陕西中考题第25题综合探究题(共25页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上1（本题满分12分）如图，的半径均为（1）请在图中画出弦，使图为轴对称图形而不是中心对称图形；请在图中画出弦，使图仍为中心对称图形；（2）如图，在中，且与交于点，夹角为锐角求四边形的面积（用含的式子表示）；（3）若线段是的两条弦，且，你认为在以点为顶点的四边形中，是否存在面积最大的四边形？请利用图说明理由 OOOADECBO（第25题图）（第25题图）（第25题图）（第25题图）解：（1）答案不唯一，如图、（2）过点A，B分别作CD的垂线，垂足分别为M，N，SACD=CD·AM=CD·AE·sin，SBCD=CD·BN=CD&#

2、183;BE·sin，S四边形ACBD=SACD+SBCD=CD·AE·sin+CD·BE·sin=CD·（AE+BE）sin=CD·AB·sin=m2·sin；（3）存在分两种情况说明如下：当AB与CD相交时，由（2）及AB=CD=R知S四边形ACBD=AB·CD·sin=R2sin，当AB与CD不相交时，如图AB=CD=R，OC=OD=OA=OB=R，AOB=COD=90°，而S四边形ABCD=SRtAOB+SRtOCD+SAOD+SBOC=R2+SAOD+SBOC延长B

3、O交O于点E，连接EC，则1+3=2+3=90°，1=2，AODCOE，SAOD=SOCE，SAOD+SBOC=SOCE+SBOC=SBCE过点C作CHBE，垂足为H，则SBCE=BE·CH=R·CH，当CH=R时，SBCE取最大值R2综合、可知，当1=2=90°即四边形ABCD是边长为R的正方形时，S四边形ABCD=R2+R2=2R2为最大值。2、（本题满分12分）某县社会主义新农村建设办公室，为了解决该县甲、乙两村和一所中学长期存在的饮水困难问题，想在这三个地方的其中一处建一所供水站，由供水站直接铺设管道到另外两处。如图，甲、乙两村坐落在夹角为30&

4、#176;的两条公路的AB段和CD段（村子和公路的宽均不计），点M表示这所中学。点B在点M的北偏西30°的3km处，点A在点M的正西方向，点D在点M的南偏西60°的km处。为使供水站铺设到另两处的管道长度之和最短，现有如下三种方案：方案一：供水站建在点M处，请你求出铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小值；方案二：供水站建在乙村（线段CD某处），甲村要求管道铺设到A处，请你在图中，画出铺设到点A和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值；方案三：供水站建在甲村（线段AB某处），请你在图中，画出铺设到乙村某处和点M处的管道长度之和最小的线路图，并求其最小值。北东D

5、30°ABCMOEF图乙村综上，你认为把供水站建在何处，所需铺设的管道最短？D30°ABCMOEF图乙村解：方案一：由题意可得：MBOB， 点M到甲村的最短距离为MB。 点M到乙村的最短距离为MD，将供水站建在点M处时，管道沿MD、MB线路铺设的长度之和最小， 即最小值为MB+MD=3+ （km）。方案二：如图，作点M关于射线OE的对称点M，则MM=2ME，连接AM交OE于点P，PEAM，PE=。 AM=2BM=6，PE=3 在RtDME中， PE=DE， P点与E点重合，即AM过D点。在线段CD上任取一点P，连接PA，PM

6、，PM，则PM=PM。AP+PMAM， 把供水站建在乙村的D点处，管道沿DA、DM线路铺设的长度之和最小， 。方案三：作点M关于射线OF的对称点M，作MNOE于N点，交OF于点G，交AM于点H，连接GM，则GM=GM MN为点M到OE的最短距离，即MN=GM+GN 在RtMHM中，MMN=30°，MM=6， MH=3，NE=MH=3 DE=3，N、D两点重合，即MN过D点。在RtMDM中，DM=，MD=在线段AB上任取一点G，过G作GNOE于N点，连接GM，GM，显然GM+GN=GM+GNMD 把供水站建在甲村的G处，管道沿GM、GD

7、 线路铺设的长度之和最小，即最小值为综上，             供水站建在M处，所需铺设的管道长度最短。     3（本题满分12分）如图，我们利用作位似图形的方法，在Rt中，作出了两边分别落在两直角边上的最大正方形.现有一块三角形的边角料，工人师傅想在边角料上裁出面积最大的正方形部件.下面图、图是这块边角料的示意图，其中AB=AC=60，A=120°，请你参照图的作法，在示意图上帮助工人师傅画出裁剪线，画线时，

8、有两种方案：方案一：所画的正方形一边落在BC边上，请你在图中画出面积最大的正方形，并求此正方形的边长；方案二：所画的正方形一边落在AB边上，请你在图中画出面积最大的正方形，并求此正方形的边长.综上，试比较方案一、方案二中画出的正方形，哪个面积大？并说明理由.(图)ABC(图)ABC(图) 方案一如图：MNPQ即为所求的最大正方形因ABC是，所以其必位于三角形的中部若设MN=x，因C=30°所以CN=2x,AN=60-2x，所以AD=30-x，DN=3(30-x)，PN=23(30-x)因PN=MN所以23(30-x)=x所以x=603/(23+1)所以其面积为x²

9、=360(390-1203)/121542方案二可知：EF=AE设AE=x，则BE=60-x，因B=30°所以BE=3 x所以60-x=3 x所以x=60/(1+3)=30(3-1)所以其面积为x²=900(4-23)482 可知方案一所得的面积比较大4（本题满分12分）问题探究（1）请在图的正方形内，画出使的一个点，并说明理由（2）请在图的正方形内（含边），画出使的所有的点，并说明理由问题解决（3）如图，现在一块矩形钢板工人师傅想用它裁出两块全等的、面积最大的和钢板，且请你在图中画出符合要求的点和，并求出的面积（结果保留根号）DCBADCBADCBA（第25题图

10、）解：（1）如图，连接交于点，则点为所求·············· （3分）（2）如图，画法如下：1）以为边在正方形内作等边；2）作的外接圆，分别与交于点在中，弦所对的上的圆周角均为，上的所有点均为所求的点····· （7分）（3）如图，画法如下：1）连接；2）以为边作等边；3）作等边的外接圆，交于点；4）在上截取则点为所求·······

11、;····· （9分）（评卷时，作图准确，无画法的不扣分）过点作，交于点在中，························ （10分）在中，在中，········· （12分）5（本题满分12分）问题探究（1）在图的

12、半径为R的半圆O内（含弧），画出一边落在直径MN上的面积最大的正三角形，并求出这个正三角形的面积.（2）在图的半径为R的半圆O内（含弧），画出一边落在直径MN上的面积最大的正方形，并求出这个正方形的面积.问题解决（3）如图，现有一块半径R=6的半圆形钢板，是否可以裁出一边落在MN上的面积最大的矩形？若存在，请说明理由，并求出这个矩形的面积：若不存在，说明理由.：（1）如图，ACB为满足条件的面积最大的正三角形连接OC，则OCAB，根据垂径定理得到AB=2OB，然后利用含30°的直角三角形三边的关系求出OB，再利用三角形的面积公式计算即可；（2）如图，正方形ABCD为满足条件的面积最大

13、的正方形连接OA令OB=a，则AB=2a，利用勾股定理求出边长，再利用正方形的面积公式计算即可；（3）如图，先作一边落在直径MN上的矩形ABCD，使点A、D在弧MN上，再作半圆O及矩形ABCD关于直径MN所在直线的对称图形，A、D的对称点分别是A、D连接AD、OD，则AD为O的直径在RtAAD中，当OAAD时，SAAD的面积最大（1）如图，ACB为满足条件的面积最大的正三角形连接OC，则OCABAB=2OBtan30°=R，SACB=ABOC=×RR=R2（2）如图，正方形ABCD为满足条件的面积最大的正方形连接OA令OB=a，则AB=2a在RtABO中，a2+（2a）2=

14、R2即a2=R2S正方形ABCD=（2a）2=R2（3）存在如图，先作一边落在直径MN上的矩形ABCD，使点A、D在弧MN上，再作半圆O及矩形ABCD关于直径MN所在直线的对称图形，A、D的对称点分别是A、D连接AD、OD，则AD为O的直径S矩形ABCD=ABAD=AAAD=SAAD在RtAAD中，当OAAD时，SAAD的面积最大S矩形ABCD最大=2RR=R2=36考点: 1.垂径定理；2.等边三角形的性质；3.勾股定理；4.正方形的性质6.问题探究 (1)请你在图中做一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分； （2）如图点M是矩形ABCD内一点，请你在图中过点M作一条直线，使它将矩

15、形ABCD分成面积相等的两部分。 问题解决（1） 如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OBCD是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中DCOB,OB=6,CD=4开发区综合服务管理委员会（其占地面积不计）设在点P（4,2）处。为了方便驻区单位准备过点P修一条笔直的道路（路宽不计），并且是这条路所在的直线l将直角梯形OBCD分成面积相等的了部分，你认为直线l是否存在？若存在求出直线l的表达式；若不存在，请说明理由 解：（1）如图（2）如图连结AC 、BC交与P则P为矩形对称中心。作直线MP，直线MP即为所求。（3）    如图存在直线l过点D

16、的直线只要作 DAOB与点A则点P(4,2)为矩形ABCD的对称中心过点P的直线只要平分DOA的面积即可易知，在OD边上必存在点H使得PH将DOA 面积平分。从而，直线PH平分梯形OBCD的面积即直线 PH为所求直线l设直线PH的表达式为 y=kx+b 且点P(4,2)2=4k+b 即b=2-4ky=kx+2-4k直线OD的表达式为y=2x解之点H的坐标为（，）PH与线段AD的交点F（2,2-2k）02-2k4-1k1SDHF=解之，得。（舍去）b=8-直线l的表达式为y=7（本题满分12分）问题探究（1） 请你在图中，过点A作一条直

17、线，使它平分ABC的面积；（2） 如图，点D是ABC边AC上的一定点，取BC的中点M，连接DM，过点A作AEDM交BC于点E，作直线DE.求证：直线DE平分ABC的面积.问题解决（3） 如图，四边形ABCD是某商业用地示意图. 现准备过点A修一条笔直的道路（其占地面积不计），使其平分四边形ABCD的面积. 请你在图中作出这条路所在的直线，写出作法，并说明理由. （第25题图）(1)、记ABC的面积为S,连接AM,M是BC的中点,AMB与AMC面积相等,即AMB的面积等于S/2；AEDM,AED与AEM同底等高,面积相等,那么四边形ABED的面积与AMB的面积相等,等于S/2,DE平分ABC的面

18、积.(2)、问题归结于：过A点作直线交四边形的边于一点M,使AM平分四边形ABCD的面积.连接AC,经估量判断ABC的面积大于ADC的面积,故M点当在BC边上.作法：1、过D作DEAC,交BC的延长线于E,2、平分线段BE,得BE的中点M,（M点应在线段BC上,见后讨论）3、连接AM,则AM就是所修道路的位置.证明：连接AE,DEAC,ACD与ACE面积相等,可知ABE与四边形ABCD面积相等.又BM=ME,ABM的面积等于ABE的面积的一半,那么ABM的面积等于四边形ABCD的面积的一半,故AM符合题目要求.讨论：如果BE的中点M不在BC段上,而在CE段上,那是因为ABC的面积小于ADC面积

19、的缘故,说明一开始判断失误,不宜过D点作平行线,而应该过B作AC的平行线使与DC的延长线相交并仿上述作法解决.如果M点与C点重合,则AC就是道路的位置8（本题满分12分）如图、在矩形ABCD中，将矩形折叠，使B落在边AD（含端点）上，落点记为E，这时折痕与边BC或者边CD（含端点）交于F,然后展开铺平，则以B、E、F为顶点的三角形BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”（1）由“折痕三角形”的定义可知，矩形ABCD的任意一个“折痕BEF”是一个_三角形(2)如图、甲在矩形ABCD,当它的“折痕BEF”的顶点E位于AD的中点时，画出这个“折痕BEF”，并求出点F的坐标；（3）、如图，在矩形ABCD

20、中， AB=2,BC=4,该矩形是否存在面积最大的“折痕BEF”？若存在，说明理由，并求出此时点E的坐标？若不存在，为什么？解：（1）等腰；（2）如图，连接BE，画BE的中垂线交BC与点F，连接EF，BEF是矩形ABCD的一个折痕三角形，折痕垂直平分BE，AB=AE=2， 点A在BE的中垂线上，即折痕经过点A，四边形ABFE为正方形，BF=AB=2， F（2，0）； （3）矩形ABCD存在面积最大的折痕三角形BEF，其面积为4，理由如下：当F在边BC上时，如图所示，SBEFS矩形ABCD，即当F与C重合时，面积最大为4；当F在边CD上时，如图所示，过F作FHBC交AB于点H，交BE于K，SEK

21、F=KF·AHHF·AH=S矩形AHFD，SBKF=KF·BHHF·BH=S矩形BCFH， SBEFS矩形ABCD=4，即当F为CD中点时，BEF面积最大为4，下面求面积最大时，点E的坐标，当F与点C重合时，如图所示，由折叠可知CE=CB=4，在RtCDE中，ED=，AE=4-2，E（4-2，2），当F在边DC的中点时，点E与点A重合，如图所示，此时E（0，2），综上所述，折痕BEF的最大面积为4时，点E的坐标为E（0，2）或E（4-2，2）。 9（本题满分12分）如图，在直角梯形AOBC中，ACOB，且OB=6，AC=5，OA=4.（1） 求B、C两点

22、的坐标；（2） 以O、A、B、C中的三点为顶点可组成哪几个不同的三角形？（3） 是否在边AC和BC（含端点）上分别存在点M和点N，使得MON的面积最大时，它的周长还最短？若存在，说明理由，并求出这时点M、N的坐标；若不存在，为什么？ （第25题图）ACBxyO10（本题满分12分）如图，正三角形的边长为（1）如图，正方形的顶点在边上，顶点在边上在正三角形及其内部，以为位似中心，作正方形的位似正方形，且使正方形的面积最大（不要求写作法）；（2）求（1）中作出的正方形的边长；（3）如图，在正三角形中放入正方形和正方形，使得在边上，点分别在边上，求这两个正方形面积和的最大值及最小值，并说明理由（1）

23、见解析（2）（3），理由见解析解：（1）如图，正方形即为所求（2）设正方形的边长为为正三角形，即（没有分母有理化也对，也正确）（3）如图，连接，则设正方形、正方形的边长分别为，它们的面积和为，则，延长交于点，则在中，即）当时，即时，最小）当最大时，最大即当最大且最小时，最大，由（2）知，11.（本题满分10分）如图，在锐角ABC中，ACB=45°，AB=1.分别以A、B为直角顶点，向ABC外作等腰直角三角形ACE和等腰直角三角形BCF，再分别过点E、F作边AB所在直线的垂线，垂足为M，N。（1）求证：EM+FN=AB；（2）求ABC面积的最大值；（3）当ABC面积最大时，在直线MN上

24、找一点P, 使得EP+FP的值最小，求出这个最小值。（结果可保留根号）12、（本题满分12分）问题探究（1）请在图中作出两条直线，使他们将圆面四等分；（2）如图，M是正方形ABCD内一点，请在图中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点M）,使它们将正方形ABCD的面积四等分，并说明理由.问题解决（3）如图，在四边形ABCD中，AB/CD，AB+CD=BC,点P是AD的中点.如果AB= ，CD= ，且 ，那么在边BC上是否存在一点Q,使PQ所在直线将正方形ABCD的面积分成相等的两部分？若存在，求出BQ的长；若不存在，说明理由.（第25题图） （第25题图） （第25题图）13(本题满分12分)

25、平面上有三点M、A、B 若MA=MB ，则称点A、B 为M点的等距点。问题探究（1）如图，在ABC中，AB=AC，点P为AB上一点，试在AC上确定一点Q，使点P、Q为点A的等距点；（2）如图，ABCD的对角线AC、BD交于点O，点P是AD边上一定点，试在BC边上找点Q，使点P、Q为O 的等距点，并说明理由。问题解决（3）如图，在正方形ABCD中，AB=1,点P是对角线AC上一动点，在边CD上是否存在点Q，使点B、Q为点P的等距点，同时使四边形BCQP的面积为正方形ABCD面积的一半？若存在这样的点Q，求出CQ的长；若不存在，说明理由。14（12分）（2014陕西）问题探究（1）如图，在矩形AB

26、CD中，AB=3，BC=4，如果BC边上存在点P，使APD为等腰三角形，那么请画出满足条件的一个等腰三角形APD，并求出此时BP的长；（2）如图，在ABC中，ABC=60°，BC=12，AD是BC边上的高，E、F分别为边AB、AC的中点，当AD=6时，BC边上存在一点Q，使EQF=90°，求此时BQ的长；问题解决（3）有一山庄，它的平面图为如图的五边形ABCDE，山庄保卫人员想在线段CD上选一点M安装监控装置，用来监视边AB，现只要使AMB大约为60°，就可以让监控装置的效果达到最佳，已知A=E=D=90°，AB=270m，AE=400m，ED=285m

27、，CD=340m，问在线段CD上是否存在点M，使AMB=60°？若存在，请求出符合条件的DM的长，若不存在，请说明理由解答：解：（1）作AD的垂直平分线交BC于点P，如图，则PA=PDPAD是等腰三角形四边形ABCD是矩形，AB=DC，B=C=90°PA=PD，AB=DC，RtABPRtDCP（HL）BP=CPBC=4，BP=CP=2以点D为圆心，AD为半径画弧，交BC于点P，如图，则DA=DPPAD是等腰三角形四边形ABCD是矩形，AD=BC，AB=DC，C=90°AB=3，BC=4，DC=3，DP=4CP=BP=4点A为圆心，AD为半径画弧，交BC于点P，如图

28、，则AD=APPAD是等腰三角形同理可得：BP=综上所述：在等腰三角形ADP中，若PA=PD，则BP=2；若DP=DA，则BP=4；若AP=AD，则BP=（2）E、F分别为边AB、AC的中点，EFBC，EF=BCBC=12，EF=6以EF为直径作O，过点O作OQBC，垂足为Q，连接EQ、FQ，如图ADBC，AD=6，EF与BC之间的距离为3OQ=3OQ=OE=3O与BC相切，切点为QEF为O的直径，EQF=90°过点E作EGBC，垂足为G，如图EGBC，OQBC，EGOQEOGQ，EGOQ，EGQ=90°，OE=OQ，四边形OEGQ是正方形GQ=EO=3，EG=OQ=3B=60°，EGB=90°，EG=3，BG=BQ=GQ+BG=3+当E