勾股定理培优

1、第19讲勾股定理考点方法破译1 会用勾股定理解决简单问题.2 会用勾股定理的逆定理判定直角三角形.3 勾股定理提示了直角三角形三边的关系，对于线段的计算，常可由勾股定理列方程进行求解；对于涉及平方关系的等式证明，可根据勾股定理进行论证.经典考题赏析【例1】（达州）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形 A B C D的边长分别是3, 5, 2, 3，则最大正方形E的面积是（）A. 13B. 26C. 47D. 94【解法指导】 观察勾股树，发现正方形 A、B的边长恰好是一直角三角形相邻的两直角边.此时直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即

2、两个较小正方形面积之和等于较大正方形的面积，从而正方形E的面积等于正方形 A B C D四个面积之和，故选 C.【变式题组】01.（安徽）如图，直线I过正方形ABC啲顶点B,点A, C到直线I的距离分别是1和2,第1题图第2题图则正方形的边长是02.（浙江省温州）在直线I上的依次摆放着七个正方形 （如图所示），己知斜放置的三个正方形的面积分别是 1, 2, 3,正放置的四个正方形的面积依次是S, Sa, S3, S,贝U S +S+ S3+ S=.03.（浙江省丽江）如图，已知 ABC中，/ ABG= 90°, AB= BC三角形的顶点在相互平行的三条直线11、丨2、13上，且|1、

3、12之间的距离为2,丨2、13之间的距离为 3,贝y AC的长是（）A. 2 17B. 2 5 C 4 2D 7【例2】（青岛）如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm高为6cm如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点 B,那么所用细线最短需要 cm如果从点 A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B,那么所用细线最短需要 cm【解法指导】细线缠绕时绕过几个面，则将这几个面展开后在同一平面内利用线段的公理：两点之间线段最短画出线路，然后利用勾股定理解决，应填10，2,9一16n2 【变式题组】01.（恩施）如图，长方体的长为如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短距离是 （）A

4、. 5.21B. 25C. 10、55D. 355第2题图15,宽为10,高为20，点B离点C的距离为5, 一只蚂蚁02.（荆州）如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为 5X 6 X 10（单位：cn），在上 盖中开有一孔便于插吸管，吸管长为13cm,小孔到图中边 AB距离为1cm到上盖中与AB相邻的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的长为hem贝U h的最小值大约为cm（精确到个位，参考数据：V2 = 1. 4, J3 = 1. 7: J5 = 2. 2）03.（荆州）若一边长为40cm的等边三角形硬纸板刚好能不受损地从用铁丝围成的圆形铁圈中穿过，则铁圈直径最小值为 cm（铁丝粗细

5、忽略不计）【例3】（荆州）如图，将边长为8cm的正方形ABCDf叠，使点D落在BC边的中点E处, 点A落在F处，折痕为NM贝熾段CN勺长是（）A. 3cmB. 4cmC. 5 cmD. 6cm【解法指导】对折问题即对称问题，设CN= x, DN= NE= 8-x.在RtA CEN中，(8 x)222=4 + x x= 5.故选 C【变式题组】01 .在四边形 ABCD,Z B= 90 °, AB= 4, BC= 3, CD= 13, AD= 12.求 S 四边形 abcdDACB02.如图， ABC中, AB= 13, AD= 6, AC= 5 , D为 BC边的中点.求 Saabc

6、303.如图， ABC中，/ ACB= 90° , AD平分/ CAB BC= 4, CD= 求 AC2【例4】(四川省初二数学联赛试题 )如图，直线 OB是一次函数y= 2x的图象，点 A的坐标为(0 , 2)，在直线OB上找点C,使得 ACC为等腰三角形，求点 C坐标.【解法指导】求C点坐标需分类讨论(1) 若以O为顶点，OA为腰，则C在以O为圆心，OA的长为 半径的圆与y =- 2x的交点处(2) 若以A为顶点，AO为腰，贝U C在以A为圆心， AO的长 为半径的圆与y = 2x的交点处. 若以C为顶点，则C在OA的中垂线与y =- 2x的交点处.【解】若以O为顶点,OA为腰，

7、如图设q t, 2t)，则在 COD中,oC= oD+cD4 = t2+ ( 2t)2 5t2= 4 c(54,5若以A为顶点，AO为腰，如图，设C(t, - 2t)，在 Rt ACE中AC= CE + AE 22= t2+ ( 2t 2)2t = 0 （舍去），t =8 16G（ 5 ,亏）若C为顶点，C在 OA勺中垂线上. G（12，1)【变式题组】01若A （3, 2）, B为x轴上一点，O为坐标原点.若厶AOB是等腰三角形求B点坐标.02.如图，在平面直角坐标系中,B点坐标.点坐标.03.如图.在平面直角坐标系中,【例5】（福建省漳州）几何模型：条件：如下左图，A、B是直线I同旁的两个

8、定点.问题：在直线I上确定一点P,使PA PB的值最小.方法：作点A关于直线I的对称点A，连接A' B交I于点P,则PA+ PB= A' B的值最小（不必证明）.模型应用：如图 1正方形ABCD勺边长为2, E为AB的中点，P是AC上一动点.连接BD由正方形对称性可知， B与D关于直线AC对称.连接ED交AC于P,则P聊PE的最小值是【解】PO= 10, Q R分别是(1) 5(2) 如图2，作P关于0B的对称点Pi,关于0A的对称点P2,连接PF2,交0B于R交0A于 Q则厶PRQ勺周长最小，且此时厶 PRC的周长为 PF RQ + QP= F1F2.连接 OP, OP,T/

9、 1 = Z 2，/ 3 =Z 4,Z 2+Z 3= 45°/ PiOP= 90°, OP = 0P= OP,在 RtA OPP2 中，pP = 0审 + OP", PiP2= 10 2【变式题组】01.(荆门)一次函数y= kx + b的图象与x、y轴分别交于点 A (2, 0), B (0, 4).求该函数的解析式;最小值，并求取得最小值时P点坐标.O为坐标原点，设 OA、AB的中点分别为 C、D,02.(四川联赛试题)已知矩形ABCD勺AB= 12, AD= 3, E、F分别是AB DC上的点，则折线N03.（陕西）如图，在锐角厶ABC中, AB= 4、5，

10、/ BAG 45°,/ BAC勺平分线交BC于点D,M N分别是AD和 AB上的动点，贝U BW MN的最小值是 【例6】求X 4 +8 x 216的最小值.【解法指导】所求的两个根式之和的最小值，因被开方数不是完全平方式而无法化简，用代数方法求解困难，但被开方数的特点x2 + 4 = x2 + 22, （8 x） 2+ 16= （8 x）2 + 42 均为平方和结构，由此联想到勾股定理，题目就是求以 x2 22 , 8 x 2 42为斜边的两边之和的最小值,于是根据数形结合的思想转化为构造图形问题来解决【解】如图，作 AB= 8, Ad AB BDL AB AC= 2, BD=是

11、AB上一动点.设 AE= x.则 BE =8 x. CE= x2 22 , DE= , 8 x 2 42 .所以求代数式最小值问题转化为在 AB 上求一点E,使C曰DE值最小.根据线段公理，连接 CD交AB于H,则CD为所求.作CF丄DB交DB延长线于F.在Rt CDF中, CD= sCF2 DF2 = 10. 所求最小值为10.【变式题组】01.（恩施自治州）如图，C为线段BD上一动点，分别过点 B、D作ABL BD EDL BD连接AC EC 已知 AB= 5, DE= 1, BD= 8,设 CD= x.用含x的代数式表示AO CE的长；请问点C满足什么条件时，AO CE的值最小？根据中的

12、规律和结论，请构图求出代数式02.（咸宁）问题背景：在厶ABC中，AB BC AC三边的长分别为5、10、 13，求这个三角形的面积小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网络（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点厶 ABC即厶ABC三个顶点都在小正方形的顶点处 ），如图1所示.这样不需求 ABC的高，而借用网格就能计算出它的面积请你将厶ABC的面积直接填写在横线上 ；思维拓展：我们把上述求厶 ABC面积的方法叫做构图法.若厶ABCE边的长分别为 J5a、2罷a、17a（a>0），请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为 a）画出相应的 ABC并求出它的面积；探索创新：若 A

13、BC三边的长分别为.m2 16n2、. 9m2 4n2、2 . m n （m>0, n> 0,且 仆n）,试运用构图法.求出这三角形的面积【例7】.（天津）已知RtAABC中，/ ACB= 90°, CA= CB有一个圆心角为 45°,半径 的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线 CE CF分别与直线 AB交于点M N当扇形CEF绕点C在/ ACB的内部旋转时，如图 1,求证：mN = aM+ bN；【思路点拨】考虑aM+ bN符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决.可将 ACM沿直线 CE对折，得 DCM连接DN只需证 DN= BN, / MD比9

14、0°就可以了 . 请你完成证明过程：当扇形GEF绕点C旋转至图2的位置时，关系式MN= AM+ BN是否仍然成立？若成立， 请证明；若不成立，请说明理由 【解法指导】观察求证的结论容易发现mN= aM+ bN符合匀股定理的结构形式因此我们设法构造以MN为斜边的直角三角形.【解】（I）证明：将厶ABM沿直线CM对折，得 DCM连DN/ ACIWA DCMaZ 1 = / 2, AC= CD / A=Z MDC/ AC=CD= BC/ MC比 45°,/ 1 + /4=Z 2+Z 3 =Z 4在厶 DCNA BCN中,CD= CBZ 3 =Z 4 CDN2A CBN /./ C

15、DN=Z B= 45°, BN= DNCN= CN Z MDH 90° 在 Rt DMN中, mN= DlM+ dN. NlM= aM+ bN将 ACM沿直线CM寸折，得 GCM连接GN/ACM CGMZ CAM 135° ,Z 1 = Z 2, AM= GM/ BCN= 90°Z 3= 90° (45 ° -Z 1) = 45°+Z 1 = 45°+Z 2Z CG=Z 1 + Z 3 +Z 2 = 45°+Z 2 Z BCMZ CGN在厶 BCNFHA GCN中CNGN= BNIZ BCN=Z CGNB

16、CNA GCNZ CGMZ B= 45CB= CG Z MGM135° 45°= 90°，在 Rt MGb中, mN= Md gN'. mN= aM+ bN【变式题组】01.在 RtA ABC中 ,Z C= 90°, D为 AB边的中点，DEI DF 求证：eF= AW+ bF02.我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的一种图形的名称;如图1,请你在图中画出以格点为顶点，OA OB为勾股边且对角线相等的勾股四

17、边形OAM；如图2,将厶ABC绕顶点B按顺时针方向旋转 60°,得到 DBE连接AD DC Z DCB=30° .求证：四边形 ABCD是勾股四边形03.（台州）如图 1, Rt ABC Rt EDF / ACB=Z F= 90°,/ A=Z E= 30° . EDF绕着边AB的中点D旋转，DE DF分别交线段AC于点M K观察：如图2、图3，当/ CDF= 0°或60°时，AMF C MK填“”、“V” 或“=”）.如图 4,当/ CDF= 30。时，AMFC MK（只填“”或 “V” ）.猜想：如图1,当0°v/ CDV

18、 60°时，AMF C MK证明你所得到的结论如果mK+ cK= AM,请直接写出/ CDF的度数和 业 的值AM演练巩固反馈提高可得 ABC则AC边上的高为（）A.B.10D. 401.如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点,A. 21B. 15C. 6D. 21 或 902.（哈尔滨）如图，长方形纸片 ABCDK AB= 8cm,把长方形纸片沿直线 AC折25叠，点B落在点E处，AE交DC于点F,若AF=cm贝卩AD的长为（）4A. 4cmB. 5cmC. 6cmD. 7 cm03.（滨州）已知 ABC中,AB= 17, AC= 10, BC边上的高 AD为8，则边BC的

19、长为（）04在同一平面内把边 BC= 3, AC= 4, AB= 5的三角形沿最长边 AB翻折后得到 ABC，则CC的长等于（）A.12513B.-Ic|D.24T05.个三角形三边长度之比为3:4:5，则这个三角形的三边上高的之比为（）A. 3:4:5B.5:4:3C. 20:15:12D. 9:16:2506.（山西）如图，在 RtABC中，/ ACB= 90°,BC= 3, AC= 4, AB的垂直平分线 DE交BC的延长线于点E,贝U CE的长为（3A.-27B.-6C.25D. 207.（湖州）如图，在正三角形 ABC中, AB= 1, D E、F分别是BC AC AB上的

20、点，DEL AC EF± AB FDL BC 则厶 DEF面积为.08.（安顺）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若AC= 6，BC= 5，将四个直角三角形中边长为 6的直角边分别向外延长一倍，得 到如图所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是 .09.（安徽）长为4m的梯子搭在墙上与地面成 45°角，作业时调整为60°角（如图所示），则 梯子的顶端沿墙面升高了 m10. （滨州）某楼梯的侧面视图如图所示，其中AB= 4米，/ BAC= 30°，/ C= 90°，因某种活动要求铺设红色地毯，则在 AB

21、段楼梯所铺地毯的长度应为 .11. （湖州）如图，已知在 RtABC中,/ ACB= 90°，AB= 4，分别以AC BC为直径作半圆， 面积分别记为 S、S2则S+ Sa的值等于 .12. （呼和浩特）如图，四边形 ABDC中, / ABD= 120°, ABL AC BDLCD AB= 4, CD= 5/3 ,则该四边形的面积是.13.已知等腰三角形 ABC勺底边AB= 20cm P是腰AC上一点，且 AP= 12cm BP= 16cm 则腰长是14. （沪州）如图， ABC中, AB= BC= 2,Z ABC= 90°, D是BC的中点，且它关于 AC的对称

22、点为D'，贝U BD =.15. 如图，点A在反比例函数y -的图象上，OA= 4, ACLx轴，OA的中垂线交x轴于B.求 ABC的周长.x16. 有一人字形屋架（等腰三角形），其顶角为120。，两腰长均为4米，现拟定以其中一腰和底重新组成一个三角架，试问将屋架的第三边改为多少时，新的三角架为直角三角形 ？17. （牡丹江）有一块直角三角形的绿地，量得两直角边分别为6m 8m现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以原来绿地8m长的边为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长18如图A（3 , 4） , B（a, 1） , AB= 5, C D分别为x轴、y轴上的两动点.求

23、四边形ABC凋B(a,1长的最小值.Ox19.如图，在正 ABC中, DC= 4, DB= 3, DA= 5,求/ CDB20.如图，在 RtAABC中，/ ACB= 90°, AC= BC D 为三角形内一点， DC= 2, DB= 1, DA=3.求/ CDB培优升级？奥赛检测01.如图，在 RtA ABC中, AB= AC D E在斜边BC上且/ DAE= 45°，将 ADC绕点A顺时针旋转，使 AC与 AB重合，得到 AFB连接EF,则下列结论：厶AED AEF； ABE ACDBE+ DC= DEBE+ DC= dE其中正确的是（）A.B.C.D.02.（四川联赛

24、试题）BD> ABC的中线，AC= 6 且/ ADB= 45°,/ C= 30°，则 AB=（）A. 、6B. 2 2C. 3、2D. 603.（江西竞赛）若将三条高线长度分别为x、y、z的三角形记为（x, y, z），现在以下四个三角形（6 , 8, 10） , （8 , 15, 17） , （12 , 15 , 20） , （20 , 21 , 29）中，直角三角形的个数为（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个04.（北京竞赛）如图，ABCD是一张长方形纸片，将 AD BC折起、使 A B两点重合于 CD边上的P点，然后压平得折痕 EF与GH若PE= 8cm

25、 PG= 6cm EG= 10cm,则长方形纸片ABCD勺面积为（）cmD.AB CD EF GH四条线段，其中能构成A.B.C05.如图，在由单位正方形组成的网格图中标出了一个直角三角形三边的线段是 （）A. CD EF GHB. AB CD EFC. AB CD GHD. AB EF GH06.（四川省初二数学联赛试题）如图，等边三角形 ABC内有一点P,过点P向三边作垂线， 垂足分别为S、Q R,且PQ= 6, PR= S, PS= 10,则厶ABC的面积等于（）A. 190.3B. 192.3C. 194、_3D. 196307.（四川省初二数学联赛试题 ）如图所示，在 ABC中, Z BAC= 120° , AB= AC= 10、3 cm一动点P从B向C以每秒2cm的速度移动，当 P点移动秒时，PA与腰垂直.08