高中数学第二章平面向量2.3从速度的倍数到数乘向量2.3.1数乘向量3ppt课件

1、2.32.3从速度的倍数到数乘向量从速度的倍数到数乘向量2.3.12.3.1数乘向量数乘向量【知识提炼】【知识提炼】1.1.数乘向量的概念与运算律数乘向量的概念与运算律(1)(1)数乘向量：数乘向量：定义：定义： a a是一个是一个_._.长度：长度：_._.向量向量|a|a|方向：方向：一样一样相反相反恣意恣意(2)(2)数乘向量的运算律：数乘向量的运算律：(a)=_(a)=_(，R).R).(+)a=_(+)a=_(，R).R).(a+b)=_(R).(a+b)=_(R).()a()a a+ a a+ a a+ b a+ b2.2.向量共线的断定定理与性质定理向量共线的断定定理与性质定理(

2、1)(1)断定定理：断定定理：a a是一个非零向量，假设存在一个实数是一个非零向量，假设存在一个实数，使得，使得b=_b=_，那么向量，那么向量b b与非零向量与非零向量a a共线共线. .(2)(2)性质定理：假设向量性质定理：假设向量b b与非零向量与非零向量a a共线，那么存在一个实共线，那么存在一个实数数，使得，使得b=_.b=_.aaaa【即时小测】【即时小测】1.1.思索以下问题思索以下问题: :(1)(1)实数与向量相乘得到数乘向量实数与向量相乘得到数乘向量, ,那么实数与向量能相加那么实数与向量能相加( (减减) )吗吗? ?提示提示: :不能不能. .实数与向量可以相乘实数与

3、向量可以相乘, ,但不能相加减但不能相加减. .(2)(2)假设向量假设向量a,ba,b共线共线, ,一定有一定有b=a(R)b=a(R)吗吗? ?提示提示: :不一定不一定. .当当a=0,b0a=0,b0时时,不存在不存在. .2.2.知知,R,R,下面式子正确的选项是下面式子正确的选项是( () )A.aA.a与与a a同向同向 B.0a=0 B.0a=0C.C.假设假设a0,ma=na,a0,ma=na,那么那么m=n D.m=n D.假设假设b=a,b=a,那么那么|b|=|a|b|=|a|【解析】选【解析】选C.C.当当01|1时时, ,有有|a|a|,|a|a|,这意味着表示向量

4、这意味着表示向量a a的有向线段在原方向的有向线段在原方向(1)(1)或反方向或反方向(-1)(-1)上伸长到上伸长到|倍倍; ;当当0|10|1时时, ,有有|a|a|,|a|a|,这意味着表这意味着表示向量示向量a a的有向线段在原方向的有向线段在原方向(01)(01)或反方向或反方向(-10)(-10,2x-10,即即x .x .答案答案:x:x2.(1)2.(1)正确正确. .由于由于20,20,所以所以2a2a与与a a方向一样且方向一样且|2a|=2|a|.|2a|=2|a|.(2)(2)正确正确. .由于由于50,50,所以所以5a5a与与a a方向一样方向一样, ,且且|5a|

5、=5|a|,|5a|=5|a|,而而-20,-20,所以所以-2a-2a与与a a的方向相反的方向相反, ,且且-2a-2a的模是的模是5a5a模的模的 . .(3)(3)正确正确. .按照相反向量的定义可以判别按照相反向量的定义可以判别. .121225(4)(4)错误错误. .由于由于-(b-a)-(b-a)与与b-ab-a是一对相反向量是一对相反向量, ,而而a-ba-b与与b-ab-a是一对相反向是一对相反向量量, ,故故a-ba-b与与-(b-a)-(b-a)为相等向量为相等向量. .答案答案:3:3【方法技巧】对数乘向量的三点阐明【方法技巧】对数乘向量的三点阐明(1)a(1)a的实

6、数的实数叫作向量叫作向量a a的系数的系数. .(2)(2)向量数乘运算的几何意义是把向量数乘运算的几何意义是把a a沿着沿着a a的方向或的方向或a a的反方向扩展或减的反方向扩展或减少少. .(3)(3)当当=0=0或或a=0a=0时时,a=0.,a=0.留意是留意是0,0,而不是而不是0.0.【拓展延伸】【拓展延伸】a a的单位向量的单位向量(1)a(1)a的单位向量为的单位向量为e=e= . .(2)a(2)a的方向上的单位向量为的方向上的单位向量为e= .e= . aa aa【变式训练】知【变式训练】知O O是平面内一定点是平面内一定点,A,B,C,A,B,C是平面上不共线的三个点是

7、平面上不共线的三个点, ,动点动点P P满足满足 (0,+), (0,+),那么点那么点P P的轨迹一定的轨迹一定经过经过ABCABC的的( () )A.A.外心外心 B. B.内心内心C.C.重心重心 D. D.垂心垂心ABACOP OAAB|AC ()【解析】选【解析】选B. B. 上的单位向量上的单位向量, , 上的单位向量上的单位向量, ,那么那么 的方向为的方向为BACBAC的角平分线的方向的角平分线的方向. .ABABAB| 为ACACAC 为ABACAB|AC 类型二类型二 数乘向量的运算数乘向量的运算【典例】如图【典例】如图,D,E,F,D,E,F分别为分别为ABCABC的边的

8、边BC,CA,ABBC,CA,AB的中点的中点, ,且且 试求试求 ( (用用a,ba,b表示表示).).BC, aCA. bAD,BE,CF 【解题探求】题中【解题探求】题中 所在线段在三角形中叫什么所在线段在三角形中叫什么? ?提示提示: :三角形的中线三角形的中线. .AD,BE,CF 【解析】【解析】 11ADACCDCB.22 bba11BEBCCE.CFCAAB221CAACCB2111.222 abbbaba【延伸探求】【延伸探求】1.(1.(改动问法改动问法) )本例条件不变本例条件不变, ,求求 【解析】由于【解析】由于 所以所以 ADBECF. 11AD ACCDCB22

9、，bba11BEBCCECFCAAB221CAACCB2111222 ，abbbaba1111ADBECF.2222 baabba02.(2.(变换条件变换条件) )本例如添加条件本例如添加条件“G“G为为AD,BE,CFAD,BE,CF的交点的交点, ,试求试求 【解析】如图【解析】如图, ,由题意知由题意知, ,点点G G为三角形的重心为三角形的重心, ,所以所以 AG BG CG. ， ，2221AGADACCDCB3332 （）()b2121.323322BGBEBCCE332121.3233 ()()babaabab221CGCFCAAB33221CAACCB 322111.3233

10、 ()bbaba【方法技巧】用知向量表示其他向量的两种方法【方法技巧】用知向量表示其他向量的两种方法(1)(1)直接法直接法(2)(2)方程法方程法当直接表示比较困难时当直接表示比较困难时, ,可以首先利用三角形法那么和平行四边形法可以首先利用三角形法那么和平行四边形法那么建立关于所求向量和知向量的等量关系那么建立关于所求向量和知向量的等量关系, ,然后解关于所求向量的然后解关于所求向量的方程方程. .【补偿训练】在【补偿训练】在 ABCDABCD中中,E,E和和F F分别为边分别为边CDCD和和BCBC的中点的中点, ,假设假设其中其中,R,R,求求+的值的值. .ACAEAF, 【解析】如

11、下图【解析】如下图, ,设设 那么那么 由于由于 所以所以 所以所以 ABAD ， ，ab11AEAFAC.22 ， ， abababACAEAF ，1122 ( ) ( )ababab11.22( ) ( )ab2113212123 ， ，所以解得 ， ，4.3 【延伸探求】【延伸探求】1.(1.(变换条件、改动问法变换条件、改动问法) )此题条件此题条件“假设假设 其中其中,R,R变为变为“ “ , ,试用试用a,ba,b表示表示 ACAEAF ，AB,AD abEF.【解析】方法一【解析】方法一: :由于由于 1AEADDC2 11AB22111AFABBCAD222111EFAFAE.

12、222 ，所以()babaabababab方法二方法二: :由题意知由题意知, , 1EF DB,2 DBABAD.11EFDB.22 所以abab2.(2.(变换条件、改动问法变换条件、改动问法) )此题条件此题条件“假设假设 其中其中, , RR变为变为“ “ , ,试用试用a,ba,b表示表示 ACAEAF ，AF,AE abBC,CD. 【解析】方法一【解析】方法一: : 1BC,BF,2 则xx11111AB,DEDCAB.222241142ADDEAE,2433421BC. CDABAB,33211 4242CD.22 3333 由，得即即由，得()axaxxaxbxbabaaxx

13、abaaabBC,CD,11BF,DE.22ABBFAFADDEAE421,332142,.2334242BC,CD.3333 方法二：设则由，得解得所以xyxyxbayxaxybyabbaab类型三类型三 共线向量定理的运用共线向量定理的运用【典例】设两个非零向量【典例】设两个非零向量e1e1和和e2e2不共线不共线. .假设假设 求证求证:A,C,D:A,C,D三点共线三点共线. .1212ABBC 32 ， ，eeee12CD82 ，ee【解题探求】【解题探求】A,C,DA,C,D三点共线应满足的条件是什么三点共线应满足的条件是什么? ?提示提示:A,C,D:A,C,D三点共线应满足三点

14、共线应满足 ACCD. 【证明】【证明】 所以所以 共线共线. .又由于又由于ACAC与与CDCD有公共点有公共点C,C,所以所以A,C,DA,C,D三点共线三点共线. .121212ABBC 32CD82 ， ， ，eeeeee121211AC AB BC 4( 82)CD22 ，eeeeACCD 与【延伸探求】假设【延伸探求】假设 A,C,D A,C,D三点共线三点共线, ,求求k k的值的值. .【解析】【解析】 =(e1+e2)+(2e1-3e2)=3e1-2e2, =(e1+e2)+(2e1-3e2)=3e1-2e2,由于由于A,C,DA,C,D三点共线三点共线, ,所以所以 共线共

15、线, ,从而存在实数从而存在实数使得使得 即即3e1-2e2=(2e1-ke2),3e1-2e2=(2e1-ke2),所以所以 121212ABBC 23CD 2k ， ， ，eeeeeeAC AB BC ACCD 与ACCD ，3234k.2k23，解得 ， 【方法技巧】【方法技巧】1.1.用向量共线定理求参数的方法用向量共线定理求参数的方法(1)(1)三点三点A,B,CA,B,C共线问题共线问题: :利用利用 构造方程求参数构造方程求参数. .(2)(2)知向量知向量ma+nbma+nb与与ka+pb(aka+pb(a与与b b不共线不共线) )共线求参数的值的步骤共线求参数的值的步骤设设

16、: :设设ma+nb=(ka+pb);ma+nb=(ka+pb);整整: :整理得整理得ma+nb=ka+pb,ma+nb=ka+pb,故故解解: :解方程组得参数的值解方程组得参数的值. .ABAC mknp ，；2.2.运用向量共线定理时的留意点运用向量共线定理时的留意点(1)(1)证明三点共线问题证明三点共线问题, ,可用向量共线处理可用向量共线处理, ,但应留意向量共线与三点但应留意向量共线与三点共线的区别与联络共线的区别与联络, ,当两向量共线且有公共点时当两向量共线且有公共点时, ,才干得出三点共线才干得出三点共线. .(2)(2)向量向量a,ba,b共线是指存在不全为零的实数共线

17、是指存在不全为零的实数1,2,1,2,使使1a+2b=01a+2b=0成成立立, ,假设假设1a+2b=0,1a+2b=0,当且仅当当且仅当1=2=01=2=0时成立时成立, ,那么向量那么向量a,ba,b不共线不共线. .【变式训练】【变式训练】(2021(2021全国卷全国卷)设设D D为为ABCABC所在平面内一点所在平面内一点, , 那么那么( () ) BC3CD ，14A.ADABAC3314B.ADABAC3341C.ADABAC3341D.ADABAC33 【解析】选【解析】选A.A.由题知由题知 ADACCD 1ACBC31ACACAB314ABAC.33 【补偿训练】【补偿

18、训练】1.1.设设D,E,FD,E,F分别是分别是ABCABC的三边的三边BC,CA,ABBC,CA,AB上的点上的点, ,且且 ( () )A.A.反向平行反向平行 B. B.同向平行同向平行C.C.相互垂直相互垂直 D. D.既不平行也不垂直既不平行也不垂直DC 2BD CE 2EA AF 2FBAD BE CFBC ， ， ，则与【解题指南】【解题指南】 假设存在实数倍关系假设存在实数倍关系, ,再看系数的正负再看系数的正负, ,假设系数为正那么同向平行假设系数为正那么同向平行, ,假设系数为负那么反向平行假设系数为负那么反向平行; ;假设不存在实假设不存在实数倍关数倍关系那么不平行系那

19、么不平行. .AD BE CFBC 与【解析】选【解析】选A.A.由题意由题意, ,得得 又又 所以所以 所以所以 同理同理, ,得得 将以上三式相加将以上三式相加, ,得得 DC DA AC BD BA AD. ， DC 2BD ，DA AC 2(BA AD) 12ADACAB.33 1212BEBCBA CFCACB.3333 ， 1AD BE CFBC.3 2.2.假设假设a,ba,b是两个不共线的非零向量是两个不共线的非零向量,a,a与与b b起点一样起点一样, ,那么当那么当t t为何值为何值时时,a,a,tb, (a+b)tb, (a+b)三向量的终点在同一条直线上三向量的终点在同一条直线上? ?13【解析】设【解析】设 那么那么 要使要使A,B,CA,B,C三点共线三点共线, ,只需只需 即即 所以当所以当t= t= 时时, ,三向量的终点在同一条直线上三向量的终点在同一条直线上. .OAOB t ， ，ab1OC()3 ，ab21AC OC OA33 ，abAB OB OAt. baACAB. 21t.33abba223311tt.32 ， ，所以有解得，12易错案