2018高中数学初高中衔接读本专题3.2二次函数的最值问题高效演练学案

1、x=第 2 讲二次函数的最值二次函数y二ax2bx c (a = 0)是初中函数的主角，所蕴含的函数性质丰富，也是高中学习的重要基础当自变量x在某个范围内取值时，求函数y的最大(小)值，这类问题称为最值问题问题最值问题在实际生活中也有广阔的应用.【知识梳理】1.二次函数解析式的三种形式:一般式：2y=ax+bx+c(a* 0).顶点式：y=a(xn)i+n(a*0)，顶点坐标为(rm n).零点式：y=a(xxi)(xX2)(a*0),Xi,X2为f(x)的零点.2.二次函数的图象和性质解析式y=ax+bx+c(a0)y=ax+bx+c(a0)图象|0 时，函数y=ax2+bx+c图象开口向上

2、；顶点坐标为(，)，对称轴为直线x=2a 4a；当xv时，y随着x的增大而减小；当x 时，y随着x的增大而增大；当2a2a2ax卫时，函2a数取最小值y=4acb4a2(2).当av0 时，函数y=ax2+bx+c图象开口向下；顶点坐标为(-一，-)，对称轴为直线x=2a 4abbb；当xv -时，y随着x的增大而增大；当x -时，y随着x的增大而减小；当2a2a2ab2a时，函数取最大值4a【高效演练】x=31. 二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x= 2，最小值为一 1，则它的解析式是y=_.2【解析】设y=a(x 2) - 1(a0),1当 x= 0 时，4a 1 = 1,a=2，所

3、以y= 2(x 2)2 1 = 2x2 2x+ 1.12【答案】产2 2x+ 1.2. 已知函数 y=x2+ 2ax+ 1 a(x 0 , 1)有最大值 2,贝U a=_.【解析】函数f(x) = x2+ 2ax+ 1 a= (xa)2+a2a+ 1，其图象的对称轴方程为x=a.当 a1 时，f(x)max=f(1) =a,所以a= 2.综上可知，a = 1 或 a = 2.【答案】1 或 2.23. 已知函数 y=x - 2x+3,求下列情况下二次函数的最值(1)2wxw3;(2)-2wxw2.【分析】(1)根据二次函数 y=x2- 2x+3 的图象和性质，分析当 2wxW3时，y 递增，进

4、而可得 y 的最大值、 最小值；(2)根据二次函数 y=x2-2x+3 的图象和性质，分析当-2wxw2.时，函数的单调性，进而可得 y 的最大值、 最小值.【解答】y =匕- 1)却 2,对称轴 x=l,(1)当 2*3时，y随 x増犬而増大X=3 日寸： ymax=6 x=2 日寸：ymjn=3 J(2)-2X2 时，当-2X1 时 9 y随増大而减小在递减，当时；y随増大而増大递增，.X2 0 寸；yiE=llX=1 时；ymi(L=2 ”4【点评】熟练掌握二次函数的图象和性质是求取最值的关键。4.二次函数 y=ax2+bx+c(1 )若 a=1, b= - 1, c= - 2,求此抛物

5、线与坐标轴的交点坐标.(2) 若 a=1, b= - 4m c=1 - 2m 当-1 xv1 时，抛物线与 x 轴有一个公共点，求 m 的取值范围.(3) 若 a=1, b= -4m, c=3,当-1 x 0; x= - 1 时，y 0;2x=1 时，y0;3x=1 时，y 0; x= - 1 时，y 0.(3 )将 a=1, b=- 4m, c=3 代入解析式，令 0; x= - 1 时，y 0，列不等式组解答即可.【解析】 将RT# b=- b e 2代入惊式得,y=x2-x- 2令尸 6 则原式可化为以-x-2=0，即(x+1) (x-2) =0解得乳=-1, x=2.则抛物纟戋与 x轴

6、交点坐标为(-b 0),令 x-0,则尸-2,则抛物线与 y轴交点坐标为 C0, -2力故抛物线与坐标轴的交点为：(-1, 0), (2, 0), (0, -2);(2 )将 a=1, b=- 4m, c=1 - 2m 代入解析式得，2y=x - 4mx+1- 2m,当-1 x0，解得m=1 _讨5.4 l+4m+l-2in05l-4m+12m.l+4m+l-2niCl3_ l-4m+l-2ni0l+4m+l-2in_, m- 1 或 m= :时当-1vx 1 时，抛物线与 x 轴有一个公共点.342(3 )将 a=1, b= - 4m c=3 代入解析式得，y=x - 4mx+3,当-1vx

7、v1 时，二次函数的值恒大于 1,(-4m) JX30,l+4m+l -加0X解得-1vmv丄或-=vmv 323【点评】此题考查了抛物线与x 轴的交点坐标及函数图象与不等式组的关系，根据题意转化为相应的不等式组是解题的关键.25.已知二次函数 y =ax bx c(a = 0)，其两根分别为 0,5，且当-1 空x乞4时，最大值为 12.(1)求函数的解析式；当t乞x 1时，求函数的最小值.【解析】因为是二次函数，两根分别为0,5,所以可设y=ax(x 5)(a0),所以当-1空x乞4时，的最大值是f( 1) = 6a.由已知得 6a= 12,所以a= 2,所以y= 2x(x 5) = 2x

8、2 10 x.2f 5 255 由(1)知y= 2x 10 x= 2x亍，其图象是开口向上的抛物线，对称轴为x=531当t+K，即tw时，y在tx玄t 1上单调递减，所以h= 2(t+ 1)2 10(t+ 1) = 2t2 6t 8;2当tI 时,y 在t乞xt 1上单调递增，所以h= 2t2 10t;5355253当tvt+ 1，即vtv2 时，y在x= 处取得最小值，所以最小值为 .232t 6t 8,t 266.已知y=ax2 2x(0wx0 时，y=ax 2x的图象的开口方向向上，且对称轴为x=-.a1 一11当 0-1时，f(x) =ax2 2x的图象的对称轴在0, 1内，所以y在|

9、0,上递减,aa当a1,即 0a 1，即可.由(1)知，当a 0,解得 k2.即卩 k2且 k 1。综上所述，k 的取值范围是 k 2。(2Tx1X2,由(1)知 kv2 且 k 工 1。由题意得(k - 1) X1+ (k+2) =2kx1(* ),3y的最大值为，最小值为-3。2【点评】抛物线与 X 轴的交点，一次函数的定义，一元二次方程根的判别式和根与系数物关系，二次函数的最值。8.如图，已知抛物线 y= -X2+2X经过原点 O,且与直线 y=x - 2 交于 B, C 两点.(1)求抛物线的顶点 A 的坐标及点 B, C 的坐标；求证：/ ABC=90 ;(3)在直线 BC 上方的抛

10、物线上是否存在点P,使厶 PBC 的面积最大？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在, 请说明理由;解得：k1= - 1, k2=2 (不合题意，舍去)O 所求k 值为-1o2如图，Tk1=-1,y=-2x +2x+1=-2(X -1)23+ ,且-22由图象知：当 x= - 1 时，y最小=-3;当x=1时，y最大=3。221 X 1,2将(*)代入(k - 1) X1+2kx2+k+2=4x1X2中得:2k (X1+X2)=4X1X2。 又Tx2k计 X2=-k -1k+2X1X2=-k 1 2k?2k=4?k+2,k -1k -1 9【答案】A(1, 1) , B(2, 0) , C(-

11、 1 , - 3) (2)见解析(3)(, )24【分析】(1)把抛物线解析式化为顶点式可求得A 点坐标，联立抛物线与直线的解析式可求得B、(2) 由 A B、C 的坐标可求得 A 扌、BC 和 AC,由勾股定理的逆定理可判定 ABC 是直角三角形；(3)过点 P 作 PG/y轴，交直线 BC 于点 G,设出 P 点坐标，则可表示出 G 点坐标，从而可表示出则可表示出 PBC 的面积，利用二次函数的性质可求得其最大值时P 点坐标【解析】(1)： y=-x2+2x=- (x-1 )2+1,抛物线顶点坐标 A (1, 1),联立抛物线与直线解析式可得.，解得或，y=x-2ly B ( 2, 0),

12、 C (-1 , -3 );(2)证明：由(1)可知 B0), C (-1, -3), A 1, 1),二 AB= (1-2) 3+V=2, BC?= (-1-2)却(.3)M8, AC?= (-1-1)2+ (-3-1)；.AC?=AB2+BC2.ABC 是直角三甬形,(3)如图，过点 P 作 PG/y轴，交直线 BC 于点 GC 的坐标;PG 的3=20,10设 P (t , -t2+2t),则 G (t , t-2 ), 点 P 在直线 BC 上方,22丨29-PG 二 t +2t-(t-2)=-t +t+2=-(t-)+,241331-SPBC=SPGB+SAPGC=PG2-(-1)= PG=-(t)2222 当 t=时，SAPBC有最大值，此时