最新【走向高考】届高三数学北师大版一轮复习基础达标检测：专题1高考中的导数应用问题名师精编资料汇编

1、专题一高考中的导数应用问题ln x k1.已知函数f(x) x ( k 为常数， e 2.718 28 是自然对数的底数 )，曲线 y f(x)在点 e(1， f(1)处的切线与x 轴平行(1)求 k 的值；(2)求 f(x)的单调区间分析 由 f (1) 0 求出 k 的值； (2) 求出函数的定义域，利用导数求单调区间解析 (1)由 f(x)lnx kx ，e得 f (x)1 kx xlnxx， x(0， )，xe由于曲线 y f(x) 在 (1，f(1) 处的切线与x 轴平行所以 f (1) 0，因此 k 1.1(2)由 (1) 得 f (x)xex(1 x xlnx)， x(0， )，

2、令 h(x) 1 x xln x，x(0， )，当 x(0,1) 时， h(x)>0 ；当 x(1， )时， h(x)<0.又 ex>0，所以 x(0,1)时， f (x)>0 ；x(1， )时， f (x)<0.因此 f(x)的单调递增区间为(0,1) ，单调递减区间为(1， )1312 2ax.2设 f(x) x x32(1)若 f(x)在 (2， ) 上存在单调递增区间，求a 的取值范围3(2)当 0< a<2 时， f( x)在1,4 上的最小值为16，求 f(x)在该区间上的最大值3解析 (1)由 f (x) x2 x 2a (x 12)2

3、142a当 x23， )时， f (x)的最大值为f (23) 29 2a；令 29 2a>0，得 a> 19所以，当a>1时， f( x)在 (2， )上存在单调递增区间即f(x)在 (2， )上存在单9331调递增区间时，a 的取值范围是 ( 9， )11 1 8a11 8a(2)令 f ( x) 0，得两根， x2.x22所以 f(x)在 ( ， x1)， (x2， )上单调递减，在 (x1， x2)上单调递增当 0<a<2 时，有 x1<1<x2<4，所以 f(x)在 1,4 上的最大值为f(x2)，27又 f(4) f(1) 2 6a&

4、lt;0，即 f(4)< f(1)所以 f(x)在 1,4 上的最小值为f(4) 8a40 16，得 a 1，x2 2，3310从而 f(x)在 1,4 上的最大值为 f(2) 3 .3某村庄似修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度 )设该蓄水池的底面半径为r 米，高为 h 米，体积为 V 平方米假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元 / 平方米，底面的建造成本为160 元 / 平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000元 (为圆周率 )(1)将 V 表示成 r 的函数 V(r)，并求该函数的定义域；(2)讨论函数 V(r) 的单调性，并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池的体

5、积最大解析 (1)因为蓄水池侧面的总成本为100 · rh2 200rh 元，底面的总成本为2160 r元，所以蓄水池的总成本为(200rh 160r22000，所以)元，又据题意200 rh 160 r 1212h 5r(300 4r)，从而22V(r) rh 5(300r 4r )因 r>0 ，又由 h>0 可得 r <5 3，故函数 V(r )的定义域为 (0,5 3) 3 12r2)，令 V (r) 0，解得 r1 5.r 2 5(因(2)因 V(r )(300r 4r)，故 V(r) (30055r 2 5 不在定义域内，舍去)当 r(0,5)时， V (

6、r)>0 ，故 V(r )在 (0,5)上为增函数；当 r(5,5 3)时， V (r )<0，故 V(r)在 (5,5 3)上为减函数由此可知， V(r )在 r 5 处取得最大值，此时h 8，即当 r 5， h 8 时，该蓄水池的体积最大4 (文 )(2014 北·京高考 )已知函数f(x) 2x3 3x.(1)求 f(x)在区间 2,1 上的最大值；(2)若过点 P(1， t)存在 3 条直线与曲线yf(x)相切，求t 的取值范围解析 (1)由 f(x) 2x3 3x 得 f (x) 6x2 3，2 2 令 f (x) 0，得 x 2 或 x 2 .2因为 f( 2

7、) 10， f( 2)2，2f( 2 ) 2， f(1) 1，所以 f(x)在区间 2,1 上的最大值为f(22) 2.(2)设过点 P(1， t)的直线与曲线y f( x)相切于点 (x0， y0) ，则 y0 2x30 3x0，且切线斜率为k 6x20 3，所以切线方程为y y0 (6x20 3)(x x0 )，因此 t y0 (6x20 3)(1 x0)整理得 4x30 6x20 t 3 0.设 g(x) 4x3 6x2 t 3，则 “ 过点 P(1， t)存在 3 条直线与曲线y f(x) 相切 ” 等价于 “ g(x)有 3 个不同零点 ”g (x) 12x2 12x12x(x 1)

8、g(x)与 g (x)的情况如下：x(， 0)0(0,1)1(1， )g (x)00g(x)t 3t 1所以， g(0) t 3 是 g(x)的极大值， g(1) t 1 是 g(x)的极小值当 g(0) t 3 0，即 t 3 时，此时g( x)在区间 ( ，1和 (1， )上分别至多有1个零点，所以g(x)至多有 2 个零点当 g(1) t 1 0，即 t 1 时，此时g( x)在区间 ( ，0)和 0， )上分别至多有1个零点，所以g(x)至多有 2 个零点当 g(0)>0 且 g(1)<0 ，即 3< t< 1 时，因为 g( 1) t 7<0 ， g(2

9、) t 11>0，所以 g(x)分别在区间 1,0)，0,1) 和1,2) 上恰有1 个零点由于g(x)在区间( ，0)和 (1， )上单调，所以g(x)分别在区间( ， 0)和 1， )上恰有1 个零点综上可知，当过点P(1，t)存在 3 条直线与曲线yf(x)相切时， t 的取值范围是 ( 3，1)(理 )(2014 新·课标 ) 已知函数 f(x) ex ex2x.(1)讨论 f(x)的单调性；(2)设 g(x)f(2x) 4bf(x)，当 x>0 时， g(x)>0，求 b 的最大值；(3)已知 1.4142<2<1.4143 ，估计 ln2 的

10、近似值 (精确到 0.001)解析 (1)f (x) ex e x 2 0，等号仅当x 0 时成立所以 f(x)在 ( ， )单调递增(2) g( x) f(2x) 4bf(x) e2x e 2x 4b(ex ex) (8b 4)x， g (x) 2e2x e 2 x 2b(ex e x)(4b 2) 2(ex e x 2)(ex ex 2b2)当 b 2 时，g (x) 0，等号仅当x 0 时成立， 所以 g(x) 在( ， )单调递增 而g(0) 0，所以对任意x>0，g(x)>0.当 b>2 时，若 x 满足 2<ex ex<2b 2，即 0<x<

11、;ln( b 1b2 2b) 时， g (x)<0. 而g(0) 0，因此当 0<x<ln( b 1b22b)时， g(x)<0. 综上， b 的最大值为 2.3(3)由 (2)知， g(ln2) 222b 2(2b 1)ln2 ，当 b2时， g(ln2)3 42 6ln2>0 ，2ln2>8 2312>0.6928；当 b342 1 时， ln(b 1 b2 2b) ln 2，3g(ln 2)2 22 (3 2 2)ln2<0 ，ln2<18 228<0.6934.所以 ln2 的近似值为 0.693.1.设函数 f(x) a2l

12、nx x2 ax， a>0.(1)求 f(x)的单调区间；x(2)求实数 a 的值，使 e 1 f(x)e 对 x 1， e恒成立注：e 为自然对数的底数22解析 (1)因为 f(x)a lnxx ax，其中 x>0，2x a 2x a所以 f (x) a 2x a.xx由于 a>0，所以 f(x)的增区间为 (0， a)，减区间为 (a， )(2)由题意得f(1) a 1 e 1，即 a e.由 (1)知 f(x)在1 ， e内单调递增，要使 e1 f(x) e2 对 x1， e恒成立f 1 a 1 e 1，只要f e a2 e2 ae e2，解得 a e.1 22已知函数f(x) 2x (a 1)x a(1 lnx)(1)求曲线 y f(x)在点 (2， f(2) 处与直线y x 1 垂直的切线方程；(2)当 a>0 时，求函数f(x)的极值解析 (1)函数 f(x)的定义域为 (0， )，af (x)x( a 1) x，根据题意知曲线y f(x)在点 (2，f(2) 处切线的斜率为1，所以 f(2)a1 21，即 2 ( a 1) 2 1，所以 a 0， f( x) 2x x，此时 f(2) 2 2 0，故曲线yf(x)在(2