旅游景点最优化模型(含代码)

1、C20111707张家界景区空中缆车模型摘要本文将张家界景区各景点铺设索道路线抽象为图论最短路模型， 采用最小生 成树进行表述。根据张家界景区管理部门的需求，利用Floyd算法一一聚类分析 法进行模型的建立和求解，得到问题的最优解。第一问，本文根据Google地图定位出张家界景区51个旅游景点的经、纬度； 通过计算机处理，以国家森林公园为原点，东、北为 X,Y轴，建立张家界景区直 角坐标系（表1.1、图1.1 ）。第二问，假设在每个景点上都建造缆车站， 采用图论中的最小生成树法，得 出铺设索道的最优路径（图2.1.1 ）和最小费用S=454655.0万元。观察到许多 景点的距离比较近，可以用一

2、个缆车站来接送这些景点的游客，这个站台就是这些景点的聚点，即可优化传统的聚类分析法，使其满足所给定的约束条件（旅客 所能容忍步行最小距离为500m，在这些聚点建造缆车站，采用最小生成树法， 得出铺设索道的最优路径（图 2.2.2 ）和最小费用S=445050.6万元。针对上述Floyd算法一一聚类分析法模型的优缺点，本文给出了具体的改 进，使得更符合实际情况以及节省最多的钱。关键词 Floyd算法聚类分析法Google地图1C20111707一、问题重述随着人们的生活不断提高，旅游已成为提高人们生活质量的重要活动。但时 间往往是限制人们旅游一个难题，为了满足旅游者的需要，张家界景区打算造高 空

3、浏览缆车，让人们可以在最短的时间内游览更多的景点， 现定游览车的起点在 张家界国家森林公园，造价为每米 10万元，请解决以下问题：1、针对张家界景点地图，自建坐标系，标出各个景点坐标2、设计最佳的缆车运行路线二、问题分析现在的旅游业日益发达，但因时间紧迫，很多人希望找到最佳旅游线路。 而 旅游线路遇到的最直接的问题是： 景点的具体位置。比如张家界景区，里面的景 点多达五十个，怎样才能准确找到自己要去景点的位置，已经成为了亟待解决的关键问题。为此，张家界景区决定铺设空中缆车索道， 以解决广大游客的时间问 题。1、问题一的分析：对于张家界景区里景点的做标问题，首先定位出各景点在地图上的经、纬度；

4、然后运用计算机技术对经、纬度进行处理，再以张家界国家森林公园为新建坐标 系原点，以东、北方向为新建坐标系的 X、丫轴，新建张家界平面坐标系；经计 算机处理，最后给出各景点在新建坐标系中的具体坐标。2、问题二的分析：对于问题二，本文先考虑张家界各景点建空中缆车站的理想化情况，即在张家界景区的51个景点都建一个可供游客来回坐的缆车旅游站台，考虑到雷电， 狂风等地理环境因素，使得某些旅游景点是不能能够只考虑空中缆车距离最小等 等，建立理想模型2.1；但实际上需要考虑费用、路径、空中缆车站的最佳位置 等等各方面因素，在理想状态的基础上，考虑运用最小生成树法及聚类分析等方 法，建立实际模型2.2;再对本

5、文建立的模型二进行检验分析。三、模型假设1、假设所有景区的海拔是一样的，不考虑景点间的高度差。2、假设总缆车站台的费用相对于总缆车索道的费用很低，可以不计入张家 界建造空中缆车系统的总费用3、假设Google地图所查询的经纬度是可信的。4、假设景区地理环境对缆车索道不产生影响，即所有景区间都能够建立笔直的缆车索道。5、假设旅客所能容忍步行的距离为 500m四、符号约定G:连通网络T:连通网络中的一个支撑树E:连通网络中的点W支撑树的权重d：地图上的最优路径D:实际距离S:最小费用五、模型建立于求解1、问题一的模型建立与求解：旅游已成为现今人们减轻压力的最直接有效的方法，旅游景点线路的选择 ,

6、是旅游行业的一项基础性工作，也是旅游爱好者比较关心的问题，那么如何在最 短的时间内游览到最多的景点呢？本文以张家界景区为例，建立相应的数学模型，以解决上面提到的问题。根 据在网上查找的资料，可以得到张家界景区各景点的经、纬度（附录表1）。运用计算机知识，将附录表1的数据进行处理，可以得到以张家界国家森林 公园为原点的平面坐标系（表1.1 ）。表1.1张家界各景点以国家森林公园为原点的坐标系表序号旅游点X轴Y轴序号旅游点X轴Y轴1张家界九天洞-1811527张家界天书宝匣-9272张家界天子山镇311428张豕界南天门-8283张家界将军岩119529张家界劈山救母-2264张家界天子峰2186

7、30张家界定海神针-1285张家界龙泉飞瀑-97531张家界天桥12286张家界鸳鸯瀑布216832张家界花果山5257张家界空中田园276433张家界护鞭神鹰3228张家界观光电梯245534张家界金鞭岩2219张家界天波府-196335张家界闺门岩-21610张家界天悬白练05736张家界夫妻岩-91211张家界空中走廊-165037张家界国家森林公园0012张家界天卜第一桥-15038张家界张良墓294713张家界迷魂台-24739张家界水绕四门354514张家界五女拜师-24440张家界神兵聚会315315张家界后花园94541张家界老屋场316216张家界重欢树164142张家界米药

8、老人426817张家界跳鱼潭184043张家界仙人桥307718张家界紫草潭94044张家界雄狮回首567119张家界天桥遗墩-114045张家界天台1468920张家界黑枞脑-93846张家界天台2538321张家界千里相会113947张家界仙女献花648822张家界九重仙阁-242848张家界御笔峰559023张家界黄狮寨-53449张家界西海508624张家界鸳鸯泉-162650张家界贺龙公园569225张家界双龟探溪573651张家界鹰窝寨1092226张家界南天一柱-629为了更加清楚明白的表示各景点的具体位置，本文运用Matlab技术对表1.1的数据进行处理，可以得到图1.1 o图

9、1.1张家界各景点以国家森林公园为原点的坐标系图图1.1即为问题一所需求得的张家界景区内各景点的位置所构成的直角坐 标系图形。2、问题二的模型建立与求解：2.1、模型一模型2.1是一个理想化的模型，即每个景点都有一个空中缆车站。则根据模 型2.1的要求，可以将张家界景区内的 51个景点都有空中缆车站问题，转化为 求51个景点的最小生成树问题，也就是在一个连通图的赋权网络中，寻找最小 权数的支撑树。现给定网络G二V,E,W ,设T二V,E'为G的一个支撑树，令 W T -7 W e表示T的权，则G中权最小的支撑树即为G的最小生成树。e毎在模型2.1中W T* i=min W T ?,表示

10、51个景点之间的最短距离。因为单位长度的建造费用是确定的，所以要求空中缆车各景点的总费用最小，也就是求各景点距离最小的最小生成树，即连通所有景点的权最小的支撑树。根据以上 信息，考虑运用Floyd算法，并可用Matlab程序将其实现。Floyd算法基本思想：令Dm表示一个N x N矩阵，它的（i, j）元素是dm。如果已知图中每条线 段的长度，则可以确定矩阵D0，最终希望得到最短路长度的矩阵 Dn。Floyd算 法从D。开始，由D。计算D1，然后Floyd算法再由U计算D?。将这个过程重复进 行下去，直至由Dn求得Dn为止。计算思路如下，设已知：1）、顶点i到顶点m的最短路，其中只容许前m -

11、 1个顶点即1， 2， ?， m - 1作为中间顶点。2）、从顶点m到顶点j的最短路，其中只容许前m- 1个顶点即1， 2， ?， m- 1作为中间顶点。3）、从顶点i到顶点j的最短路，其中只容许前m - 1个顶点即1, 2， ?，m- 1作为中间顶点。因为不存在有负长度的回路，所以4）项与5）项中给出的2条路中较短的1 条一定是从i至屮的最短路，其中只容许前m个顶点即顶点1, 2， ?，m作 为中间顶点。4）、1）项和2）项2条路的并。5）、3）项的路。因此，dm =min牯需+小侖七d,'从以上方程可以看出，只需要 DmJ矩阵的各个元素，就可以计算出矩阵 Dm 的各个元素；而且，无

12、需参看基本图就可以进行计算。现在，求图中每一对顶点 之间最短路的Floyd算法。Floyd算法基本步骤：第1步：将图中各顶点编为1, 2, ?，N。确定矩阵D0，其中（i, j）元素等于 从顶点i到顶点j最短线段的长度（如果有最短线段的话）。如果没有这 样的线段，则令dj =处，对于i，令d° -0，第2步：对m= 1，2， ?，N，依次由Dm的元素确定Dm的元素,应用下列递归 公式 dm-min dmrdm,dijmT每当确定一个元素时，就记下它所表示的路。在算法终止时，矩阵Dn的元素（i, j）元素就表示从顶点i到顶点j最短路的长度。注意：对所有的i和m, dm =0，矩阵D1

13、, D2，Dn的对角线元素都无需计 算，而且，对所有的i =1,2, ?, n, dim=dm和dmr=dm。这是因为不存在有 负长度的回路，所以在顶点m处起始的任一最短路中，顶点m不是中间点的缘故。 因此，在矩阵Dm的计算中，第m行和m列都不需计算。在每一个矩阵Dm中，不 在对角线上，也不在第 m行和第m列的（N - 1） （N - 2）个元素需要计算。由以上信息，加上Matlab技术，对模型1.1的51个景点坐标进行处理。第一步：由51个景点的坐标，用Matlab实现任意两点之间的的距离。（程序见附录程序2.1.1 ）第二步：根据51个景点之间的权重，运用Floyd算法找到缆车索道建构最优

14、路径（程序见附录程序2.1.2），其距离d= 454.6550mm实际距离D=45465.50m所需最小费用为S=445050.6万元。图2.1.1 50个景点的最小生成树这一步，将51个空中缆车站坐标进行了处理，得到图 2.1.1的权最小的支撑树；因而我们可以得到铺设缆车索道的路线图，即第三步：画出其路线图：图2.1.2 50个景点最小生成树的大致走向根据图2.1.2做出其最优路线表，以便游客查找最佳旅游路线及铺设索道的 最优路线。起点国家森林公园373736 35 343 32 313736 35 343329303736 35 34332926 282724 223736 35 3433

15、2926 23201911953736 35 34332926 2320141312103736 35 34332926 2320141518 21 1617 384083736 35 3433 29 2623 2014151821 161738 3925513736 35 3433 29 2623 2014151821 1617384041 7643 4 32 13736 35 3433 29 2623 2014151821 1617384041 42 444649453736 35 3433 29 2623 2014151821 16173840 4142 4446494850 47图2.

16、1.2标示出了建造理想状态下缆车索道的大致走向，在此状态下铺设缆车索道的最短距离，所用费用最小。2.2、模型二在模型2.1中，本文建立的是一个理想化的模型，但这种理想化模型不适用 于实际。因而，在考虑建造空中缆车索道费用最小这个大前提下， 本文给出了一 个符合实际要求的模型，即模型2.2。模型2.1中，运用了 Floyd算法，在这个模型中，仍然考虑运用Floyd算法， 但考虑到其他因素，本文还加上了经典算法：聚类分析法。将景区内经典比较密 集的景点进行分类，以节省建造空中缆车索道的费用。聚类分析的基本思想：研究的样品（网点）或指标（变量）之间存在程度不同的相似性（亲疏关系一一以样品间距离衡量）

17、。于是根据一批样品的多个观测指标，具体找出一些能够度量样品或指标之间相似程度的统计量，以这些统计量为划分类型的依据。把一些相似程度较大的样品（或指标）聚合为一类，把另外一些彼此之间相似程度较大的样品（或指标）又聚合为另一类，直到把 所有的样品（或指标）聚合完毕，这就是分类的基本思想。聚类分析法可分三种：直接聚类法、最短距离聚类法和最长距离聚类法，本文所需的是第二中聚类算法思想，并根据所添加的约束条件（景点到搜索点的距 离不大于500m进行适当的改进。聚类分析的基本步骤:（1）计算n个样本两两间的距离dij，记D；（2）计算出这n个样板是所在长方形最小区域；（3）搜索出景区满足约束条件的最密集的

18、区域所表示的坐标（i,j ）和包含点 数k ；（4）如果k等于1,转到（5），否者剔除（3）所搜索的区域所包含的点，回（3）；（5） 将搜索的（i,j ）和未剔除的点看作m个类；（6）画出这m类的位置。由聚类分析基本步骤，得到其算法流程图（图 2.2.1）输入51个最点的坐标景点坐标最值构成有效搜素区很爭慌吃卑旳坐吋Ci D该区城所包含点敷K長除集域含数 去密.包占输出所育fj）坐标以及没有被聚类所包含点坐标图2.2.1聚类分析算法流程图根据上述聚类算法步骤，利用最小生成树法中的Floyd算法可得到最佳缆车 索道线。具体的操作可如下:由于以国家森林公园为旅游的出发点，可以从所有景点中剔除出去，

19、利用聚类 分析法对剩余的50个景点进行处理，得到替代两个或两个以上聚点的坐标（表 2.2.1 ）。表2.2.151个景点聚类后得到的数据五点聚点（29，30，32，33，34）2625四级聚点（23，26，27，28）1831四点聚（15，16，18，21）3743三点聚（12，13，14）2247三点聚（38，39，40）5850三点聚（46，48，49）7887两点聚（35，36）2014两点聚（22，24）527两点聚（19，20）1237两点聚（7，41）5261两点聚（47，50）8591由聚类后得到的景点与未被搜索到的18个景点坐标相组合，构出30个新的 空中缆车站坐标。运用Mat

20、lab技术对表2.2.1的数据进行处理，用图片的形式展现，可以得 到图2.2.2。12C20111707缆站图olUiiiii-200204060 SO 100120X120 r-1T图2.2.2 30个新的空中缆车站坐标聚类后，将得到的30个空中缆车站坐标，运用Floyd算法，找出缆车索道建构最优路径（图2.2.3、程序见附录程序2.2.2 ）其距离：d= 445.0506mm实图2.2.3 30个空中缆车站形成的最小生成树这一步，将新得到的30个空中缆车站坐标进行了处理，得到图 2.2.3的权 最小的支撑树；因而我们可以得到铺设缆车索道的路线图，即表2.2.2 聚类后的缆车站坐标丿序号地名

21、名坐标x坐标y丿序号地名名坐标x坐标y11-1811516433077223114174456713311951845468944218619511092255-97520五点聚点（29, 30, 32,33,34)262566216821四级聚点（23, 26, 27,28)183178245522四点聚（15,16, 18, 21)374389-196323三点聚（12,13, 14)224791005724三点聚（38,39, 40)58501011-165025三点聚（46,48, 49)78871117184026两点聚（35,36)20141225573627两点聚（22,24)5

22、271331122828两点聚（19,20)123714370029两点聚（7,41)52611542426830两点聚（47,50)8591根据图2.2.4及表2.2.2做出其最优路线表，以便游客查找最佳旅游路线及 铺设索道的最优路线。起点国家森林公园141426 2021 13271426 202128 910851426 2021 2811 23 221426 2021 2811 23 7 616181426 2021 2811 23 7 616432 11426 2021 2811 23 7 61615291725 301426 2021 2811 23 7 6161529241219

23、图2.2.4标示出了实际建造缆车索道的大致走向，这个走向是在考虑实际因 素的条件下，铺设缆车索道的最短距离，所用费用最小的走向，即为本文所构建 的张家界旅游最佳路线。六、模型评价问题一：利用Google地图对张家界51个景点进行定位搜索，可以精确的定 位出各个点的经、纬度；但由于各点的经、纬度相差不大，对所给经、纬度标准 化处理，得到的景点的相对平面坐标有着较大的系统误差。计算机对这些景点坐标进行数据处理和作图与原图比较，存在细微的差别。问题二：由于建设缆车索道所要考虑的因素有很多， 而这些因素有些是难以 数据化，譬如地理环境和每个景点的客流量等。 本文只能忽略这些因素对张家界 旅游管理部门建

24、造缆车索道的影响， 相应的构建比较理想的模型环境。在构建最 佳路线模型，本文是假设所有景点的海拔时相同的， 实际上张家界旅游景点有高 山、平地以及湖泊等，它们在二维图上缆车索道建造的长度是不相同的。根据景点坐标运用聚类分析一一最小生成树法作出缆车索道图形，聚类分析法可以精确、清晰的分析51个旅游景点的密集程度，保证聚合得每一类聚点都是唯 一确定的且满足约束条件。本文的创新点在于对密集程度比较高的景点进行新型聚类处理。一般的聚类分析法对已知的所有点中两个最近点合并一类，看作一个新点，反复查找，层层 聚类，直到类数只有一个停止。而本文的聚类相对于一般聚类法多出一个约束条 件，也就是旅客所能接受步行

25、距离的最大值为 500m。本文对所有可能设置缆站 进行迭代搜索，搜寻最密集的区域，进行聚类，看作一类，去除这类所有的缆站， 对剩余的缆站再进行迭代搜索，反复迭代，直到搜索到一点归为一类停止，将剩 下的一点为一类，通过这种算法可节省张家界旅游管理部门对缆车索道的投资近 1亿人民币。七、模型改进针对模型评价的某些缺点与不足，我们可以进行适当的改进，具体方法如下： 张家界的所有风景区的人流量和地势是不同的。因此，人步行到各个风景区的最大距离，如到高山、平地以及湖泊可以赋予不同的权重； 人流量比较高或地 势较平的景区可以赋予相对小点的权重，而比较冷僻或地势比较高的景区可以赋 予相对大点的权重。对于实际

26、的景区环境进行实地考察， 将一些不适合建缆车的 景区当作异常点剔除，一些景区间有着比较大的屏障，可以设它们的距离为无穷 大，也就是说它们间不能建缆车索道。人们对张家界旅各游景区的选择：旅游景点的风景好坏对旅客的吸引力有着 重要的影响，不同的季节的人流量也略有不同，所以我们可以对每个景点的步行 距离的最大值的权重赋多次值进行模拟。具体操作过程为：（1）到各个景区进行实地考察，找出每个景区中的地理异常，并大致对比下每 个景区的人流情况。对异常的地理环境进行分析是否能建缆车索道以及对人 流量的多少进行。（2）对不能实现缆车索道铺建的景点进行剔除和路线的删减，根据人流量的多少和地势高低赋于不同权重。（

27、3）通过新型的聚类法，聚类合并出满足约束条件的若干个缆站，通过最小生成树法找到需要铺造缆车索道的路线。（4）改变各点权重，反复运算，得到最省钱且满足实用的路线。16C20111707根据以上步骤，得到改进后的聚类分析流程图（图2.2.5）赋予景点的权值结束赋使景可缆道越强 新权，的的立索优增 重予值新点建车的性图2.2.5改进后的聚类算法流程图八、模型的推广与应用最小生成树法和聚类分析法，就是要在一个连通网络中，寻找最枝数的支 撑树，即找到最优解。最小生成树法和聚类分析法不仅仅能够在旅游业中可以用 到，在许多服务各地的公司中，如燃气公司、送电公司、有多个分公司的大型公 司等的作用尤其明显。聚类

28、分析的主要作用是：1、不但可以了解个别变量之间的关系的亲疏程度，而且可以了解各个变量组合之间的亲疏程度。2、根据变量的分类结果以及它们之间的关系，可以选择主要变量进行聚类分析。九、参考文献 、谷歌地图 、张威主编，Matlab基础与编程入门【M ,西安电子科技大学出版社，2008年 、刘承平，数学建模方法【M,北京：高等教育出版社，2002年 、李祥会、张红，基于模糊动态聚类分析的教学质量评估方法研究【M，四川师范大学学报（自然科学版），2004年1月 、叶其孝主编，大学生数学建模竞赛辅导教材【Ml，湖南教育出版社，2001年 、姜启源、谢金星、叶俊，数学建模（第三版）【Ml，北京：高等教育出

29、版社，2003 年十、附录表1张家界各景点经纬、度表旅游点经度纬度旅游点经度纬度张家界九天洞29.324645110.119486张家界天书宝匣29.325169110.433884张家界天子山镇29.408273110.447962张豕界南天门29.401321110.499115张家界将军岩29.311474110.045457张家界劈山救母29.319182109.790057张家界天子峰29.408049110.448389张家界定海神针29.318839109.790057张家界龙泉飞瀑29.321570109.971429张家界天桥29.371405110.466156张家界鸳鸯瀑

30、布29.311324109.945518张家界花果山29.351058110.442810张家界空中田园29.309275109.930712张家界护鞭神鹰29.317472109.775251张家界观光电梯29.310301109.897399张家界金鞭岩29.234882110.463409张家界天波府29.324987109.930712张家界闺门岩29.319183109.753042张家界天悬白练29.318497109.904802张家界夫妻岩29.321571109.738237张家界空中走廊29.323962109.878892张家界国家森林公园29.316788110.434

31、914张家界天卜第一桥29.318839109.878892张家界张良墓29.308592109.867787张家界迷魂台29.319182109.867787张家界水绕四门29.221101110.465469张家界五女拜师29.319181109.856683张家界神兵聚会29.307909109.889996张家界后花园29.342678110.433197张家界老屋场29.307909109.923309张家界重欢树29.313032109.845579张家界米药老人29.304152109.945518张家界跳鱼潭29.342678110.467529张家界仙人桥29.3739481

32、10.467701张家界紫草潭29.315423109.841877张家界雄狮回首29.299372109.956622张家界天桥遗墩29.322254109.841877张家界天台129.379028110.493487张家界黑枞脑29.321571109.834474张家界天台229.379034110.493453张家界千里相会29.366618110.455172张家界仙女献花29.296638110.019547张家界九重仙阁29.348664110.419464张家界御笔峰29.407301110.490875程序2.1.1x=-18 31121-9212724-190-16-1-

33、2-2916189-11 -911-24-5-1657-6-9-8-2-112532-2-9029 353131423056465364555056109;y=115 114958675686455635750504744454140404038 3928342636292728262828252221161204745 536268777189838890869222;张家界黄狮寨29.333701110.432167张家界鸳鸯泉29.323962109.790057张家界双龟探溪29.299029109.827071张家界南天一柱29.327264110.435944张家界西海29.407

34、301110.494995张家界贺龙公园29.371106110.514565张家界鹰窝寨29.281268109.775251d(:,:)=zeros(51,51);for i=1:51;for j=1:51; d(i,j)=sqrt(x(j)-x(i)A2+(y(j)-y(i)A2);endenda程序2.1.2aa(fi nd(a=0)=M;result=;p=1;tb=2:le ngth(a);while len gth(result)=le ngth(a)-1temp=a(p,tb);temp=temp(:);d=mi n(temp);jb,kb=fi nd(a(p,tb)=d);j

35、=p(jb(1);k=tb(kb(1);result=result,j;k;d;p=p,k;tb(fi nd(tb=k)=; end resultd=sum(result(3,:)输出结果：1.00002.00003.00004.000043.00006.00007.000041.00002.00003.00004.000043.00006.00007.000041.000040.000021.024020.616013.454012.728012.72807.21114.47219.000038.000039.00008.000040.000041.000038.000017.000016.

36、000040.000038.000040.00008.000042.000017.000016.000021.00006.32466.32467.28017.280112.530013.03802.23615.385221.000018.000015.000014.000013.000012.000014.000020.000018.000015.000014.000013.000012.000010.000020.000019.00002.23615.000011.04503.00003.16237.07119.21952.828420.000023.000026.000028.000026

37、.000029.000029.000033.000023.000026.000028.000027.000029.000034.000030.000033.00005.65695.09902.23611.41425.00002.23616.40311.414233.000034.000027.000032.000035.000024.000019.000011.000032.000035.000024.000031.000036.000022.000011.00009.00003.60566.40317.07117.61588.06238.246211.180013.342042.000044

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39、4 95867568556357504038283628687771 89 22;%所有点的坐标x=xx+25;y=yy+i;x仁minmax(x); %x轴的最值y仁minmax(y); %y轴的最值d(:,:,:)=zeros(size(x'),x1(2)-x1(1)+1,y1(2)-y1(1)+1);%定 义变量(k,i,j)for i=x1(1):x1(2)for j=y1(1):y1(2)for k=1:size(x')if (j-y(k).A2+(i-x(k).A2<pA2; %约束条件d(k,i,j)=1; %0-1规划endendendendd1=sum(

40、d);z1= d1(:,:,1);z2=d1(:,:,2);z3=d1(:,:,3);z115=d1(:,:,115);z116=d1(:,:,116);X=z1',z2',z3',z4',z5',z6',z7',z8',z9',z10',z11',z12',z13',z14',z 15',z16',z17',z18',z19',z20',z21',z22',z23',z24',z25',z26&

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