损伤与断裂力学第五章(矿大)高峰

1、第5章 弹塑性断裂力学 的基本概念5-1 Irwin对裂端塑性区的估计 线弹性力学的分析指出裂纹尖端区的应力场随线弹性力学的分析指出裂纹尖端区的应力场随r r-1/2-1/2而变化。而变化。当当r-0r-0时，即趋近于裂纹端点，应力无限大。事实上，不论强度时，即趋近于裂纹端点，应力无限大。事实上，不论强度多么高的材料，多么高的材料，无限大的应力是不可能存在的无限大的应力是不可能存在的。尤其是断裂力学。尤其是断裂力学主要应用于金属材料，金属材料总有一定的塑性，塑性流动的发主要应用于金属材料，金属材料总有一定的塑性，塑性流动的发生使这种无限大应力的结果并不符实。当含裂纹的弹塑性体受到生使这种无限大

2、应力的结果并不符实。当含裂纹的弹塑性体受到外载荷作用时，外载荷作用时，裂纹端点附近有个塑性区裂纹端点附近有个塑性区(plastic zone)，塑性区，塑性区内的应力是有界的内的应力是有界的，其大小与外载荷、裂纹长短和材料的屈服强，其大小与外载荷、裂纹长短和材料的屈服强度有关。度有关。 裂端塑性区 对非常脆性的材料，塑性区很小，与裂纹长度和零对非常脆性的材料，塑性区很小，与裂纹长度和零构件尺寸相比可忽略不计。此时，线弹性断裂力学的构件尺寸相比可忽略不计。此时，线弹性断裂力学的理论和应力强度因子的概念完全适用。当塑性区尺寸理论和应力强度因子的概念完全适用。当塑性区尺寸不合忽略时，则必须给一定的修

3、正，不合忽略时，则必须给一定的修正，才能应用线弹性才能应用线弹性断裂力学结果断裂力学结果。 裂端塑性区 若是塑性区已大到超过裂纹长度或构件的尺寸，若是塑性区已大到超过裂纹长度或构件的尺寸，则此时线弹性力学的理论已不再适用，亦即用应力强则此时线弹性力学的理论已不再适用，亦即用应力强度因子来衡量裂端应力场的强度这个观念已不可靠，度因子来衡量裂端应力场的强度这个观念已不可靠，必须用弹塑性力学的计算和寻找表征裂端应力应变场必须用弹塑性力学的计算和寻找表征裂端应力应变场强度的新力学参量。这属于塑性断裂力学的内容。强度的新力学参量。这属于塑性断裂力学的内容。 现在的问题是：如何估算裂端塑性区的形状、大小？

4、现在的问题是：如何估算裂端塑性区的形状、大小？裂端塑性区尺寸的初步估计 Irwin首先对裂纹尖端塑首先对裂纹尖端塑性区的尺寸给予初步的估性区的尺寸给予初步的估计。假设裂纹是计。假设裂纹是I型，裂型，裂端前端前r等于等于r*p处处y方向的拉方向的拉伸应力刚好达到屈服应力伸应力刚好达到屈服应力ys,则则r*p就是塑性区的尺就是塑性区的尺寸。用公式表示如下寸。用公式表示如下: 所以塑性区尺寸为：所以塑性区尺寸为：ysprryrKp*02*22*2yspKrI型裂纹的应力场 由弹性力学（椭圆孔口问题）的解析解，得裂端的应力场恒为由弹性力学（椭圆孔口问题）的解析解，得裂端的应力场恒为 高次项高次项 在裂

5、端区，即在裂端区，即r r足够小的情形下，式中足够小的情形下，式中r r的高次项比首项小得的高次项比首项小得多，因而可以忽略多，因而可以忽略 。 所以裂纹前沿任一点的所以裂纹前沿任一点的x =y=23cos2cos2sin223sin2sin12cos223sin2sin12cos2rKrKrKIxyIyIx裂端塑性区尺寸平面应力时：平面应力时：平面应变时：平面应变时： 按按上上式估计的塑性区尺寸被认为过于偏小。因为平面应变时，塑式估计的塑性区尺寸被认为过于偏小。因为平面应变时，塑性内的应力分布并不是恒为性内的应力分布并不是恒为ysys，而是呈峰形分布，而是呈峰形分布 。 Irwin建议取平面

6、应变时裂端塑性区尺寸建议取平面应变时裂端塑性区尺寸为：为：22*2spKr22*2)21 (spKr22*6spKr裂纹有效长度 第二步估计可以假设裂纹的有第二步估计可以假设裂纹的有效长度为效长度为aeff，而，而aeff=a+，这，这里里大于零。用此大于零。用此aeff来计算应来计算应力强度因子力强度因子Keff和应力场。如和应力场。如图所示，仍是图所示，仍是I型裂纹，当有型裂纹，当有效裂纹端点前效裂纹端点前处的处的y等于等于ys时，则时，则: 得：得：yseffK2222yseffKIrwin塑性区的再度估计 当当a时，即塑性区尺寸远比裂时，即塑性区尺寸远比裂纹长度小纹长度小(此时叫小范围

7、屈服此时叫小范围屈服) ，Keff趋近于趋近于K值，上式成为：值，上式成为： 要估计要估计的大小，可假设图中阴影的大小，可假设图中阴影线部分的面积线部分的面积A A等于面积等于面积B B。换句换句话说，高于屈服应力的话说，高于屈服应力的A A部分已被部分已被B B部分的塑性变形所松弛。部分的塑性变形所松弛。 *222pyseffrKIrwin塑性区的再度估计 因此：因此： 推导得：推导得： 换句话说，换句话说，Irwin第二步估计所得第二步估计所得的塑性区尺寸比初步估计的大一倍。的塑性区尺寸比初步估计的大一倍。要知道要知道Irwin对塑性区的估计建立对塑性区的估计建立在小范围屈服在小范围屈服(

8、small scale yielding)的基础上，的基础上，如果某含裂纹的构件，如果某含裂纹的构件，其塑性区的尺寸已不是小范围屈服，其塑性区的尺寸已不是小范围屈服，则不但则不但Irwin的不适用，线弹性断的不适用，线弹性断裂力学的分析也不适合。裂力学的分析也不适合。ysysdrrK02*22*2pysprKr5-2 Dugdale模型 Dugdale发现薄壁容器或管道有穿透壁厚的裂纹时，其裂端的塑发现薄壁容器或管道有穿透壁厚的裂纹时，其裂端的塑性区是狭长块状，如图。由此他仿照性区是狭长块状，如图。由此他仿照Irwin有效裂纹长度的概念，有效裂纹长度的概念，认为裂纹的有效半长度是认为裂纹的有效

9、半长度是a+a+。这里。这里是塑性区尺寸。由于在是塑性区尺寸。由于在a a到到a+a+间的有效裂纹表面受到屈服应力引起的压缩，所以这一段没间的有效裂纹表面受到屈服应力引起的压缩，所以这一段没有开裂。因此他假设：塑性区尺寸有开裂。因此他假设：塑性区尺寸的大小，刚好使有效裂纹端的大小，刚好使有效裂纹端点消失了应力奇异性。点消失了应力奇异性。Dugdale模型对于无限大平板对于无限大平板I型中心裂纹，设此裂纹受到无穷远处均匀拉伸应力型中心裂纹，设此裂纹受到无穷远处均匀拉伸应力作用，此时有效应力强度因子为：作用，此时有效应力强度因子为：利用叠加原理，在裂纹两边都受到离中心为利用叠加原理，在裂纹两边都受

10、到离中心为x处的一对集中压力处的一对集中压力(-ysdx)作用下，右裂端的应力强度因子为作用下，右裂端的应力强度因子为:)(aK)()()()()()()(axaxaxaxaxaadxdKysDugdale模型 上式中括号内的第一项来自上式中括号内的第一项来自y y轴右边的集中力，第二项来自左边的轴右边的集中力，第二项来自左边的集中力。对上式从集中力。对上式从a a积分到积分到a+a+，则可得作用在塑性区上的应力，则可得作用在塑性区上的应力强度因子强度因子K K： Dugdale模型假设在有效裂纹裂端的应力奇异性消失，即有：模型假设在有效裂纹裂端的应力奇异性消失，即有： 整理得确定塑性区尺寸的

11、条件为整理得确定塑性区尺寸的条件为 ： aaaKys1cos20KKysaa2cos大范围屈服时塑性区尺寸由此式直接解出Dugdale模型 以以Griffith裂纹为例，在小范围屈服时：裂纹为例，在小范围屈服时： 与与Irwin第二步估计比较，上式给出的塑性区尺寸要比第二步估计比较，上式给出的塑性区尺寸要比Irwin估计估计稍大。稍大。 Dugdale模型比较简单，有时还可得到解析表达式，因此作为大范模型比较简单，有时还可得到解析表达式，因此作为大范围屈服的塑性区初步估计在工程上还是可行的。围屈服的塑性区初步估计在工程上还是可行的。 但是但是Irwin模型和模型和 Dugdale模型都只给出了

12、裂纹前沿塑性区尺寸，模型都只给出了裂纹前沿塑性区尺寸，没有给出塑性区形状，这在下一节讨论。没有给出塑性区形状，这在下一节讨论。222288sysKa习 题1 若把若把Dugdale模型扩充到模型扩充到III型裂纹，试求图中确定型裂纹，试求图中确定塑性区尺寸的方程。设已知图示的裂纹的应力强度塑性区尺寸的方程。设已知图示的裂纹的应力强度因子为：因子为：aPK25-3 裂端塑性区形状 Dugdale模型是基于狭长块的裂端塑性区而得以建立的，模型是基于狭长块的裂端塑性区而得以建立的，是简化的模型，没有考虑应力的空间状态。对适用于是简化的模型，没有考虑应力的空间状态。对适用于线弹性力学的高强度材料，比较

13、正确的形状可由线弹性力学的高强度材料，比较正确的形状可由Von Misses屈服准则和屈服准则和Tresca屈服准则得到。屈服准则得到。 裂端塑性区形状现在以现在以I型裂纹为例，裂端的主应力为：型裂纹为例，裂端的主应力为：在在 范围内，范围内，I I型裂纹的主应力为：型裂纹的主应力为： 平面应力：平面应力：平面应变：平面应变：假设问题满足平面应力条件，由假设问题满足平面应力条件，由Misses屈服准则屈服准则：222122xyyxyx0)2sin1 (2cos221rK)(021322132322212)()()(s裂端塑性区形状 于是得于是得裂端到塑性区周界的距离裂端到塑性区周界的距离r r

14、p p是是的函数，其形式为的函数，其形式为 ： 在平面应变时：在平面应变时：222sin23cos14)(spKr2222sin23)cos1 ()21 (4)(spKr裂端塑性区形状 I型裂纹塑性区形状（型裂纹塑性区形状（a）Von Mises 和和(b)Tresca屈服准则屈服准则问题在哪里？问题在哪里？习 题试用试用Tresca屈服准则给出屈服准则给出I型裂纹的裂端塑性区形状公型裂纹的裂端塑性区形状公式。式。试用试用Mises屈服准则作出屈服准则作出II型裂纹的塑性区形状。型裂纹的塑性区形状。5-4 平面应力和平面应变的塑性区 除了很薄的平板，大多数的线弹性平板都处于平除了很薄的平板，大

15、多数的线弹性平板都处于平面应力与平面应变之间的状态。因此，含有贯穿板厚面应力与平面应变之间的状态。因此，含有贯穿板厚裂纹的平板，其裂端塑性区的状态将从表面的平面应裂纹的平板，其裂端塑性区的状态将从表面的平面应力塑性区过渡到内部的平面应变塑性区，其形状将如力塑性区过渡到内部的平面应变塑性区，其形状将如图图(57)所示，呈哑铃形。塑性区的尺寸在表面较大所示，呈哑铃形。塑性区的尺寸在表面较大（因为是平面应力状态），往内部则渐渐减小到平面（因为是平面应力状态），往内部则渐渐减小到平面应变塑性区的尺寸。应变塑性区的尺寸。 图图5-7 平面应变过渡到平面应力的塑性区平面应变过渡到平面应力的塑性区 在实际中

16、，平面应变的断裂其断口较平整，即失稳断在实际中，平面应变的断裂其断口较平整，即失稳断裂面仍在原来的裂纹平面上；而平面应力的断裂面则与原裂面仍在原来的裂纹平面上；而平面应力的断裂面则与原来的断裂平面成来的断裂平面成45角。角。D D表征了塑性区的大小表征了塑性区的大小。 根据根据剪切唇剪切唇的高度的高度D D，可近似地可近似地估计破断时应力强估计破断时应力强度因子和应力水平。估计公式如下：度因子和应力水平。估计公式如下： 剪切唇的存在可用最大剪切应力理论来解释，即剪切唇的存在可用最大剪切应力理论来解释，即断裂面是在最大剪切应力的平面上。断裂面是在最大剪切应力的平面上。 2)(21spKrD平面应

17、力状态平面应力状态5-5 裂纹尖端张开位移CTOD 裂纹张开位移是指一个理想裂纹受载荷时，其裂纹表面间的距离。裂纹张开位移是指一个理想裂纹受载荷时，其裂纹表面间的距离。裂纹张开位移简写为裂纹张开位移简写为COD (crack opening displacement)。对对I型裂纹来说型裂纹来说:当当 时，即在裂纹面时：时，即在裂纹面时：2sin2cos2) 1(2222/1rKvI212rKvCOD裂纹尖端张开位移CTOD习惯上称在裂端的习惯上称在裂端的COD为为CTOD(crack tip opening displacement) 线弹性时线弹性时CTOD=0。（。（实际上是一个点，当然

18、没有位移实际上是一个点，当然没有位移。）。）若用若用Irwin塑性区修正，真正裂纹长度被有效裂纹长度所取代，塑性区修正，真正裂纹长度被有效裂纹长度所取代，以以Keff代替代替K，以，以rp*代替代替r，则真正裂纹端点的，则真正裂纹端点的CTOD为为:因为：因为：小范围屈服时：小范围屈服时：Dugdale法：法：21*peffrKCTOD1181EysEKCTOD124)2lnsec(8ysysEaCTODCTOD与G的关系Irwin法：法：Dugdale法：法：ysysGGCTOD4 CTOD CTOD是英国人是英国人WeIIsWeIIs首先提出的。因为实验发现中低强首先提出的。因为实验发现中

19、低强度、高韧性钢的平板若带有穿透板厚的裂纹，在失稳断裂前，度、高韧性钢的平板若带有穿透板厚的裂纹，在失稳断裂前，裂端有相当大的塑性区，裂纹张开位移也相当大裂端有相当大的塑性区，裂纹张开位移也相当大( (肉眼可看肉眼可看出出) )。裂端由不加载时的尖锐形状变成加载时的钝化形状，。裂端由不加载时的尖锐形状变成加载时的钝化形状，因此，因此，CTODCTOD是个宏观的、力学的表征参量，在工程中得到应是个宏观的、力学的表征参量，在工程中得到应用，用于简单判断裂纹是否将发生扩展。用，用于简单判断裂纹是否将发生扩展。启裂判据 考虑到在裂纹启裂或进一步引起失稳断裂之前，有考虑到在裂纹启裂或进一步引起失稳断裂之

20、前，有CTOD随加载增大而增加的现象，因此，工程上采用随加载增大而增加的现象，因此，工程上采用CTOD的启裂判据或断裂判据如下的启裂判据或断裂判据如下 CTOD CTOD某临界值某临界值 CTOD断裂判据使用的局限性 一个是一个是CTOD临界值在什么条件下测试，才能显临界值在什么条件下测试，才能显示出是材料常数示出是材料常数? 另一个问题是构件的另一个问题是构件的CTOD如何求得，与试件的如何求得，与试件的CTOD是不是代表同一个力学参量是不是代表同一个力学参量? 对于小范围屈服，第二个问题可以用前面方法解决。但问题对于小范围屈服，第二个问题可以用前面方法解决。但问题是，工程结构绝大多数是中低

21、强度、高韧性材料，在启裂前已有是，工程结构绝大多数是中低强度、高韧性材料，在启裂前已有相当大的裂端塑性区，而不再是属于小范围的屈服情形。然而，相当大的裂端塑性区，而不再是属于小范围的屈服情形。然而，计算大范围屈服时的计算大范围屈服时的CTOD通常是很不容易的。因此，工程上常通常是很不容易的。因此，工程上常用的用的CTOD表达试通常是经过实验检验过的半理论半经验的表达表达试通常是经过实验检验过的半理论半经验的表达式。式。 尺寸效应问题尺寸效应问题5-5 J积分简介 要想得到裂纹端点区的要想得到裂纹端点区的弹塑性应力场弹塑性应力场的封闭解是相当困难的。的封闭解是相当困难的。Rice避开了直接求解裂

22、端塑性应力场的困难，而提出综合度量裂避开了直接求解裂端塑性应力场的困难，而提出综合度量裂端应力应变场强度的端应力应变场强度的J J积分概念，是对断裂力学的重大贡献。积分概念，是对断裂力学的重大贡献。J J积积分定义如下：分定义如下： ciidsxuTdyWJ1 这里这里C C是由裂纹下表面某点到裂是由裂纹下表面某点到裂纹上表面某点的简单的积分线路。纹上表面某点的简单的积分线路。W W1 1是弹性应变能密度，是弹性应变能密度，T Ti i和和u ui i分别为线分别为线路上作用于路上作用于dsds积分单元上积分单元上i i方向的面方向的面力分量和位移分量。力分量和位移分量。 J积分 可以证明可以

23、证明J J积分与积分线路的选取无关。积分与积分线路的选取无关。因此，因此，可选取应力应变场较易求解的线路来得到可选取应力应变场较易求解的线路来得到J J积分值，积分值，而此值与线路非常靠近裂端的结果是相同的。换句话而此值与线路非常靠近裂端的结果是相同的。换句话说，裂端应力应变场的综合强度可用说，裂端应力应变场的综合强度可用J J积分值来表示。积分值来表示。 可以证明，在小范围屈服时，可以证明，在小范围屈服时，J=G，CTOD和和J积分积分的关系为：的关系为： 这里这里ys是裂端前的屈服应力。所以，延性断裂判据自然而是裂端前的屈服应力。所以，延性断裂判据自然而然地就可以建立在然地就可以建立在J积

24、分理论基础上。积分理论基础上。ysJCTODJ积分启裂判据 严格地说，严格地说，J J积分的线路无关性是建立在裂纹尾迹不发生卸积分的线路无关性是建立在裂纹尾迹不发生卸载的情形下。然而，延性断裂通常有启裂、稳定扩展和失稳扩展载的情形下。然而，延性断裂通常有启裂、稳定扩展和失稳扩展三个阶段，而三个阶段，而裂纹扩展时裂纹尾迹免不了要发生局部卸载裂纹扩展时裂纹尾迹免不了要发生局部卸载，因此，因此， J J积分判据用作启裂判据是完全正确的，但用来预测失稳扩展则积分判据用作启裂判据是完全正确的，但用来预测失稳扩展则尚须加一些限制尚须加一些限制（这涉及到应力释放、（这涉及到应力释放、R R阻力增大等难题）。阻力增大等难题）。 对对I型裂纹，型裂纹，J积分的启裂判据为积分的启裂判据为: 这里这里J JICIC是是I型裂纹在启裂时平面应变断裂韧度型裂纹在启裂时平面应变断裂韧度 。ICJJ 小 结 构件上裂端塑性区形状因材料性质和构件几何形构件上裂端塑性区形状因材料性质和构件几何形状而异。通常观察