高数二(定积分应用)

1、定积分的应用定积分的应用回顾求曲边梯形面积的步骤：回顾求曲边梯形面积的步骤：y = f (x) 0 ，在，在 a , b 上连续。上连续。(1) ：得小曲边梯形得面积：得小曲边梯形得面积 (i =1 , 2 , n)(2) ：(3) ：(4) ：iiixfA )( niiixfA1)( Ai 仅仅差差高高阶阶无无穷穷小小）与与iixfAi )( nibaiixdxfxfA10)()(lim ,badxxxA 表表示示任任一一小小区区间间用用上的小曲边梯形面积，上的小曲边梯形面积，x x+dx0 xyy = f (x)ab，则则xdxfA)( )()(dxoAdxxf 且且)0(dx上上无无限限

2、累累加加，在在把把,badA badAAA 又称为又称为，则小区间长为则小区间长为 d x ，,x取为左端点取为左端点把把 的的元元素素，为为所所求求量量称称Axdxf)(记作记作 ,，即即xdxfdA)( dA或或。.)(xdxfba dx 只要作出一小块的面积，其无限的累加只要作出一小块的面积，其无限的累加即为所求整个曲边梯形的面积。即为所求整个曲边梯形的面积。 把面积把面积 A 改为一般的所求量改为一般的所求量 I ，则有，则有,)(dxxfId baxdxfI.)(这就是这就是。现在利用元素法讨论：现在利用元素法讨论：(1) 平面图形的面积平面图形的面积(2) 旋转体的体积旋转体的体积

3、(3) 平行截面面积为已知的立体体积平行截面面积为已知的立体体积(4) 平面曲线的弧长平面曲线的弧长等几何问题等几何问题 (2) 图形由两条连续曲线图形由两条连续曲线围围成成与与bxaxxgyxfy ,)(),()()()(xgxfa )(xf)(xgab,badxxx 取取xdxgxfAd)()( baxdxgxfA)()(0yx. x baxdxf)( baxdxg)(相相交交与与)()()(xgxfb)(xf)(xgcd cadcxdxgxfxdxfxgA)()()()(则则 bdxdxfxg)()( baxdxgxfA)()(即即xyab0与与图形由连续曲线图形由连续曲线)(),()3

4、(yxyx 围成围成dycy ,cd)(y y ，取取,dcdyyy ，小矩形的底长小矩形的底长yd，高高为为)()(yy ydyyAd)()( 此时取此时取 y 为积分变量为积分变量 dcydyyA)()( 0yxy . dcydyyA)()( 一一般般： 1 2 3求平面图形面积的求平面图形面积的:作图，求出交点作图，求出交点选择积分变量，写出面积元素选择积分变量，写出面积元素作定积分，并计算作定积分，并计算所围图形的面积。所围图形的面积。与与求由求由2, yeyeyxx212ln2ln xexe (1) 选选 x 为积分变量为积分变量求交点求交点 2yeyx 2yeyx)2 , 2(ln

5、)2 , 2ln( 02ln)2(dxeAx22ln4 (2) 选选 y 为积分变量为积分变量)2, 0(),1, 0(交交点点：，yxeyxln 21 )ln(lndyyyA例：例：0yxdxex 2ln0)2(yxeyxln . 22ln4 围成的面积围成的面积与与 求曲线求曲线 4 4 xyxy 20y x444解方程组：解方程组： xyxy得交点：得交点：(8, 4), (2,2) d) (yyyS 18 切切线线所所围围成成图图形形的的面面积积 和和点点( (3 3, ,0 0) )处处的的 与与其其在在点点 求求抛抛物物线线)(0, xxy。xyo3 3 xy 由由得两切线的斜率为

6、得两切线的斜率为 , k故两切线为故两切线为 , : xyl其交点的横坐标为其交点的横坐标为 x d)(xxxx 。 k xyl : d)34(342230 xxxxS =l1l2 连续。连续。给出，给出，)(),()()()(tttyttx 若曲边由参数方程：若曲边由参数方程：xdyAba 则则)()()()(tdt ，相相应应b )( ，a )( tdtt)()( 例：例：所所围围求求由由曲曲线线)20(sincos33 ayax图形的面积。图形的面积。0yx( ) 3203cossinadaA ?= 0由图形的对称性，由图形的对称性，,41AA 1A axdyA01 3sina da)s

7、in(cos32 2 0 da42202sincos3 da)sin(sin364202 ,323)651(22143322aa .832aA 由一平面图形绕这平面内的一条由一平面图形绕这平面内的一条直线旋转一周而成的立体，此直线直线旋转一周而成的立体，此直线 称为对称轴。称为对称轴。如：如： 圆柱、圆柱、圆锥、圆锥、圆台、圆台、圆球、圆球、 xf(x)ab 曲边梯形：曲边梯形： y=f(x)，x=a,x=b,y=0 绕绕 x轴旋转轴旋转xf(x)abx111111111 )(xA)( 2xf baxxf)d( 曲边梯形：曲边梯形： y=f(x)，x=a,x=b,y=0 绕绕 x 轴旋转轴旋转

8、 V =x=g(y)yx0cd曲边梯形：曲边梯形：x=g(y)，x=0, y=c, y=d 绕绕 y轴轴x=g(y)yx0cd曲边梯形：曲边梯形：x=g(y)，x=0, y=c, y=d 绕绕 y轴轴 x=g(y)yx0cd dcyyAVd)( )(yAy dcyygVd)(.)( 2yg 曲边梯形：曲边梯形：x=g(y)，x=0, y=c, y=d 绕绕 y轴轴xdxfxVba)(2 一般一般,所所围围与与bxaxxfyxfy ,)(),(21平面图形绕平面图形绕 x 轴旋转而成的立体体积为：轴旋转而成的立体体积为：.)()(2122xdxfxfVba 所所围围与与dycyygxygx ,)

9、(, )(21平面图形绕平面图形绕 y 轴旋转而成的立体体积为：轴旋转而成的立体体积为：.)()(2122ydygygVdc (上上)(下下)(右右)(左左)平平面面图图形形所所围围与与bxaxxfy ,)(绕绕 y 轴旋转而成的立体体积为：轴旋转而成的立体体积为：例：例：所所围围图图形形与与求求)0(3 xxyxy绕绕 x 轴与轴与 y 轴旋转所得立体的体积。轴旋转所得立体的体积。xy0y = x3y = x交点：交点： (0, 0), (1, 1)11(1) 绕绕 x 轴：轴：xdxxV)()( 23102 xdxx6102 .21473 (2) 绕绕 y 轴：轴：ydyyV)()( 21

10、023 10335)3153(yy .154 例例 求由抛物线求由抛物线 直线直线 所围图形所围图形分别绕分别绕X、Y轴旋转而成的旋转体体积轴旋转而成的旋转体体积12 xy0, 0, 2 xyy52解：解： 20dVVy 202dyx x 2022)1(dyy 2035325 yyy 15206 1VVx圆圆柱柱体体dxy512252y51) 1(20dxx 8 例例 求求 所围图形绕直线所围图形绕直线 旋转一周的体积旋转一周的体积2, 0,2 xyxy1 y 解解：12圆柱体圆柱体 1VVdxydV21)1( dxx22)1( y 20202211)1(dxxdVV 圆柱体体积圆柱体体积 2

11、 （救生圈形）（救生圈形）旋转一周的体积旋转一周的体积绕绕求圆域求圆域)0(222 abbxayx例例ab xb 解：解：21VVV aadybxV21)( x0 aadybya222 aadyxbV22)( xb x aadyyab222)( 21VVV aadyyab224 adyyab0228 2022cos8 tdtab222ab 例例 设曲线设曲线 (1) 过原点作该曲线的切线过原点作该曲线的切线; (2) 求由曲线、切线及求由曲线、切线及x轴所围的平面图形的面积轴所围的平面图形的面积A(3) 求该平面图形绕求该平面图形绕x轴旋转而成的旋转体体积轴旋转而成的旋转体体积. xyln )

12、,(00yx解解：设设切切点点xxyxy01,1 切切线线为为 （切点在曲线上）（切点在曲线上）（切点在切线上）（切点在切线上）00000ln1xyxxyexx 001ln)1 ,(e切点切点12)()ln(10110edyeyedxxexdxexAye或 312)(ln0122edxxdxexVeex 100 xabf (x)yx0 曲边梯形曲边梯形 y= f (x) ， 绕绕 y 轴轴xdxxabyx0)(2xxfdx 曲边梯形曲边梯形 y= f (x) ， 绕绕 y 轴轴dV=2 x f (x)dxf (x)byxa 曲边梯形曲边梯形 y= f (x) ， 绕绕 y 轴轴dV=2 x f

13、 (x)dxf (x)byx0a 曲边梯形曲边梯形 y= f (x) ，x=a,x=b,y=0 绕绕 y 轴轴dV=2 x f (x)dxf (x)00 xbxadx 曲边梯形曲边梯形 y= f (x) ， 绕绕 y 轴轴dV=2 x f (x)dxf (x)Yx0bdx0yz. baxxxfVd)(a曲边梯形曲边梯形 y= f (x) ， 绕绕 y 轴轴 dV=2 x f (x)dx例例旋旋转转而而成成的的旋旋转转体体体体积积直直线线轴轴围围成成的的平平面面图图形形绕绕和和求求第第一一象象限限内内由由曲曲线线13 yyyyx1xydyxydV)1(2 解：解： 10dVV 103)1(2dy

14、yyy 105325322 yyy 30225131212 xA(x)dV=A(x)dxx baxxAVd)(aVb同理同理: :若立体由曲面及若立体由曲面及垂直于垂直于y 轴的两个平轴的两个平面面y y = c , y =d 所围，且垂直于所围，且垂直于 y 轴的任一轴的任一截面为一已知的连续函数截面为一已知的连续函数 A(y)，,dcy 则立体的体积：则立体的体积：.)( dcydyAVydyAVd)( oyRxRR半径为半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成 角的角的平面所截，平面所截，得一圆柱楔。求其体积。得一圆柱楔。求其体积。oyRxxy22

15、xR RRxxRd)tan( tan R RRxxAVd)(RR )tan( xRy tan (x, y),截面积截面积A(x)半径为半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成 角的角的平面所截，平面所截，得一圆柱楔。求其体积。得一圆柱楔。求其体积。oyRxRR 半径为半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成 角的角的平面所截，平面所截，得一圆柱楔。求其体积。得一圆柱楔。求其体积。oyRxRR ABCD BC tan yRyDC222yR RyyRy022d tan2 tan R RyySV)d(截面积截面积S(y)

16、 (x, y)= 2x= ytan S(y)半径为半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成 角的角的平面所截，平面所截，得一圆柱楔。求其体积。得一圆柱楔。求其体积。 hRxoyR 求以半径为求以半径为R的圆为底，平行且等于底圆直径的线段为顶，的圆为底，平行且等于底圆直径的线段为顶， 高为高为h的正劈锥体的体积。的正劈锥体的体积。 hRxoxA(x)A(x)yh xRhV = RRxxAd )( RRxxRhd hRdcos22022 hR Ry 求以半径为求以半径为R的圆为底，平行且等于底圆直径的线段为顶，的圆为底，平行且等于底圆直径的线段为顶， 高为高

17、为h的正劈锥体的体积。的正劈锥体的体积。y设设 y = f (x) 在在 (a, b) 内有连续导数，内有连续导数，在曲线上取基点在曲线上取基点 M0(x0,y0),M(x, y) 为曲线上任一点，为曲线上任一点，xy0M0 .x0M .x记记 弧长弧长 l = M0M依依 x 增大的方向作增大的方向作为曲线的正向。为曲线的正向。(即即 M 在在 M0 右，右，l 0) l随随 x 的增大而增大的增大而增大, l= l(x) 是是 x 的的单调增加函数。单调增加函数。abxy0M0 .x0M .xxx s Mx y y = f (x)，由由xdysd21 222)(1)(xdxdydsd .)

18、()(22ydxd dysdP弧微分弧微分 d s 表示了表示了M点处切线段点处切线段MP 的长度。的长度。 当切线正向与曲线方向一致，且与当切线正向与曲线方向一致，且与 x 轴夹角为轴夹角为 ，则有则有,cos sdxd .sin sdyd ，.12xdydl 表示，表示，)()()( ttytx连连续续并并不不全全为为零零时时，且且)(),(tt .)()(22tdttld )()( 连续时，连续时，表示，且表示，且)( .)()(22 dld , ,设曲线的表达式为设曲线的表达式为 y = f (x) , 计算曲线计算曲线AB上相应于上相应于x 从从 a 到到 b 的一段弧长的一段弧长S

19、。xdyld21 即为即为.12xdyba a. ABdll表表示示，设设曲曲线线由由参参数数方方程程)()()( ttytx，连连续续，且且曲曲线线上上无无重重点点)(),(tt ,)()(2222tdttdydxsd 则则.)()(22tdtts 连连续续，且且，设设曲曲线线)()()( rrr .)()(22 drrs 例例.0)cos(sin),sin(cos的的一一段段弧弧到到相相应应于于计计算算圆圆的的渐渐开开线线 ttttaytttax解：解：,sin)(,cos)(tattytattx 曲线的表达式是参数形式曲线的表达式是参数形式,2222tayx atdtdl 0dll 022aatdt例例的周长的周长椭圆椭圆的弧长等于的弧长等于求证：曲线求证：曲线22)20(sin22 yxxxy 解：解：dxxdlxyxy2cos1,cos,sin 曲线曲线dtttdltytx22cossin2,sincos2 椭椭圆圆dtt2sin1 曲线长曲线长 2022cos1cos1dxxdxxl