tl流体力学刘鹤年PPT课件

1、第第3 3章章 流体运动学流体运动学 流体的静止总是相对的，运动才是绝对的。流体最基本的特征就是它的流动性。 第1页/共95页v 在连续介质假设下，讨论描述流体运动的方 法，根据运动要素的特性对流动进行分类。v 本章的讨论是纯运动学意义上的，不涉及流动 的动力学因素。对无粘性和粘性流体均适用。第第3 3章章 流体运动学流体运动学引言研究内容：流体运动的位移、速度、加速度和转向等随时间和坐标的变化规律，不涉及力问题，但从中得出结论为流体动力学的研究奠定基础。第2页/共95页第第3 3章章 流体运动学流体运动学 3.1 3.1 流体运动的描述流体运动的描述 3.2 3.2 欧拉法的基本概念欧拉法的

2、基本概念 3.3 3.3 连续性方程连续性方程 3.4 3.4 流体微团运动分析流体微团运动分析 流体的静止总是相对的，运动才是绝对的。流体最基本的特征就是它的流动性。 第3页/共95页第第3 3章章 流体运动学流体运动学 流体质点：流体质点是一个物理点，它是在作为连续介质的流体中取出的一个微小的体积。因为体积微小，它的几何尺寸可以忽略不计，作为一个几何点看待。但它具有一定的物理量，如速度、加速度、压力、密度等等。（微观上无穷大，宏观上无穷小）空间点：空间点是一个几何点，仅表示空间位置。 流体是连续性介质。因此在任何时刻每一个空间点总有一个相应的质点来占据它的位置。第4页/共95页第第3 3章

3、章 流体运动学流体运动学流体运动的描述拉格朗日法（ Lagrange Method ） （随体法或跟踪法） 质点系法 以研究个别流体质点的运动为基础，通过对每个流体质点运动规律的研究来获得整个液体运动的规律性。 方法概要 研究对象流体质点Largrange拉格朗日法Euler欧拉法第5页/共95页 运动描述3.1 3.1 流体运动的描述流体运动的描述流体质点坐标：初始时刻的位置坐标),(cba任意时刻的位移),(zyx区分不同流体质点流体质点的位移某一指定指点某一指定指点a a，b b，c c为常数，为常数，公式公式3-13-1表示质点运动轨迹。表示质点运动轨迹。求导中求导中a a，b b，c

4、 c为常数，对时为常数，对时间求一阶偏导得该质点速度。间求一阶偏导得该质点速度。),(),(),(tcbazztcbayytcbaxx位移第6页/共95页二、拉格朗日法（随体法或跟踪法）位移方程1、对于某个确定的流体质点，（、对于某个确定的流体质点，（a，b，c）为常数，）为常数，t为变为变量量轨迹轨迹2、t为常数，（为常数，（a，b，c）为变量）为变量某一时刻不同流体质点某一时刻不同流体质点的位置分布的位置分布 同一时刻，流体质点的照相图同一时刻，流体质点的照相图3、a，b，c为为Lagrange变量，不是空间坐标函数，是流体变量，不是空间坐标函数，是流体质点的标号质点的标号),(),(),

5、(tcbazztcbayytcbaxx位移第7页/共95页 运动描述3.1 3.1 流体运动的描述流体运动的描述 由上述可见，采用拉格朗日法无疑是复杂和困难的。目前，采用此方法的仅限于浅水波理论、波浪研究等极少领域。除个别流动，其余都用欧拉法描述。由此，某时刻t流体质点的速度和加速度可表示为:ttcbaztzuttcbaytyuttcbaxtxuzyx),(),(),(222222222222),(),(),(ttcbaztzattcbaytyattcbaxtxazyx 第8页/共95页3.1.2 欧拉法（ Euler Method ） 流场法 以流动空间为研究对象。考察不同液体质点通过固定的

6、空间点的运动情况来了解整个流动空间的流动情况，即着眼于研究各种运动要素的分布场。 方法概要 研究对象每时刻各空间点都有确定物理量，这样的空间区域称为流场，包括速度场，压强场，密度场等3.1 3.1 流体运动的描述流体运动的描述第9页/共95页 运动描述流体速度场： 压强场：( , )( , )( , )xxyyzzuux y z tuux y z tuux y z t,ppx y z t密度场：,x y z t任一物理量：,NNx y z t3.1 3.1 流体运动的描述流体运动的描述流场中充满无限多个连续分布的流体质点，每个流体质点都有确定的运动参数（速度、加速度等）和物理参数（密度、压强等

7、）。速度场，压强场流场：充满运动流体质点的全部空间。第10页/共95页讨论：1 当 x，y， z 一定，t 为变量时，表示任意时刻不同质点通过某固定点时的速度变化情况；2 当 x，y，z 为变量，t 一定时，表示某时刻 整个流场内质点速度的分布情况；3 当 x，y， z ，t 均为变量时，表示任意时刻、整个流场的速度 变化情况。4 x y z质点运动轨迹上的空间点坐标, 因此x，y，z是时间的函数( , , , )( , , , )( , , , )xxyyzzuux y z tuux y z tuux y z t流体速度场： ;xx tyy tzz t第11页/共95页3.1 3.1 流体运

8、动的描述流体运动的描述方向分量为在度可得该液体质点的加速对速度求一阶偏导数，xa),(),(),(tzyxuutzyxuutzyxuuzzyyxxtzzutyyutxxututuaxxxxxxddddddddtzutyutxuzyxdd,dd,dd复合函数求导 ;xx tyy tzz t加速度？第12页/共95页zzyzxzzzzzyyyxyyyyzxyxxxxxxuzuuyuuxutudtduauzuuyuuxutudtduauzuuyuuxutudtdua（4）加速度场：当地加速度 （时变加速度）：表示流体通过某固定点时速度随时间的变化率。迁移加速度（位变加速度）：表示某一时刻流体流经不同

9、空间点时速度的变化率。第13页/共95页加速度 ： xxxxxxxyzyyyyyyxyzzzzzzzxyzduuuuuauuudttxyzduuuuuauuudttxyzduuuuuauuudttxyz()uauut或 迁移加速度（位变加速度） ：表示流体质点所在空间位置的变化所引起的速度变化率。流场不均匀引起 当地加速度（时变加速度） ：表示通过固定空间点的流体质点速度随时间的变化率； 流场不恒定引起ut()uu3.1 3.1 流体运动的描述流体运动的描述第14页/共95页3.1 3.1 流体运动的描述流体运动的描述zuuyuuxuutuaxzxyxxxx课本P47第15页/共95页3.1

10、3.1 流体运动的描述流体运动的描述zuuyuuxuutuaxzxyxxxx第16页/共95页 2、加加速度速度：3-1 描述流体运动的两种方法 1)、在水位恒定的情况下： （1）AA 不存在时变加速度和位变加速度。 （2）BB 不存在时变加速度，但存在位变加速度。 2)、在水位变化的情况下： （1）AA 存在时变加速度，但不存在位变加速度。 （2）BB 既存在时变加速度，又存在位变加速度。第17页/共95页3. 在工程实际中，并不关心每一质点的来龙去脉。基于上述三点原因，欧拉法在流体力学研究中广泛被采用。欧拉法的优越性：欧拉法的优越性：1. 利用欧拉法得到的是场，便于采用场论这一数学工具来研

11、究。2. 采用欧拉法，加速度是一阶导数，而拉格朗日法，加速度是二阶导数，所得的运动微分方程分别是一阶偏微分方程和二阶偏微分方程，在数学上一阶偏微分方程比二阶偏微分方程求解容易。拉格朗日法在研究爆炸等现象以及计算流体力学的某些问题中方便。第18页/共95页3.2 欧拉法的基本概念3.2.1 流动的分类1.恒定流与非恒定流恒定流：( , , )( , , )( , , )uu x y zpp x y zx y z特点：流场内的速度、压强、密度等参量只是坐标的函 数，而与时间无关。即：0t时变导数为零！第第3 3章章 流体运动学流体运动学流场中所有空间点上一切运动要素均不随时间变化第19页/共95页

12、流动稳定性演示流动稳定性演示v=v(x,y,z,), p=p(x,y,z)第第3 3章章 流体运动学流体运动学第20页/共95页3.2 欧拉法的基本概念非恒定流流动参量随时间变化的流动。( , , , )( , , , )( , , , )uu x y z tpp x y z tx y z t特点：流场内的速度、压强、密度等参量不仅是坐标的 函数，而与时间有关。即：0t时变导数不为零！第21页/共95页流动稳定性演示流动稳定性演示 v=v(x,y,z,t), p=p(x,y,z,t)3.2 欧拉法的基本概念第22页/共95页3.2 欧拉法的基本概念2. 一维流动、二维流动和三维流动 , , ,

13、 , ,uu x toruu xuu x y toruu x yuu x y z toruu x y z一维流动： 二维流动： 三维流动： 实际流体力学问题均为三维流动。工程中一般根据具体情况加以简化。 流速沿一个运动方向，流速用断面平均流速表示。流速沿一个运动方向，流速用断面平均流速表示。ux， uy ， uz中必有一项为中必有一项为0。P48u(x,y,z,t)， uxuy uz 0第23页/共95页3.2 欧拉法的基本概念2. 一维流动、二维流动和三维流动一维流动：流动要素只是一个空间坐标的函数的流动称之为一维流动。通常河道、渠道、管道中，流动要素是三个坐标的函数，流动方向的尺寸远大于横

14、向尺寸。如果流速用平均流速来代替，它们的流动也看成一维流动来处理。二维流动二维流动一维流动一维流动第24页/共95页3.2 欧拉法的基本概念2. 一维流动、二维流动和三维流动二维流动：若流动要素只是两个空间坐标的函数，而与第三坐标无关，这种流动称为二维流动。例如，水在矩形渠道中的流动。三维流动三维流动二维流动二维流动第25页/共95页3.2 欧拉法的基本概念2. 一维流动、二维流动和三维流动三维流动：若流动要素是三个空间坐标的函数，则这种流动称为三维流动。例如，空气绕地面建筑物的流动、水在自然河道中的流动等。第26页/共95页3. 均匀流和非均匀流 若迁移加速度为零， 流动是均匀流，反之是非均

15、匀流。 等直径管道 管内流动均匀流 变直径管道内，非均匀流()0uu 第27页/共95页3.2 欧拉法的基本概念P49例3-1：速度场求（1）t=2s时，在(2，4)点的加速度；（2）是恒定流还是非恒定流；（3）是均匀流还是非均匀流。j txyi txyu)96()64(（1）将t=2，x=2，y=4代入得同理解：dtduaxx)4()96()6()64()64(ttxyttxyxy2/4smax2/6smayjia64 2/smzuuyuuxuutuxzxyxxx第28页/共95页3.2 欧拉法的基本概念jtuitutuyx（2）是非恒定流（3）是均匀流uu0)96()64(jxyixy0y

16、yxxxyxyuuuuuuiuujxyxy第29页/共95页 例题3-1解题技巧=(69 )xyzxyxxxxxxxyzyyyyyyxyzzzzzzzxyzuu iu ju kuuyx tduuuuuauuudttxyzduuuuuauuudttxyzduuuuuauuudttxyz 自己把（4y-6x）t 列出tzutyutxuzyxdd,dd,dd第30页/共95页3.2 欧拉法的基本概念1.迹线流体中某一质点的运动轨迹。一个流体质点在一段连续时间内在空间运动的轨迹线，它给出同一质点在不同时刻的速度方向。 拉格朗日法迹线微分方程 xyxyzzdxudtdydxdydzudtdtuuudzu

17、dtt 是变量3.2.2 流线与迹线第31页/共95页3.2 欧拉法的基本概念第32页/共95页3.2 欧拉法的基本概念3.2.2 流线与迹线2.流线 它是某一确定时刻，在速度场中绘出的空间曲线，线上所有质点在该时刻的速度矢量都与曲线相切。适于欧拉方法。速度场是矢量场，可用矢量线几何地描述，流线是速度场的矢量线， t+dttaat+2dt迹线迹线第33页/共95页3.2 欧拉法的基本概念3.2.2 流线与迹线2.流线l强调的是空间强调的是空间连续质点连续质点而不是某而不是某单个质点单个质点l形成是在形成是在某一瞬间某一瞬间而不是一段而不是一段连续时间连续时间内内l表示的是质点的表示的是质点的速

18、度方向速度方向而不是而不是空间位置连线空间位置连线 它是某一确定时刻，在速度场中绘出的空间曲线，线上所有质点在该时刻的速度矢量都与曲线相切。适于欧拉方法。速度场是矢量场，可用矢量线几何地描述，流线是速度场的矢量线， 第34页/共95页3.2 欧拉法的基本概念3.流线方程 zxyds udydxdzuyuxuzAB根据流线的定义，可得出流线的微分方程。如图所示，在流线AB上取一微分段ds，将其看作是直线，此时流速矢量u与微分段ds重合。速度u在各坐标轴上的投影为ux、uy、uz，ds在坐标轴上的投影为dx、dy、dz 。0ds u = =0 xyzijkdxdydzuuuxyzdxdydzuuu

19、流线表达式第35页/共95页流线的性质流线的性质（1）除了在驻点和奇点处，两条流线不能相交。P50（2）流线是一条光滑的曲线， 不可能出现折点。（3 3）恒定流动时流线形状不变，）恒定流动时流线形状不变， 非恒定流动时流线形状随时间发生变化。非恒定流动时流线形状随时间发生变化。v1v2s1s2交点v1v2折点s流线密集的地方流速大，稀疏的地方流速小。 第36页/共95页3.2 欧拉法的基本概念流线的性质 （4）起点在不可穿越光滑固体边界 上的流线与该边界的位置重合。 第37页/共95页3.2 欧拉法的基本概念 流线是流速场的矢量线，流线是与流线是与欧拉欧拉观点相对应的观点相对应的概念。有了流线

20、，流场的空间分布情况就得到了形象化的概念。有了流线，流场的空间分布情况就得到了形象化的描绘。描绘。第38页/共95页流线流线定义定义拉格朗日拉格朗日法法欧拉法欧拉法t为自变量，为自变量，x, y, z 为为t的函数的函数 同一流体质点在不同时刻的位移曲线同一时刻、不同流体质点速度矢量与之相切的曲线研究方研究方法法微分方微分方程程 迹线 xyzdxdydzdtuuuxyzdxdydzuuu第39页/共95页在恒定流中，迹线与流线重合，但两者仍是完全不同的概念。非恒定流，一般迹线与流线迹线与流线不重合不重合，个别情况，流场速，个别情况，流场速度度方向方向不随时间变化，只速度大小随时间变化时，迹线不

21、随时间变化，只速度大小随时间变化时，迹线与流线重合。与流线重合。3.2 欧拉法的基本概念第40页/共95页41视频：流线-平板层流-begin第41页/共95页42视频：流线_球第42页/共95页3.2 欧拉法的基本概念例题：【3-2】已知速度场 。a0， b0，试求：1）流线方程及t=0,t=1,t=2 时的流线图。2）迹线方程及t=0时过（0，0）点的迹线。0,zyxubtuau解 :由流线的微分方程式xyzdxdydzuuubtdyadx可得： 积分时t当做常数，积分得： 或 所得流线方程是直线方程，不同时刻 的流线图是三组不同斜率的直线如(图37)。 a0， b0，速度是正值，流线向正

22、x、y方向aybtxcbtyxca(0,1,2)ttt第43页/共95页3.2 欧拉法的基本概念时流线图时流线图t=1t=1时流线图时流线图 t =2t =2时流线图时流线图图图37第44页/共95页已知速度场 。试求：2）迹线方程及t=0时过（0，0）点的迹线。0,zyxubtuau1221222;2002xyzdxdydzdtuuudxdydtabtdx adt dy btdttx at cty bcccbyxa其中是自变量积分得由t=0,x=0,y=0.确定积分常数，消去变量，得时，过（0,0）点的迹线是抛物线，非恒定流动，流线迹线不重合= = =t tt t= =0 0第45页/共95

23、页例3-33-3 设在流体中任一点的速度分量为 解：流线的微分方程是 0zyxutyutxu上式中的t是参变量，当作常数，对上式积分，得 试求t=0时，通过点A（-1，-1）流体质点的流线。tydytxdxCtytxln)ln()ln(上式可写为 Ctytx)(在流体中任一瞬时的流线是一双曲线族。 第46页/共95页Ctytx)(当t=0时，x=-l，y=-1，代人上式，得C=-1。因此 1xy0zyxutyutxu流线方向，看速度正负当t=0时，x=-l，y=-1，ux=-1， uy=1,X方向向负方向，Y方向向正方向第47页/共95页3.2 欧拉法的基本概念3.2.3 流管、过流断面、元流

24、和总流P531.流管、流束流管在流场中作一不是流线的封闭周线，过该周线上的所有流线 组成的管状表面。流线不相交，流体不能穿过流管，流管就像真正的管子一样将其内外的流体分开。恒定流运动中，流线不变化，所以流管的形状和位置不随时间发生变化。流束充满流管的一束流体。第48页/共95页3.2 欧拉法的基本概念3.2.3 流管、过流断面、元流和总流2.过流断面在流束上作出与流线正交的横断面过流断面与元流或总流的流线正交的横断面第49页/共95页3.2 欧拉法的基本概念3 用流线判别均匀流与非均匀流 均匀流的流线必为相互平行的直线，过流断面是平面。而非均匀流的流线要么是曲线，要么是不相平行的直线。 判别：

25、均匀流非均匀流 位变加速度 ？()0uu是否按流线是否为彼此按流线是否为彼此平行的直线平行的直线均匀流均匀流非均匀流非均匀流第50页/共95页3.2 欧拉法的基本概念3 均匀流与非均匀流均匀流均匀流非均匀流均匀流非均匀流均匀流非均匀流缓变流急变流急变流缓变流缓变流 (渐变流) ：流束内流线夹角很小：流束内流线夹角很小 流线曲率半径很大流线曲率半径很大 近乎平行直线近乎平行直线急变流急变流：流动沿程急剧改变的非均匀流动。突缩管、突扩管、弯管、闸门等。突缩管、突扩管、弯管、闸门等。第51页/共95页3.2 欧拉法的基本概念3.2.3 流管、过流断面、元流和总流3.元流和总流元流过流断面无穷小的流束

26、，几何特征与流线相同。流线是一个数学概念，只是某一瞬时流场中的一条光滑曲线。元流物理概念，断面各点流动参数相同。如z位置水头、p压强、u流速总流截面积有限大的流束。由无数元流组成。 如河流、水渠、水管中的水流及风管中的气流都是总流。 各点流动参数一般情况下不同。第52页/共95页流管、元流、总流和过流断面流管、元流、总流和过流断面流管由流线构成的一个封闭的管状曲面dA元流过流断面无穷小的流束总流在一定边界内具有一定大小尺寸的实际流动的水流，它是由无数多个元流组成过流断面与元流或总流的流线正交的横断面3.2 欧拉法的基本概念第53页/共95页3.2 欧拉法的基本概念3.2.4 流量、断面平均流速

27、1.流量流量在单位时间内某一过水断面的液体体积，常用单位m3/s，以符号Q表示。udAudAdQQAQdQudA sm /3mAQudA第54页/共95页流量在单位时间内某一过水断面的液体体积，常用单位m3/s，以符号Q表示。第55页/共95页3.2 欧拉法的基本概念断面平均流速V可以将多元流简化为一元流,如:旋转抛物面AQudA即为旋转抛物体的体积即为旋转抛物体的体积断面平均流速Vv AQ即为柱体的体积即为柱体的体积AudAvAA第56页/共95页3.2 欧拉法的基本概念例3-4P54已知半径为r0的圆管中，过流断面上的流速分布为710max)(ryuu 式中umax是轴线上断面最大流速，y

28、为距管壁的距离。试求通过的流量和断面平均流速v。解：在过流断面半径 处，取环形微元面积 ,面上各点流速u相等流量：yrr0rdrdA2 000710max0)()(2rAyrdyrryudAQ 012max700max1070249()60rury ydyr urm ax4960QvuA第57页/共95页3-4 流体运动的连续性方程流体运动的连续性方程 3-4 流体运动的连续性方程 质量守恒定律的流体力学表达式，它的数学表示式即为流体运动的连续性方程。 3-4-1 系统、控制体 1、系统(system)：采用拉格朗日法 包含着确定不变的物质的集合称为系统。在流体力学中，就是流体团。 系统以外的

29、一切称为外界。系统的边界是把系统和外界分开的真实或假想的表面。 第58页/共95页流体系统的边界有以下几个特点：流体系统的边界有以下几个特点：3-4 流体运动的连续性方程 （1）系统的边界随流体一起运动，系统的体积边界面的形状和大小随时间而变化； （2）在系统的边界处没有质量的交换，即没有流体流进或流出系统的边界； （3）在系统的边界上受到外界作用在系统上的表面力；在系统的边界上可以有能量交换，即可以有能量进人或外出系统的边界。 第59页/共95页 2、控制体（、控制体（control volume）：采用欧拉法）：采用欧拉法3-4 流体运动的连续性方程 被流体所流过的，相对某个坐标系，固定不

30、变的任何体积称为控制体。 控制体的边界面称为控制面(control surface)，它总是封闭表面 。 控制体控制断面(control section)控制断面第60页/共95页3-4 流体运动的连续性方程 控制面有以下几个特点： （1）控制面相对于坐标系是固定的； （2）在控制面上可以有质量交换，即可以有流体流进或流出控制面； （3）在控制面上受到控制体以外物体加在控制体内物体上的力；在控制面上可以有能量交换，即可以有能量进人或外出控制面。 控制体控制断面(control section)控制断面 控制断面的选取： 在恒定渐变流的过流断面上第61页/共95页第第3 3章章 流体运动学流体运

31、动学连续性方程质量守恒定律在流体力学中的具体形式。取直角六面体为控制体。 1 连续性微分方程第62页/共95页22xxxxxuuudxdxudydzdtudydzdtdxdydzdtxxx 2xxudxudydzdtxdt时间内，流进abcd面流体质量为 2xxudxudydzdtx 流出abcd面流体质量为dt时间x轴向：流入-流出=3.3 连续性方程连续性方程流入的净质量第63页/共95页yxzuuudxdydzdtxyzyudxdydzdty同理：y轴向的净流入量：zudxdydzdtzz轴向的净流入量：六面体的净流入量：3.3 连续性方程连续性方程 据质量守恒定律，dt时间内流入控制体

32、的总净流质量应等于控制体内由于密度变化而增加的质量，即：第64页/共95页00yxzyxzuuudxdydzdtdtdxdydzxyztuuutxyzdivut（）；3.3 连续性方程连续性方程连续性微分方程一般形式，P56 （3-21） （3-22）适用于可压缩流体和不可压缩流体、恒定流和非恒定流第65页/共95页00yxzyxzuuudxdydzdtdtdxdydzxyztuuutxyzdivut（）；3.3 连续性方程连续性方程对于恒定流， 连续性方程为： （3-23）0t0yxzuuudivuxyz（）第66页/共95页00yxzyxzuuudxdydzdtdtdxdydzxyztuu

33、utxyzdivut（）；3.3 连续性方程连续性方程不可压缩流体，密度不随时间、地点变，连续性方程为： 00yxzuuudivuxyz（3-24）第67页/共95页00yxzuuutxyzdivut（）；3.3 连续性方程连续性方程给出速度场，问流动是否满足连续性条件？是否连续？，就看连续性方程是否满足。不满足连续性方程的流动是不存在的。满足连续性方程的流动可能存在。（3-24）连续性微分方程一般形式00yxzuuudivuxyz不可压缩流体第68页/共95页 【例】 假设有一不可压缩流体三维流动，其速度分布规律为ux=3（x+y3)，uy =4y+z2，uz =x+y+2z 。试分析该流动

34、是否连续。 【解】 根据式（3-24） 所以 故此流动不连续。不满足连续性方程的流动是不存在的。3x xu4 yuy09x zuyuxuzy3.3 连续性方程连续性方程z2zu第69页/共95页3.3 连续性方程连续性方程速度场 其中c为常数。试求坐标z方程的速度分量uz。222,xyucx yz uy zcxy z例题：【3-6】 解：流动为不可压缩流体空间流动，由不可压缩流体连续性微分式方程式积分可得：0zuyuxuzyxcxyzxux2cxyzyzyuy22yzyuxuzuyxz2)(第70页/共95页22( , )( , )( , ) 0zzzuyzf x yf x yuf x yuy

35、z 是 ， 的任意函数，满足连续性微分方程的可以有无数多个，最简单就是取xyxy= =速度场 其中c为常数。试求坐标z方程的速度分量uz。222,xyucx yz uy zcx yz第71页/共95页3.3 连续性方程连续性方程 在恒定总流中取一微小流管为控制体积，它的控制面由过水断面1，2以及流管壁面所组成。2 连续性微分方程对总流的积分第72页/共95页3.3 连续性方程连续性方程 则根据质量守恒原理：经过dt时刻经控制面流进流出控制体积内的液体质量应相等。（因为是恒定流体内的质量不随时间变化）则有下式： 1u1dA1dt =2u2dA2dt不可压缩液体简化得 u1dA1=u2dA2 此即

36、为不可压缩液体元流的连续性方程。第73页/共95页3.3 连续性方程连续性方程 总流由无数个元流组成的。把元流的能量方程对总流过水断面积分，可得到总流的连续方程，即 121122ddAAuAuA 或或 又由于总流的流量又由于总流的流量QvA 上式又可写为上式又可写为 此即为此即为恒定恒定总流连续方程总流连续方程P58 （3-26） （3-27）。它表明：）。它表明：通过总流的断面平均流速与断面面积成反比。通过总流的断面平均流速与断面面积成反比。12QQ112212v Av Avv、 断面平均流速第74页/共95页 【例】 有一输水管道，如图所示。水自截面1-1流向截面2-2。测得截面1-1的水

37、流平均流速 m/s，已知d1=0.5m， d2=1m，试求截面2-2处的平均流速 为多少？ 【解】 由式（3-27）得 2V2V22221144dVdV2212120.520.5m/s1dVVd3.3 连续性方程连续性方程第75页/共95页3.3 连续性方程连续性方程Q1Q2Q3Q1Q2Q3若有支流：课本P58 例3-8第76页/共95页3.4 相邻点运动描述流体微团运动分析一、 流体微团的运动类型刚体平移、旋转流体平移、旋转、变形（线变形、角变形）( ,)uu x y z某一时刻t，取流体微团，其中一点O （x,y,z）为基点，速度 在O点邻域取一点M（x +x, y+y, z+z）求M点速

38、度第77页/共95页xxxM xxyyyM yyzzzM zzuuuuuxyzxyzuuuuuxyzxyzuuuuuxyzxyz取O点速度为基准点，M点速度由泰勒展开前两项第78页/共95页xxxMxxyyyMyyzzzMzzuuuuuxyzxyzuuuuuxyzxyzuuuuuxyzxyz0.50.50.50.50.50.5yzxzyxuuyzxxuuzxyyuuxyzz为显示出移动，旋转，变形运动，对上式右边加减相同的项第79页/共95页同 上以第一式为例，方程右边作如下变换：xxxM xxuuuuuxyzxyz1122zyuyxuzx11()()2211()()22xxxMxxzxyxy

39、zuuuuuuxyzxyzuuzyuxuxzyxuxMxxxxyxzyxzuuxyzzy第80页/共95页同 上以第一式为例，方程右边作如下变换：11()()2211()()22xxxMxxzxyxyzuuuuuuxyzxyzuuzyuxuxzyxuxMxxxxyxzyxzuuxyzzy=xxxux第81页/共95页()()()()()()MxxxxxyxzyzMyyyyyzyxzxMzzzzzxzyxyuuxyzzyuuyzxxzuuzxyyx 海姆霍兹(Helmholtz) 速度分解定理 ：微团运动速度分解为：移动、变形（线变形+角变形）、旋转三种运动速度组合M点速度第82页/共95页流体

40、微团的运动分解： (1)作为整体的平动； (2)绕某一点的旋转运动； (3)变形运动，包括线变形和角变形。 Fluid element motion consists of translation, linear deformation, rotation, and angular deformation.第83页/共95页平动（Translation） 角变形率(Rate of angular deformation) 线变率(Rate of linear deformation) 旋转运动(Rotation) xyzuuu、=yxzxxyyzzuuuxyz，第84页/共95页二、 相邻点运动的几何图形描述1、平移速度：、平移速度：ux，uy，uz2、线变形速度x方向OAxxxxuuux dtu dtxdtxxx向线变形速度 OA dtxxux线变形同理 yyuyzzuz 产生原因：各质点在连线方向的速度梯度是产生线变形的原因第85页/共95页3、角变形速度（O和A在y方向速度不同）存在不在质点连线方向的速度梯度是产