确定函数极限的常用方法

1、 确定函数极限的常用方法内容摘要在数学分析中,极限思想贯穿于始末,求极限的方法也显得至关重要。本文主要探讨、总结求函数极限的一般方法，并展示了利用积分求极限的特殊方法,而且把每一种方法的特点及注意事项作了重点说明,并以实例进行了具体注解,使方法更具针对性、技巧性和可操作性。 关键词：函数，求极限，基本方法 Common method to determine the limit of functionAbstractIn mathematical analysis, the limit idea throughout the story, the limit methods are cruci

2、al. This paper mainly discussed, summed up the general method of seeking the limit of a function and demonstrated the use of special methods for Integral limit, and the characteristics of each method and precautions were highlighted, and specific examples to comment, make way more and targeted, skil

3、l and operability.keyword：Function, Limit, The basic method目 录一、引言.（1）二、函数极限的基本知识.（1） （一）函数极限的定义.（1） （二）函数极限的性质.（1）三、函数极限的基本解法.（2） （一）定义法.（2） （二）利用极限四则运算法则.（2） （三）利用迫敛性定理求极限.（3）（四）利用两个重要极限求极限.（3） （五）利用左右极限求极限.（4）（六）幂指函数求极限.（4）四、函数极限的微积分解法. .（5） （七）利用无穷小量求极限.（5） （八）利用洛比达法则求极限.（7） （九）利用单调有界准则求极限.（9） （

4、十）利用中值定理求极限.（10）五、小结.（11）参考文献.（11）致谢 .（11）确定函数极限的常用方法一、引言纵观整个高等数学体系我们可以发现极限问题一直贯穿始末。因此，作为中一个最的，与是我们所必须解理与握掌的，而活灵握、运用更是的。但是，由于数学题型是多种多样的，又是千变万化的，因此的方法也是、，面对这些题型有时真的感到测无从下手。本文特对一些限极的方法进行，并通过对一些高等院校历年来研究生入学考试典型试题的特征进行了深刻的分析，借以说明其求解与，力求做到的。2、 函数极限的基本知识(一)函数极限的定义 定义：设为定义在上的函数，为定数.若对任给的,存在正数，使得当时有，则称函数当趋于

5、时以为极限，记作 或 。特别的，对上述定义，当趋于或或时，的极限仍然存在；当趋于（或）时，的左右极限也存在。（二）函数极限的性质性质1 的充要条件是在点的左右极限都存在且都为.性质2 唯一性 若存在，则它只有一个极限.性质3 局部有界性 若存在，则在的某个空心领域内有界.性质4 局部保号性 若在点极限为（），则对任意正数，存在 的一个空心邻域，使得对中的任意，恒有.性质5 不等式 若，且有 成立，则，即.性质6 迫敛性（两边夹） 若，且有， 则.三、函数极限的基本解法（一）定义法的计中，应应义定法来求解是最遍普的一种方法。虽然它对于求解所有的极极都实用，但是对于复杂的限来说应用定义法算起来会比

6、较非常麻烦，因例1 按定义证明 . 证明 ， ， ，所以 . 1. 若，则 . .2. ,则 . 需是的，其是作为的函的限限不能为，再次的限限不能为例2 求极限 解 .例3 求极限 解 . 例4 求极限 解 由于，故 .又 故 即 . 两个重要的极限：1. 2. 第一个极限比较简单，是“”型，一般可以通过等价无穷小来实现；第二个极限比较复杂，在计算时应注意它是，是典型的“”，具有“外大内小，内外颠倒”的特点。在利用这两个重限求要求的函限时，其关键是在于把要求的函限进行转化，转化成的标准型或的变形，然后才能进行计算。例5 求极限 解 .例6 求极限 解 .（五）利用左右极限求极限函数在时存在的充

7、件是右极各自且，即，这个既是求的有力的方，也是证限存的有力工具。对求问题，而在分段点上求时，必须考虑该分段点的左限。例7 设 讨论是否存在.解 因为 所以 存在且 .（六）幂指函数求极限这类极限常用的方法是先取对数，再求指数，把求“幂”的极限化为求“积”的极限.例8 求极限解 原式=，其中所以，原式.例9 求极限.解 原式，其中， 所以，原式四、函数极限的微积分解法（七）利用无穷小量求极限1.例10 求极限 解 ， ，即 .2.利用等价无穷小量代替来求极限等价无穷小通常是针对一些型的极限，若恰当的使用等价无穷小这种方法，通常会给解题带来很大的方便。关于等价无穷小有一个重要的特点：若，且，则.在

8、计算的过程中，等价无穷小是替换的是分子分母或它们的乘积因子，从而达到简化极限计算的目的。当时，.例11 求极限 解 ， （）.例12 求极限 解 ， （） .3.利用泰勒公式求极限泰勒公式（1）设在上存在直到阶连续导数，在内存在阶导数，则，其中.（2） ，.由于泰勒公式的特殊形式，对于求解某些函数的极限有简化求解过程的作用。例13 求极限.解 .本题也可用洛比达法则求解，但是运算过程比较繁琐，因此可用泰勒公式化简计算过程。考虑到极限分母是，我们用麦克劳林表示极限的分子，取(). 因而求得.（八）利用洛比达法则求极限如果当（或）时，两个函数和都趋于零或无穷大，那么极限（或）可能存在，这种极限叫做

9、未定式并且分别简记为型或型。对于这类极限，一般可按洛比达法则求解。1.洛比达法则：（1）若，.的某空心内，.且，则 .（2）若，.的某空心内，.且，则 .（3）类似有单侧极限的不定式的洛比达法则.洛比达法则说明了在一定条件下若不能直接求出函数的极限，则可将函数的分子分母先分别进行求导然后在求极限，若还是不能求出函数的极限，则可再次使用洛比达法则，即对函数极限的分子分母分别进行二次求导.这也就是说，可以多次使比则.例14 求极限 解 ，.例15 求极限解 这是，2.其它类型的未定式，如，等都可以转化成型或型，然后再用洛比达法则进行求解.例16 求极限 解 ，然后再用则可得.（九）利用单调有界准则

10、求极限单调有界准则：若函数列是单调增（或减）且有上界（或下界），则函数列必有极限，且极限唯一.利用单调有界准则求极限，首先要证明函数列的极限是存在的，然后再在函数列两端同时取极限.例17 给定数列，（）证明：，. 证明 先用数学归纳法证明 当时，.即当时式，再证时，.式，即单递.即 有上界.存在.且对 两端求极限有 ，解的 或 （舍）.（十）利用中值定理求极限1.利用微分中值定理例18 求 解 设， 即 因为 连续，所以于是 .2.利用积分中值定理求极限例19 求.解 ，由积分中值定理得，所以，五、小结 随着近几年教育研究的变革，有关的在高等中的应用越。以上方法是在高等里求解函限的重要。在做求

11、限极的题目时，仅仅以上是不够的，还需要地白明上上各法方所需的件条，通过件，选择选出的法法。这样且仅高更，且，会，到的。这就学习者要其，且且多善，定熟，在题做时应手。从述上的绍中可以看出求的不拘， 我们应具体具体，不能地用某某，对要，有时可多，要且会。参考文献1北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编.高等代数（第三版）M.北京：高等教育出版社，2003. 2贾玉峰. 浅谈高等数学中求函数极限的方法J.赤峰学院报（自然科学版），2008,24(2).3钱吉林.数学分析题解精粹（第二版）M.湖北长江出版集团，2009. 4薛宗慈.数学习作课讲义M.北京出版社，1987.5朱匀华.微积分入门指导与思考方法M.中山大学出版社，1987.致谢时间如梭，转眼两个月就过去了，本科毕业论文已接近尾声，在此，我特