向量知识点归纳与常见题型总结

1、向量知 识点归纳与常见题型总结高三理科数学组全体成员一、向量知识点归纳1与向量概念有关的问题向量不同于数量，数量是只有大小的量（称标量），而向量既有大小又有方向；数量可以比较大小，而向量不能比较大小，只有它的模才能比较大小. 记号“ a b ”错了，而 | a | | b | 才有意义 .有些向量与起点有关，有些向量与起点无关. 由于一切向量有其共性（大小和方向） ，故我们只研究与起点无关的向量（既自由向量）. 当遇到与起点有关向量时，可平移向量.平行向量（既共线向量）不一定相等，但相等向量一定是平行向量，既向量平行是向量相等的必要条件 .单位向量是模为1 的向量，其坐标表示为（x, y ）

2、, 其中 x 、 y 满足 x2y2 1（可用（ cos,sin）（ 0 2）表示） . 特别： AB 表示与 AB 同向的单位向量。uuuruuur|AB|例如：向量 (ABAC)(0) 所在直线过ABC 的内心 ( 是BAC 的角平分线所在uuuruuur|AB|AC|直线)；uuuruuuruuuruuur(ABAC0,).例 1、O是平面上一个定点， A、B、C不共线，P 满足 OPOAuuuruuuur )|AB| AC则点 P 的轨迹一定通过三角形的内心。1AB+ACABAC=, 则 ABC为 ( )(变式 )已知非零向量 AB 与 AC 满足 ()·BC =0 且

3、83;2|AB |AC |AB |AC |A. 三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形(06 陕西 ) 0 的长度为0，是有方向的，并且方向是任意的，实数0 仅仅是一个无方向的实数 .有向线段是向量的一种表示方法，并不是说向量就是有向线段.（ 7）相反向量 ( 长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是 a 。 )2与向量运算有关的问题向量与向量相加，其和仍是一个向量. （三角形法则和平行四边形法则）当两个向量 a 和 b 不共线时， ab 的方向与 a 、b 都不相同， 且 | ab | |a | |b | ；当两个向量 a 和 b 共线且同向时， a

4、b 、a 、b 的方向都相同， 且 | ab | a | b | ；当向量 a 和 b 反向时，若 | a | |b |， ab 与 a 方向相同，且 |ab |=|a |-|b | ；若 | a | |b | 时 , a b 与 b方向相同，且 |a b |=|b |-|a |.向量与向量相减，其差仍是一个向量. 向量减法的实质是加法的逆运算.三角形法则适用于首尾相接的向量求和；平行四边形法则适用于共起点的向量求和。AB BCAC;ABACCB1例 2： P 是三角形 ABC内任一点，若 CBPAPB,R ，则 P 一定在（）A 、ABC 内部2B、 AC 边所在的直线上C 、AB 边上D、

5、 BC 边上例 3、若0，则 ABC是： A.RtAB BCAB B. 锐角 C. 钝角 D. 等腰 Rt·特别的： a babab ,例 4、已知向量 a(cos, sin), b (3,1)，求 | 2ab | 的最大值。分析：通过向量的坐标运算，转化为函数（这里是三角）的最值问题，是通法。解：原式 = | (2 cos3,2sin1) |(2 cos3) 2(2 sin1) 2= 8 8sin() 。当且仅当2k5(kZ ) 时， | 2ab | 有最大值 4.63评析： 其实此类问题运用一个重要的向量不等式“ | a | b | | ab | a | b |”就显得简洁明快。

6、原式| 2a | b |= 2 | a | b |2124 ，但要注意等号成立的条件（向量同向）。围成一周（首尾相接）的向量（有向线段表示）的和为零向量.如， ABBC CA0, （在 ABC中）ABBC CDDA0.( ABCD中 )判定两向量共线的注意事项：共线向量定理对空间任意两个向量a、 b(b 0 ) ， ab 存在实数使 a= b如果两个非零向量 a ， b ，使 a = b （ R），那么 a b ；反之，如 a b ，且 b 0，那么 a = b .这里在 “反之” 中，没有指出 a 是非零向量， 其原因为 a =0 时，与 b 的方向规定为平行 . 数量积的 8 个重要性质两

7、向量的夹角为0 . 由于向量数量积的几何意义是一个向量的长度乘以另一向量在其上的射影值，其射影值可正、可负、可以为零，故向量的数量积是一个实数.设 a 、 b 都是非零向量，e是单位向量，是 a 与 b 的夹角，则ea ae| a |cos.( | e |1) abab 0 （=90°， cos0)在实数运算中ab =0a =0 或 b=0. 而在向量运算中a b = 0a = 0 或 b = 0 是错误的，故 a0 或 b0 是 ab =0 的充分而不必要条件 .当 a 与 b 同向时 a b = | a | | b |(=0,cos=1);当 a 与 b 反向时，a b=- |

8、a |,cos=-1)，即 a b 的另一个充要条件是| b |( =rr| a b | a | b |. 当r r为锐角时， a ? b 0，且 a、b 不同向， a b0 是为锐角的必要r rr r0 是非充分条件 ；当 为钝角时， a ? b 0，且 a、b 不反向， a b为钝角的必要非充分条件 ；例 5. 如已知 a( ,2) ， b (3,2) ，如果 a 与 b 的夹角为锐角，则的取值范围是2_（答：40且1或）；33例 6、已知 i , j 为相互垂直的单位向量，ai2 j ，bij 。且 a 与 b 的夹角为锐角，求实数的取值范围。分析：由数量积的定义易得“a, bab0 ”

9、，但要注意问题的等价性。解：由 a 与 b 的夹角为锐角，得a b120. 有1 .t12而当 at b(t0), 即两向量同向共线时，有2.此时其夹角不为锐角。t得2故,22, 1.2评析：特别提醒的是：a,b是锐角与 a b0 不等价； 同样a, b是钝角与 a b 0不等价。极易疏忽特例“共线”。特殊情况有 a a22aa2x2y 2 .a = | a | 。或 | a | = a =如 果 表 示 向 量 a的 有 向 线 段 的 起 点 和 终 点 的 坐 标 分 别 为 ( x1 ,y1 ),( x2 , y2 ), 则| a | =( x1x2 ) 2( y1y2 ) 2 | a

10、b | | a | | b |。（因cos1）数量积不适合乘法结合律.如 (a b) c a (b c). （因为 (a b) c 与 c 共线，而 a (b c) 与 a 共线）数量积的消去律不成立.若 a 、 b 、 c 是非零向量且 a cbc 并不能得到 ab 这是因为向量不能作除数，即 1是无意义的 .c(6) 向量 b 在 a 方向上的投影 b cos aba(7)e1 和 e2 是平面一组基底 , 则该平面任一向量a1 e12 e2 ( 1, 2 唯一 )uuuruuur1是三点 P、 A、 B 共线的充要条件 .特别： . OP 1OA2OB则 12注意：起点相同，系数和是1。

11、基底一定不共线例 7、已知等差数列 a 的前 n 项和为Sn ，若1 uuuruuuruuurBOa1 OAaOC ，且 A、B、 Cn2200三点共线（该直线不过点O），则 S200（）A 50B. 51C.100D.101例 8、平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A(3,1) , B(1,3) , 若点 C 满足OC1OA2OB,其中1 , 2R 且 121, 则点 C 的轨迹是 _（直线 AB）3例 9、已知点 A,B,C 的坐标分别是 (3,1), (5,2), (2t ,2 t ) .若存在实数,使OCOA(1)OB ,则 t 的值是 :A. 0B. 1C.0或1D.不确定例

12、 10 下列条件中，能确定三点A, B, P 不共线 的是：AMPsin 220MAcos2 20 MBB MPsec2 20MAtan2 20 MBC MPsin 220MAcos2 70 MBD MPcsc2 31MAcot 2 31 MB分析：本题应知：“ A,B,P 共线，等价于存在 ,R,使 MPMAMB且1 ”。uuur1uuuruuuruuur(8) 在ABC中， PG3(PAPBPC )G 为ABC的重心，特别地uuuruuuruuurrP 为ABC 的重心； AB1 BCAD 则 AD 过三角形的重心 ；PAPBPC02例 11、设平面向量 a1 、a2 、a3 的和 a1a

13、2a30 。如果向量 b1 、b2 、b3 ，满足 bi2 ai ，且 ai 顺时针旋转30o后与 bi 同向，其中 i1,2,3，则（ D）（ 06 河南高考）A b1 b2b30Bb1b2 b30C b1b2b30uuurD b1b2b30uuuruuuruuuruuuruuurP 为ABC 的垂心；PA PBPB PCPC PAuuuruuur向量(ABAC)(0)所在直线过ABC 的内心 (BAC 的角分线所在直线 ) ；uuuruuur|AB|AC|ruuur uuuruuuruuuruuur uuurPABC 的内心； ( 选 )|AB|PC|BC |PA|CA|PB0 S xA

14、y BxB y A; AOB12uuuruuuruuuruuuruuur例 12、若 O 是 VABC 所在平面内一点， 且满足 OBOCOBOC2OA ，则 VABC的形状为 _（答：直角三角形） ；例 13、若 D为ABC的边 BC的中点，ABC所在平面内有一点 P，满足uuuruuuruuurruuur|AP|，则的值为 _（答： 2）；PABPCP0 ，设uuur|PD|uuuruuuruuurr例 14、若点 O 是 ABC 的外心，且 OAOBCO0 ，则内角 C 为 _ （答： 120o ）；(9) 、 P 分 P1P2 的比为,则P1P =PP2 , 0内分 ;0且 -1外分

15、.OP OP1OP2 ; 若 1则OP 1 ( OP1+OP2);设 P(x,y),P1(x 1,y 1),12xx1x2,x1x2,xx 1x 2x 3,1x23P2 (x 2,y 2) 则y2; 中点重心y1y3yy1.y1y2.yy 2.1y23说明：特别注意各点的顺序，分子是起点至分点， 分母是分点至终点，不能改变顺序和 分子分母的位置。例 15、已知 A（ 4， -3 ），B（ -2 ， 6），点 P 在直线 AB上，且 | AB |3| AP |，则 P点的坐4标是（）（ 2， 0），（ 6， -6 ）(10) 、点 P( x, y) 按 auuur或 xxh函数 yf (x) 按

16、(h, k) 平移得 P (x , y ) , 则 PP ayyka(h,k) 平移得函数方程为：ykf (x h)说明：（ 1）向量按向量平移，前后不变；（ 2）曲线按向量平移，分两步：确定平移方向-与坐标轴的方向一致；yr按左加右减，上加下减（上减下加）例16、把函数2x2 的图象 按向量 a(2,2)平移后得到的解析式是_ 。y2x28x6例 17、函数 ysin 2x 的图象按向量a 平移后，所得函数的解析式是ycos 2x1，则 a _（答： (,1) ）4结论：已知 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), l : AxByC0 , 过 A, B 的直线与 l 交于点

17、 P , 则 P 分AB 所成的比是Ax1By1C, 若用此结论 ,以下两题将变得很简单 .Ax2By 2C例 18、已知有向线段 PQ 的起点 P 和终点 Q 的坐标分别是 (1,1), (2,2) ，若直线 l 的方程是 xmym0 ，直线 l 与 PQ 的延长线相交 , 则 m 的取值范围是 _.解: 由Ax1By1C得12m, 因为直线 l 与 PQ 的延长线相交 , 故1 ,Ax 2By 2C23m解得3m23若直线 l : kxy10 与线段 AB 相交 , 求 k 的范围 .变式 : 已知点 A(2,-1),B(5,3).提示 :由Ax1By1C得 :2k20 及直线过端点得1

18、k2Ax2By2C5k25uuuruuuruuuruuur（ 11）对空间任一点O和不共线的三点A、B、 C，满足 OPxOAyOBzOC ，则四点 P、A、 B、 C是共面xyz1注意：（ 1）起点相同（ 2）系数和是 1。（ 12）空间两个向量的夹角公式cos a，b=a1b1 a2b2a3b3（ a ( a1 ,a2 , a3 ) ，a12a22a32 b12b22b32b (b1,b2 , b3 ) ） .（ 13）空间两点间的距离公式若 A( x1 , y1 , z1 ) ， B( x2 , y2 , z2 ) ，则uuuruuuruuur(x2x1 ) 2( y2y1 )2( z2

19、 z1 )2 .dA , B =| AB |AB AB（ 14）点 Q 到直线 l 距离 h1(| a | b |)2(ab)2( 点 P 在直线 l 上，直线 l 的方向向量uuuruuur| a |a= PA ，向量 b= PQ ).（ 15）正弦定理abc2R （ R 是三角形的外接圆半径）sin Asin Bsin C5说明：正弦定理可直接进行边角转换；例 15：在ABC 中， a, b, c 分别是角 A, B,C 的对边，且 cosBb，求 B 的大小。cosC2ac提示： cos Bbcsin BB2cosC2a2sin Asin C3例 16：在ABC 中，若 sin C2co

20、s Asin B ，则此三角形必是_三角形（等腰）提示： c2cos Abc2 b2c2a2ba2b22bc（ 16）余弦定理a2b2c22bc cos A ; b2c2a22ca cos B ;c2a2b2（ 17）面积定理 S1 aha1 bhb1 chc （ ha、 hb、 hc 分别表示222 S111ca sin B .ab sin Cbc sin A2221 uuur uuur1uuuruuur2uuur uuur2=S OAB(| OA | |OB |)(OA OB )gOA OB tan22（ 18）三角形内角和定理在 ABC中，有2ab cosC .a、 b、 c 边上的高）

21、 .uuur uuur(为 OA,OB 的夹角 )A B CC(A B)CAB222C 2 2(A B).2说明：（ 1）三角形具有丰富的内涵（隐含条件）：两边之和大于第三边；：斜边大于直角边；：正（余）弦定理；：面积公式；：内角和是1800 ；：大角对大边： tan A tan BtanCtan Atan B tan C： 正弦、余弦函数的单调性；锐角三角形中有：AB2A2Bsin A sin(B)cos B2钝角三角形中有（C 是钝角）： AB2ABsin Asin(B)cos B22例 17：定义在 R 上的偶函数 f ( x1)f ( x) ，且在 3,2 上是减函数，,是锐角三角形的

22、两个角，则（） A、 f (sin)f (cos)B、 f (sin )f (cos)C、 f (sin )f (sin)D、 f (cos)f (cos)（ 19）平面两点间的距离公式uuuruuur uuur(x2x1 )2( y2y1 )2 (A ( x1 , y1 ) ， B( x2 , y2 ) ).d A, B = | AB |AB AB（ 20）向量的平行与垂直设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x2 , y2 ) ，且 b0，则a bb= ax1 y2x2 y10 .a b(a0)a· b=0x1 x2y1 y20 .（ 21）线段的定比分公式设 P1( x

23、1 , y1) ， P2 (x2 , y2 ) ， P(x, y) 是线段 P1 P2 的分点 ,是实uuuruuur数，且 PP1PP2 ，则6x1x2uuuruuurxuuurOP1OP2uuuruuuruuur11） .y1y2OP1OPtOP1(1 t)OP2 （ t1y1（ 22）平面向量的综合问题向量的“双重身份”注定了它成为中学数学知识的一个重要交汇点，担当多项内容的媒介也就成了理所当然的事情， 数的特性使得它与 “函数， 三角， 数列，不等式， 导数”有众多的联系， 成为高考中一个新的亮点。 形的特性又使它必然与 “平面几何， 解析几何，立体几何”紧密相关，以体现它的工具作用。

24、我们应该首先做到的是具有向量语言的“翻译”能力。即把抽象的向量语言，转换成直观的“图形语言”或者可操作的“运算形式”。一般来说，夹角问题总是从数量积入手，长度问题则从模的运算性质开始（一般需先平方），而共线，共点问题多由数乘向量处理。例 19设平面向量a(3, 1 ), b ( 1 , 3 ) ，若存在不同时为0 的两个实数 s,t 及实2222数 k 0 ，使 x a (t 2k) b, ysat b 且 xy 。（ 1）求函数关系式sf (t) ；（ 2）若函数 sf (t ) 在 1,) 是单调函数，求 k 的取值范围。分析：由数量积的坐标运算，不难得出sf (t) 的解析式，含参数必引

25、起讨论，运用“整体思想” 可简化计算； f (t) 在 1,) 是单调函数， 等价于“ f ' (t )0 或 f '(t )0在1, )上恒成立” 。解：（ 1）a(3 ,1 ), b(1, 3)，| a | | b |1, 且 ab0，又xy2222x y0 即 a(t 2k ) b( satb)0 由此得： st 3kt（ 2） f 't)t 2k，又f (t) 是单调函数，(3若 f (t ) 是增函数，则f ' (t )0，恒有 3t 2k,而 t1,) ，0k3若 f (t ) 是减函数，则f ' (t )0，恒有 3t 2k,而 t1,) ，这样的 k 不存在综上 0k3 .评析：本题覆盖了许多重要的知识点和数学思想方法，与“在知识网络交汇点设计试题”的高考命题思想相吻合。例 20、在ABC 中， AB AC1 ，BA BC3 ，又 E 点在 BC 边上，且满足|AB|2|BA|23 BE 2EC ，以 A 、 B 为焦点的双曲线经过C 、 E 两点 .求此双曲线的方程 .分析： 遇到的首要问题即 “建系” 和“向量语言” 的解读。 深刻理解向量运算的几何意义