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文档简介
1、数量积几何意义的应用一【问题背景】向量是沟通代数与几何的一座天然的桥梁,向量能进行数量积运算是向量应用广泛的一个重要原因a 与 b 的数量积 a b 的几何意义是:a b 等于 a 的长度 a 与 b 在 a 的方向上的投影 b cos的积,其中为 a , b 的夹角由于数量积满足分配律,因此,对向量进行数量积运算就是不断地运用“有向线段的和在直线上的投影等于各有向线段的投影的和”这一结论二、【与平面几何定理的关联】射影定理: 在 Rt ABC 中, ACBC,CDAB于D,则 AC2ADAB ,BC 2BD BA证明: 由数量积的几何意义知 ACABADAB ,C又AC ABAC (ACCB
2、)2AC2 ,AC所以 AC2ADAB ,同理 BC2BD BAAD圆幂定理: 过点 P 的直线与圆 O 相交于 A, B 两点,则 PA PBPO2R2 ,其中 R为圆 O 的半径证明: 当在圆 O 上时,结论显然,否则,连结BO 并延长交圆 O于点 C ,连结 AC, PC ,则BPPC PB(PO OC) (PO OB)(POOC) (PO OC)OPO2OC 2PO 2R2 另一方面,根据数量积的几何意义,图 1当 P 在圆 O 内时(如图2), PC PBPA PB,B当 P 在圆 O 外时(如图3), PC PBPAPB ,O故PA PBPO 2R2图 2三、【范例】BACAPC例
3、 1在正ABC 中,D 是边 BC 上的点,且 AB3, BD1,则 ABAD 的值为.解: 如图,过 D 作 DDAB于 D ,则 BD1,BD cos60152 AD3,2215D'由数量积的几何意义得ABADABADB2变式 在ABC 中, BAC90, AB 6, D 在斜边 BC上,且 CD2DB ,则 ABAD 的值为.例 2在ABC 中, ADAB, BC3BD ,AD 1,则ACADABCD这是一道有相当难度的高考题,但若从向量的几何意义出发展开思考,不仅思路自然,而且过程简单解 1:设点 C 直线 AD 上的射影为DC 1DCC1 ,则3 1,ADBD3 1,则 AC
4、1B于是 DC13 ,由数量积的几何意义得 AC ADAC1 AD3 精选文库ADC.ACDC1当然,考虑 AD 在 AC 上的投影同样可解另外,若注意 ADAB,先利用ACABBC将ACAD 转化为 BCAD 可得如下简解:解2:ACAD(ABBC) ADBC AD3 BDAD3AD3 解法 2 充分利用了已知的垂直条件和数量积的几何意义,未添加一条辅助线, 当为此题最佳解法例 3 如图,三个边长为2 的等边三角形有一条边在同一条直线上,边 B3C3 上有 100 个不同的点P1,P2P, 记mi AB2 APi, (i1, 2, 100) ,100求 m1m2m100 的值B1B2B3P1
5、00P2P1AC1C2C3-2精选文库D解:延长 AB2 ,C3 B3交于点 D ,由 AC1B2C1C1C2 知B 1B 2B 3AB2 B2C2 ,从而 AB2B3C3,P iAC1C2C3由数量积的几何意义得miAB2 APi AB2 AD2 3 33 18, m1m2 m100181001800 变式 :如图,在直角三角形ACB中,AC1CD上有 10 个点,斜边上的高P1 , P2 , , Pi , P10 ,则 ( AP1AP2AP10 ) AB.CP1PiAP10BD例 4如图,正六边形 ABCDE 中, P 是CDE 内(包括边界)的动点,设APABAF( 、R) ,则的取值范
6、围是EPDFCAB解: 不妨设正六边形边长为1, APABAF , AP ABAB ABAF AB1,21AP AFAB AFAFAF,2两式相加得 1 (1 AP)AP ABAPAFAD ,即AP AD,22根据数量积的几何意义,考查AP 在 AD 上投影的变化,注意到ADEC,点 A与CDE 内(包括边界) 的点的最短长度为点A到 EC的距离3 ,最长长度为点A与点D的距离 2,即 32AP AD2,故 34 2反思: 从上述解题过程可以看到,将“APABAF ”分别点乘 AB 和 AF 再相加,实际上只要直接点乘AD 即可-3精选文库四、【练习】1在ABC 中, AB3, AC5,若O为ABC 的外心,则 AOBC的值.解: 如图,过点 ODAB于D,OEAC于 E,则AAO BC AO (ACAB)AO ACAO ABAEACADABE1 (AC2AB2)1 (5232) 8DO22BC2如图,在平行四边形 ABCD 中,已知 AB 2, AD1,DAB60,点M为AB的中点,点 P 在 BC 与 CD 上运动(包括端点) ,则 AP DM 的取值范围为AMBDPC解:AP DM( DPDA) DMDP DM1,2考查 DP 在 DM 上的投影的变化,当P 在 D 处时,投影最小为0;当 P在B处时,投影最大为3 ,2DP DM 0,3 ,故 APDM 的取值范围为 1,
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