数学建模作业

1、数学建模作业姓名：李成靖学号： 1408030311班级：计科 1403 班日期：精选文库1.某班准备从5 名游泳队员中选4 人组成接力队， 参加学校的4× 100m 混合泳接力比赛，5 名队员 4 种泳姿的百米平均成绩如下表所示，问应如何选拔队员组成接力队？如果最近队员丁的蛙泳成绩有较大的退步，只有1 15"2 ；而队员戊经过艰苦训练自由泳成绩有所进步，达到57"5 ，组成接力队的方案是否应该调整？名队员 4 种泳姿的百米平均成绩甲乙丙丁戊蝶泳1 06"857" 2118"1 10"107" 4仰泳1 15&qu

2、ot; 61 06"1 07" 8114" 21 11"蛙泳127"106" 41 24" 6109" 6123" 8自由泳58" 653"59" 457" 2102" 4解为队员第种泳姿的百米成绩，转化为规划模型:(1).设 cij 秒ij( )0 1若参选择队员i 加泳姿 j 的比赛，记 xij =1, 否则记 xij =0目标函数 : Min45Zcij x ij即j1 i 1min=66.8*x11+75.6*x12+87*x13+58.6*x14

3、+57.2*x21+66*x22+66.4*x23+53*x24 +78*x31+67.8*x32+84.6*x33+59.4*x34+70*x41+74.2*x42+69.6*x43+57.2*x44+ 67.4*x51+71*x52+83.8*x53+62.4*x54;约束条件 :x11+x12+x13+x14<=1;x21+x22+x23+x24<=1;x31+x32+x33+x34<=1;x41+x42+x43+x44<=1;x51+x52+x53+x54<=1;x11+x21+x31+x41+x51=1;x12+x22+x32+x42+x52=1;x13

4、+x23+x33+x43+x53=1;x14+x24+x34+x44+x54=1;-2精选文库lingo 模型程序和运行结果因此，最优解为 x14=1,x21=1,x32=1,x43=1, 其余变量为 0 成绩为 253.2(秒 )=4 13"2即：甲 自由泳、乙 蝶泳、丙 仰泳、丁 蛙泳 .(2).若丁的蛙泳成绩退步为1 15"2=75.2(秒 ) ，戊的自由泳成绩进步为57"5=57.5(秒 ) ，则-3精选文库目标函数：min=66.8*x11+75.6*x12+87*x13+58.6*x14+57.2*x21+66*x22+66.4*x23+53*x24+

5、78*x31+67.8*x32+84.6*x33+59.4*x34+70*x41+74.2*x42+75.2*x43+57.2*x44+67.4*x51+71*x52+83.8*x53+57.5*x54;约束条件：x11+x12+x13+x14<=1;x21+x22+x23+x24<=1;x31+x32+x33+x34<=1;x41+x42+x43+x44<=1;x51+x52+x53+x54<=1;x11+x21+x31+x41+x51=1;x12+x22+x32+x42+x52=1;x13+x23+x33+x43+x53=1;x14+x24+x34+x44+x

6、54=1lingo 模型程序和运行结果-4精选文库因此，最优解为x21=1,x32=1,x43=1,x54=1 ,其余变量为 0;成绩为 257.7(秒 )= 4 17"7 ,新方案 :乙蝶泳、丙 仰泳、丁 蛙泳、戊 自由泳 。2.某工厂用A1 ，A2 两台机床加工 B1，B2 ， B3 三种不同零件，已知在一个生产周期内A1 只能工作 80 机时， A2 只能工作 100 机时。一个生产周期内加工B1 为 70 件，B2 为 50件， B3 为 20 件。两台机床加工每个零件的时间和加工每个零件的成本，分别如下所示加工每个零件时间表（单位 :机时 /个）机床零件B1B2B3A112

7、3A2113加工每个零件成本表 (单位：元 /个 )机床零件B1B2B3A1235A2336问怎样安排两台车床一个周期的加工任务，才能使加工成本最低？解：设在 A1 机床上加工零件B1、 B2、B3的数量分别为 x1、x2、x3 ，在 A2 机床上加工零件 B1 、 B2 、 B3 的数量分别为x4、 x5、 x6, 可建立以下线性规划模型：目标函数： min=2*x1+3*x2+5*x3+3*x4+3*x5+6*x6约束条件： x1,x2,x3,x4,x5,x6均为整数x1+2*x2+3*x3<=80x1+x2+3*x3<=100x1+x4=70x2+x5=50x3+x6=20l

8、ingo模型程序和运行结果-5精选文库最优解为x1=70,x2=0,x3=3,x4=0,x5=50,x6=17;最低成本价为407元。即：在 A1 机床上加工零件B1、B2、B3 的数量分别为70、0、3，在A2 机床上加工零件B1、B2、B3 的数量分别为0、50、17。3.某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、 收益如下表所示按照规定，市政证券的收益可以免税，其他证券的收益需按50%的税率纳税。此外还有以下限制：（ 1）政府及代办机构的证券总共至少要购进400 万元；（ 2）所购证券的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用程度越高）；

9、（ 3）所购证券的平均到期年限不超过5 年。证券名称证券种类信用等级到期年限到期税前收益 (%)A市政294.3B代办机构2155.4C政府145.0D政府134.4E市政524.5（ 1）若该经理有1000 万元资金，应如何投资?（ 2）如果能够以2.75%的利率借到不超过100 万元资金，该经理应如何操作?（ 3）在 1000 万元资金情况下，若证券 A 的税前收益增加为4.5%，投资应否改变 ?若证-6精选文库券 C 的税前收益减少为4.8%，投资应否改变?解： 设投资证劵 A、证劵 B、证劵 C、证劵 D、证劵 E 的金额分别为： X1、X2、X3、X4、 X5（百万元），投资之后获得

10、的总收益为Y 百万元。(1). 建立如下的线性规划模型：目标函数： max约束条件 :X2+X3+X4>=4X1+X2+X3+X4+X5<=10(2*X1+2*X2+X3+X4+5*X5)/( X1+X2+X3+X4+X5)<=1.4(9*X1+15*X2+4*X3+3*X4+2*X5)/( X1+X2+X3+X4+X5)<=5整理化简可得 ：Max Y=0.043*X1+0.027*X2+0.025*X3+0.022*X4+0.045*X5 ；X2+X3+X4>=4；X1+X2+X3+X4+X5<=10；6*X1+6*X2-4*X3-X4+36*X5<

11、;=0；4*X1+10*X2-X3-2*X4-3*X5<=0 ；lingo模型程序和运行结果-7精选文库因此，最优解为Y=0.298， X1=2.182，X3=7.364， X5=0.454最优解方案不投资证劵 B和证劵 D，投资证劵 A为 218.2 万元，投资证劵 C为 736.4 万元，投资证劵 E 为 45.4 万元 ; 总收益为 29.8 万元。（ 2） . 由问题（ 1）得 : 投资金额每增加 100 万元，收益可增加 2.98 万元，而借贷 100 万元所要支付的利息是 2.75 万元，比 2.98 万元少，因此应该借贷这 100万元去投资。目标函数仍为 ：Max Y=0.

12、043*X1+0.027*X2+0.025*X3+0.022*X4+0.045*X5 ；X2+X3+X4>=4；X1+X2+X3+X4+X5<=11；6*X1+6*X2-4*X3-X4+36*X5<=0；4*X1+10*X2-X3-2*X4-3*X5<=0 ；lingo模型程序和运行结果因此，最优解为 : X1=2.40,X3=8.10,X5=0.50,Y=0.328;即应投资证劵 A 240 万元，证劵 C 810 万元，证劵 E 50 万元。此时收益总额为 32.8 万元，再减去所要支付的利息 2.75 万元，还剩 30.05 万元，比问题 (1) 中的收益总额 2

13、9.8 万元还要多，这也证明了借贷 100 万元来投资是明智的。-8精选文库（3).问题 (1) 的灵敏度分析可得下图：则在最优解不变的条件下目标函数系数允许的变化范围：X1 的系数为（ 0.043-0.013 ， 0.043+0.0035 ）， 即 （ 0.030 ， 0.0465 ）； X3 的 系 数 为（ 0.025-0.0006 ，0.025+0.017 ），即（ 0.02494 ， 0.042 ）；当证劵 A 的税前收益增加为 4.5%时，其在目标函数中的系数为 0.045 ，在最优解不变的条件下目标函数系数允许的变化范围内， 因此投资方案不应该改变。 当证劵 C的税前收益减少为

14、4.8%时，其在目标函数中的系数为 0.024 ，不在最优解不变的条件下目标函数系数允许的变化范围内， 因此只有改变投资方案， 才能使银行经理获得最大收益值。4.某医院负责人每日至少需要下表数量的护士。班次时间最少护士16时10时60210 时 14时70314 时 18时60418 时 22时50522 时 02时20602 时 06时30每班的护士在值班开始时向病房报到，连续工作 8 小时，医院领导为满足每班所需要的护士数，最少需要用多少护士？解：设在 i 班刚加入工作的人数分别为 x1、 x2、x3、 x4、x5、x6；目标函数为： min=x1+x2+x3+x4+x5+x6;约束条件：

15、 x1,x2,x3,x4,x5,x6均为整数x1+x2>=70x2+x3>=60x3+x4>=50x4+x5>=20-9精选文库x5+x6>=30x6+x1>=60lingo模型程序和运行结果因此，最优解为： x1=60、x2=10、x3=50、 x4=0、 x5=30、x6=0；最少需要护士 150 人。5某海岛上有12 个主要的居民点，每个居民点的位置（用平面坐标x,y 表示，距离单位：km）和居住的人数R 如表下表所示， 现在准备在岛上建一个服务中心为居民提供各种服-10精选文库居民点123456789101112务 ， 那x08.200.505.70

16、0.772.874.432.580.729.763.195.55么 服 务y00.504.905.006.498.763.269.329.963.167.207.88中 心 应R6001000800140012007006008001000120010001100该 建 在何处？解 ： 设 第i个 居 民 点 的 位 置 （，）， 居 住 的 人 数 为，i=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12;设服务中心的位置为（ a，b）, 无约束条件；服务中心应该让所有的人都方便，因此目标函数为min=lingo模型程序和运行结果-11精选文库-12精选文库因此，服务中心应该建的位置是（

17、3.19 ，3.20 ）第十一个小岛。6.某厂向用户提供发动机，合同规定，第一、二、三季度末分别交货40 台、 60 台、 80台。每季度的生产费用为f xaxbx 2 ( 元)，其中 x 是该季生产的发动机台数，若交货后有剩余，可用于下季度交货，但需支付存储费，每台每季度c 元。已知工厂每季度最大生产能力为 100 台，第一季度开始无存货，设a=50，b=0.2，c=4，问工厂应如何安排生产计划，才能既满足合同有使总费用最低？讨论a、 b、 c、变化对计划的影响，并作出合理的解释。解：(1). 设工厂第一季度生产 x1 台发动机，第二季度生产 x2 台发动机，第三季度生产 x3 台发动机。目

18、标函数： min=50*x1+0.2*x12+50*x2+0.2*x22+50*x3+0.2*x32+4*(x1-40)+4*(x1+x2-100);约束条件： x1,x2,x3 均为整数x1<=100;x2<=100;x3<=100;x1>=40;x1+x2>=100;x1+x2+x3>=180;lingo模型程序和运行结果-13精选文库因此，最优解为： x1=50,x2=60,x3=70;即： 工厂第一季度生产 50 台发动机，第二季度生产 60 台发动机，第三季度生产 70 台发动机。可使总费用最低，总费用为 11280.00 元。7.广告费用与效应。

19、某装饰材料公司欲以每桶2元的价钱购进一批彩漆。一般来说，随着彩漆售价的提高，预期销售量将减少，并对此进行了估算，见下表。手机与预期销售量售价（元）预期销售量（桶）售价（元）预期销售量（桶）2.00410002.50380003.00340003.50320004.00290004.50280005.00250005.50220006.0020000为了尽快收回资金并获得较多的盈利，装饰材料公司打算做广告。投入一定的公告费用后，销售量将有一个增长，可由销售增长因子来表示。例如，投入40000 元的广告费，销售增长因子为1.95，即销售将是预期量的1.95 倍。根据经验，广告费与销售增长因子的关系

20、见下表。广告与销售增长因子广告费（元）销售增长因子广告费（元）销售增长因子01.00100001.40200001.70300001.85400001.95500002.00600001.95700001.80-14精选文库解： 设售货单价为 x( 元 ) ，预期销售量为 y( 桶) ，广告费为z( 元 ) ，销售增长因子为k。投入广告后实际销售量为s桶，获得的利润为P元)。()(分析：预期销售量 y 随售价 x 的增加而减小，可近似用线性关系表示y = a0 + a1x(1)其中， a0 和 a1 是待定常数。销售增长因子 k 随广告费用 z 先增后减，可用二次方程表示k = b0 + b1

21、z + b2 z2(2)其中， b0， b1 和 b2 也是待定常数。待定常数可根据表中数据拟合。投入广告费之后，实际销售量为s = ky(3)利润是收入减支出，收入是售货单价x 乘以销售量 s；支出包括成本和广告费，成本是进货单价2 乘以销售量 s。因此利润为P = sx 2s -z = ky( x 2) -z = ( b0 + b1z + b2z2 )( a0 + a1x)( x 2) -z(4)这是二元函数，求最大利润就是二元函数的最大值。先计算常数，画出拟合曲线。再形成利润的矩阵，求出最大利润和下标，从而计算最大利润的售价和广告费。画出利润曲面，标记最大值。程序如下：clearx=2:

22、0.5:6;y=41,38,34,32,29,28,25,22,20*1000;z=(0:7)*1e4;k=1,1.4,1.7,1.85,1.95,2,1.95,1.8;figuresubplot(2,1,1)plot(x,y,'rx')gridonfs=12;title(' 预期销售量和售价的拟合线' , 'fontsize',fs)xlabel(' 售价 ( 元)' , 'fontsize',fs)ylabel(' 预期销售量 ( 桶)' , 'fontsize',fs)a=po

23、lyfit(x,y,1)xx=2:0.01:6;yy=polyval(a,xx);holdonplot(xx,yy)legend( ' 经验值 ' , ' 拟合线 ' )subplot(2,1,2)plot(z,k,'rx')-15精选文库gridontitle(' 销售增长因子和广告费的拟合曲线' , 'fontsize',fs)xlabel(' 广告费 ( 元)' , 'fontsize',fs)ylabel(' 销售增长因子 ' , 'fontsize&

24、#39; ,fs)b=polyfit(z,k,2)zz=(0:0.01:7)*1e4;kk=polyval(b,zz);holdonplot(zz,kk)legend( ' 经验值 ' , ' 拟合线 ' ,2)X,Z=meshgrid(xx,zz);K=polyval(b,Z);Y=polyval(a,X);P=K.*Y.*(X-2)-Z;mi,i=max(P);m,j=max(mi)xm=xx(j)zm=zz(i(j)km=polyval(b,zm)stem(zm,km, '-' )text(zm,km,num2str(zm),',',num2str(k