10+22 -17 - 【考点】MK 点、线、面间的距离计算； LM:异面直线及其所成的角. 【分析】(1 )建立空间直角坐标系.求出相关点的坐标，求出 利 用空间向量的连结求解异面直线 B0 与 AiD 所成的角. (2)求出平面 ABD 的法向量.通过空间向量的距离公式求解即可. 【解答】(本题满分 12 分)本题共有 2 个小题，第 1 小题满分，第 2 小题满分.(理科) 解：(1)按如图所示建立空间直角坐标系.由题知，可得点 D (

23、0, 0, 0)、B ( 2, 2, 0)、D (0, 0, 3)、A (2, 0, 3)、C (0, 2, 3). 由 O 是 AC 中点，可得 0( 1, 1, 3). 于 是 ， 瓦二(T, T, 3),和;二(-2, 0t 0) . 设异面直线 BQ 与 A D 所成的角为 0，则 是平面 ABD 的法向量. nBAO n*BC1=：O. 又:r; . - cos 8 二 | BO】 -A IBOHAXI 因此，异面直线 BQ 与 AD 所成的角为 arccos 11 仍盹二0 -2x+3z=0. 取 z=2，可得，尸3 即平面 BAC 的一个法向量是 -18 - 口二（3, 3, 2

24、）-19 - 19 .复数 z 满足 z + (1 - 2i ) z+ (1+2i )二=3,求 |z| 的最大值. 【考点】A5:复数代数形式的乘除运算. 【分析】设 z=a+bi (a, b R),则二一二,代入 z y + (1 - 2i ) z+ (1+2i) 得(a+1) 2 + ( b+2) L8.则 z 在复平面内所对应点的轨迹为以 (-1, - 2)为圆心，以汽: 为半径的圆数形结合求|z|的最大值. 【解答】解：设 z=a+bi (a, b R),则, 代入 z + (1 - 2i ) z+ (1+2i ) =3，得 (a2+b2+2a+4b) + ( b- 2a - b+2

25、a) i=3 , 即 a2+b2+2a+4b=3，化为(a+1) 2+ ( b+2) 2=8. z 在复平面内所对应点的轨迹为以(- 1, - 2)为圆心， 以 二 为半径的圆. |z|= 则|z|的最大值为 ：匚二-匸戈 n 11 =3, -20 - 20.已知直线 I : kx - y+1+2k=0, k R (1) 直线过定点 P,求点 P 坐标； (2) 若直线 I交 x 轴负半轴于点 A,交 y 轴正半轴于点 B, O 为坐标原点，设三角形 OAB 的面 积为 4，求出直线 I方程. 【考点】IO:过两条直线交点的直线系方程. 【分析】(1)由 kx - y+1+2k=0，可得 k

26、(x+2) + (1 - y) =0 可得直线 I : kx - y+1+2k=0 必过直线 x+2=0, 1 - y=0 的交点(-2, 1) (2)令 y=0，得 A ( - , C )；令 x=0,得 B (0, 1+2k) k 三角形 OAB 的面积为 s=一 ：， =4, 2 2 k 解得 k 【解答】解：(1)由 kx - y+1+2k=0，可得 k (x+2) + (1 - y) =0 直线 I : kx - y+1+2k=0 必过直线 x+2=0, 1 - y=0 的交点(-2, 1) P (- 2, 1). (2)v直线 I交 x 轴负半轴于点 A 交 y 轴正半轴于点 B, k 0 令 y=0，得 A ( - , C );令 x=0,得 B (0, 1+2k) k 三角形 OAB 的面积为 s= 卜 =、i=4 2 2 k 解得 k= 2 2 2 21 .椭圆 C:-：二：！ I - 过点 M(2, 0),且右焦点为 F (1, -21 - 0),过 F 的直线 I与椭圆 C 相交于 A、B 两点.设点 P (4, 3)，记 PA PB 的斜率分别为 匕和-22 - (1) 求椭圆 C 的方程； (2) 如果直线 I的斜率等于-1，求出 ki?k2的值； (3