MATLAB科学计算3

1、调课通知 因王静康老师参加工程院院士增选大会，现代化工设计概论顺延两周：即20151024（周六）和20151031（周六）两次课暂停，20151107（周六）开始上课。特此告知，也请同学们相互转告。本通知已放在办公网课程公告中MATLAB 科学计算第3章 插值 3.1 插值方法 3.2 插值功能函数 3.3 插值函数曲线的绘制 3.4 插值GUI工具箱第第4章章 数值积分与数值微分数值积分与数值微分4.1 数值积分方法数值积分方法连续函数连续函数f(x)在在a,b上的积分上的积分( )( )bbaaf x dxF x( )f x( )F x4.1 数值积分方法数值积分方法求求真实气体逸度真实

2、气体逸度 fRTAPf303. 2lglgPdPA0其中，其中，P0100200300400500-15.4615.4615.4615.61 15.85 15.93Of(x)xaf(a)ABf(b)b( )baf x dxOf(x)xaf(a)ABf(b)b( )( )2baTf af b(a)4(b)62babaSfff梯形公式（两等距节点）梯形公式（两等距节点）Simpson公式（三等距节点）公式（三等距节点）Newton-Cotes公式（公式（n+1个等距节点）个等距节点）0()nknkkIbay CNewton -Cotes公式公式n阶阶Newton -Cotes求积公式求积公式n容易

3、容易构造构造n复化复化求积公式易于求积公式易于形成形成nn是是奇数，奇数，代数精度至少为代数精度至少为n, n是是偶数，偶数，代数精度代数精度至少至少 n+1n 节点数 1 2 21 21 2 3 61 32 61 3 4 81 83 83 81 4 5 907 4516 152 4516 907 5 6 28819 9625 14425 14425 9625 28819 6 7 84041 359 2809 10534 2809 359 84041 7 8 17280751 172803577 172801323 172802989 172802989 172801323 172803577

4、 17280751 8 9 28350989 283505888 28350928 2835010496 283504540 2835010496 28350928 283505888 28350989 Newton-Cotes公式系数表等距节点等距节点积分系数与节点无关积分系数与节点无关xf(x)ox0 xnxk复化求积思想( )2()( )2nnhTf af xf b内节点变步长求积策略给定被积函数给定被积函数f(x)、积分区间、积分区间a,b、精度要求精度要求，令，令K=0步长减半，计算步长减半，计算I Ik+1k+1k=k+1输出结果输出结果 1KKII否否是是用复化梯形公式（或复用复

5、化梯形公式（或复化化SimpsonSimpson公式）计算公式）计算I Ik k如果具有如果具有n+1个积分节点的求积公式个积分节点的求积公式0()nkkkIA f x具有具有2n+1次代数精度，称之为次代数精度，称之为Gauss求积公式。求积公式。Gauss求积公式求积公式Gauss点点nGauss-Legendre求积公式求积公式nGauss-Laguerre求积公式求积公式nGauss-Hermite求积公式求积公式nGauss-Chebyshev求积公式求积公式Gauss求积公式求积公式（1）最高代数精度的求积方法）最高代数精度的求积方法（2）积分系数与求积节点有关积分系数与求积节点有

6、关Gauss求积公式的特点求积公式的特点部分求积节点和系数部分求积节点和系数 nxkAknxkAk002593246951420.171324492410.577350269210.66120938650.360761573020.77459666920.55555555560.23861918610.467913934600.888888888960.94910791230.129484966230.86113631160.34785484510.74153118560.27970539150.33998104360.65214515490.40584515140.381830050540.

7、90617984590.236926885100.41795918370.53846931010.478628670570.96028985660.101228536300.5688888890.79666647740.22238103450.52553240990.313706645903626837834Gauss-Legendre积分公式积分公式部分求积节点和系数部分求积节点和系数 Gauss-Laguerre积分公式积分公式nxkAk01110.58578643760.8535533906 3.41421356240.146446609420.41577455

8、680.7110930099 2.29428036030.2785177336 6.28994508290.010389256530.32254768960.6031541043 1.74756110120.3574186924 4.53662029690.0388879085 9.39507091230.000539294740.26356031970.5217556106 1.41340305910.3986668111 3.59642577100.0759424497 7.08581000590.0036117587 12.64080084430.0000233700部分求积节点和系数部

9、分求积节点和系数 Gauss-Hermite积分公式积分公式nxkAk001.772453850910.70710678120.886226925521.22474487140.2954089752 01.181635900631.65068012390.0813128354 0.52461762330.804914090042.02018287050.0199532421 0.95857246460.3936193232 00.945308720552.35060497370.0045300099 1.33584907400.1570673203 0.43607741190.72462959

10、5262.65196135680.0009717812 1.67355162880.0545155828 0.81628788290.4256072526 00.8102646176（3）很好的稳定性；）很好的稳定性；（4）对于连续函数）对于连续函数f(x)，Gauss积分序列收积分序列收 敛于真值；敛于真值；（5）可计算许多广义积分。）可计算许多广义积分。Gauss求积公式的优点求积公式的优点一、一、trapz原理：复化梯形公式原理：复化梯形公式4.2 数值积分功能函数数值积分功能函数trapezoid一、一、trapz格式格式1z=trapz(x, y)其中其中 x, y：非等距节点非等距

11、节点及其函数值及其函数值111()()2nkknkkkxxTf xf x格式格式2z=trapz(y)其中其中 y： 等距节点等距节点函数值函数值 步长为步长为1111( )2()( )2nkky ay xy bnnThz=h*trapz(y)例例1 90( )f x dxx013489f(x)00.57 0.43 0.14 0.29 0.33trapz格式格式1例例2 360( )f x dxx0481216f(x) 01.13.16.011.2x2024283236f(x) 18.8 28.6 39.9 53.0 69.3trapz格式格式1，2h=/16 例例3 3204cossinxx

12、dx二、二、quad原理：原理：递推的自适应递推的自适应simpson积分积分 quadrature4.2 数值积分功能函数数值积分功能函数q = quad(myfun, a, b, tol, trace)二、二、quad myfun : 被积函数被积函数 a, b : 积分上下限积分上下限必填必填 tol: 误差限，缺省值误差限，缺省值110-6 trace: 过程显示与否的标志，过程显示与否的标志， 0：不显示：不显示(缺省缺省), 1：显示：显示 选填选填定义被积函数的四种方式定义被积函数的四种方式 q = quad(myfun, a, b, )字符串字符串myfun=f(x)内联函数内

13、联函数myfun=inline(f(x)匿名函数匿名函数myfun=(x)f(x)( )baf x dx q = quad(myfun, a, b, ) 函数式函数式M文件文件function y=myfun(x) y=f(x)定义被积函数的四种方式定义被积函数的四种方式20 xtedt例例4使用使用quad求求x=1时时 练习练习被积函数被积函数的四种的四种定义定义方式方式 q = quad(myfun, a, b)原理：原理：自适应自适应Gauss-Lobatto积分积分 三、三、quadlq=quadl(myfun, a, b, tol, trace)myfun: 被积函数被积函数 定义

14、方式参考定义方式参考help1211xedxx例例5例例60 xxe dx原理：原理：自适应自适应Gauss-Kronrod积分积分 四四、quadgk4.2 MATLAB数值积分函数数值积分函数目前目前MATLAB中精度最高的积分函数中精度最高的积分函数匿名函数匿名函数 myfun=(x)f(x)n 可以计算无穷积分可以计算无穷积分n 两种方式两种方式定义被积函数定义被积函数四四、quadgk q = quadgk(myfun, a, b)函数式函数式M文件文件function y=myfun(x) y=f(x)四四、quadgk q = quadgk(myfun, a, b)例例60 xx

15、e dx原理：原理：自适应积分自适应积分 五、五、integraln可以计算反常积分可以计算反常积分匿名函数定义匿名函数定义 q = integral(myfun, a, b)myfun=(x)f(x)六、六、dblquad求函数求函数f(x,y)在矩形区域在矩形区域a,bc,d上的二重定积分上的二重定积分double quadrature六、六、dblquad格式格式q=dblquad(fun, a, b, c, d, tol) fun: 被积函数句柄被积函数句柄, 函数定义函数定义方式方式4种种 a,b,c,d: 积分区间积分区间 tol: 精度要求，缺省精度要求，缺省值值1.e-6七、七

16、、integral2double quadrature求解一般区域求解一般区域（不限于矩形）二重积分（不限于矩形）二重积分其中其中ymin,ymax： y的的积分积分上下限上下限 可以可以表达为表达为x的函数的函数q = integral2(fun, xmin, xmax, ymin,ymax) 八、八、quad2ddouble quadratureq = quad2d(fun, xmin, xmax, ymin,ymax) 求解一般区域求解一般区域（不限于矩形）二重积分（不限于矩形）二重积分其中其中ymin,ymax： y的的积分积分上下限上下限 可以可以表达为表达为x的函数的函数例例7计算二重积分计算二重积分 ()sinyDyxedxdyx(x,y)|1x3,57Dyq=dblquad(fun, a, b, c, d)221Dxy dxdy22( , )|1Dx yxy例例8选择合适的功能函数选择合适的功能函数计算计算 九、九、triplequad十、十、integral3triple quadrature2221xyzdxdydz22( , , )|,1x y zzxyz 计算重积分计算重积分 数值积分功能函数函数名函数名功能特点功能特点integral可计算反常积分可计算反常积分quadgkGauss求积公式，精度高，可计算反常积求积公