空间向量及其加减与数乘运算分享资料

1、2021/3/2912021/3/292复习回顾：平面向量1、定义： 既有大小又有方向的量。几何表示法:用有向线段表示字母表示法：用小写字母表示，或者用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示。相等向量：长度相等且方向相同的向量ABCD2021/3/2932、平面向量的加法、减法与数乘运算向量加法的三角形法则ab向量加法的平行四边形法则ba向量减法的三角形法则aba ba ba (k0)ka (k0)ka (k0)k空间向量的数乘空间向量的加减法2021/3/2912ababO OABb结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用结论：空间任意两个向量都是共面向量，所以它们可用同一平面内的两

2、条有向线段表示。同一平面内的两条有向线段表示。因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。关结论仍适用于它们。思考：它们确定的平面是否唯一？思考：它们确定的平面是否唯一？思考：空间任意两个向量是否可能异面？思考：空间任意两个向量是否可能异面？2021/3/2913平面向量概念加法减法数乘运算运算律定义 表示法 相等向量减法:三角形法则加法:三角形法则或平行四边形法则空间向量及其加减与数乘运算空间向量具有大小和方向的量数乘:ka,k为正数,负数,零bkakbak )()()(cbacbaabba加法交换律加法结合律数乘分配律

3、abba加法交换律bkakbak )(数乘分配律加法:三角形法则或平行四边形法则减法:三角形法则数乘:ka,k为正数,负数,零加法结合律成立吗？2021/3/2914ab bc cOBCab+ +abcOBCbc+( (平面向量平面向量) )向量加法结合律在空间中仍成立吗向量加法结合律在空间中仍成立吗? ?ab+ +c+()ab+c+()AA( ( a + + b )+ )+ c = = a +( +( b + + c ) )2021/3/2915abcO OA AB BC Cab+abcO OA AB BC Cbc+( (空间向量空间向量) )ab+c+()ab+c+()( ( a + +

4、b )+ )+ c = = a +( +( b + + c ) )向量加法结合律：向量加法结合律：空间中空间中2021/3/2916推广:（1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量；nnnAAAAAAAAAA11433221（2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量。01433221AAAAAAAAn2021/3/2917平面向量概念加法减法数乘运算运算律定义 表示法 相等向量减法:三角形法则加法:三角形法则或平行四边形法则空间向量具有大小和方向的量数乘:ka,k为正数,负数,零bkakbak )()()(cbacbaabba加法交换律加法结

5、合律数乘分配律小结abba加法交换律bkakbak )(数乘分配律)()(cbacba加法结合律类比思想 数形结合思想数乘:ka,k为正数,负数,零2021/3/2918数乘空间向量的运算法则数乘空间向量的运算法则例如例如: :a3a3a定义定义: : 我们知道平面向量还有数乘运算我们知道平面向量还有数乘运算. . 类似地类似地, ,同样可以定义空间向量的数乘运算同样可以定义空间向量的数乘运算, ,其运算律是否也与平面向量完全相同呢其运算律是否也与平面向量完全相同呢? ?2021/3/2919 显然显然, ,空间向量的数乘运算满足分空间向量的数乘运算满足分配律及结合律配律及结合律()() ()

6、a babaaaaa 即： （）其中 、 是实数。2021/3/2920acb2021/3/2921例1：已知平行六面体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量。(如图)A AB BC CD DA A1 1B B1 1C C1 1D D1 111121)4()(31)3()2()1 (CCADABAAADABAAADABBCAB2021/3/2922A AB BC CD DA AB BC CD DA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1A AB BC CD Da平行六面体：平行四边形ABCDABCD平移向量 到A A1

7、 1B B1 1C C1 1D D1 1的轨迹所形成的几何体.a记做ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 12021/3/2923例1：已知平行六面体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量。(如图)A AB BC CD DA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1G G11121)4()(31)3()2()1 (CCADABAAADABAAADABBCAB;)1 (ACBCAB解：1111)2(ACCCACAAACAAADABM M 始点相同的三个不共面向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面

8、体的以公共始点为始点的对角线所示向量2021/3/2924F1F2F1=10NF2=15NF3=15NF32021/3/2925例2：已知平行六面体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，求满足下列各式的x的值。A AB BC CD DA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1111111 )3(2 )2(ACxADABACACxBDADACxCCDAAB1111 ) 1 (2021/3/2926例2：已知平行六面体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，求满足下列各式的x的值。A AB BC CD DA A1 1B B1 1C C

9、1 1D D1 1CCDAAB1111 ) 1 (解. 1 1111xACCCCBAB111111 )3(2 )2(ACxADABACACxBDADACxCCDAAB1111 ) 1 (2021/3/2927例2：已知平行六面体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，求满足下列各式的x的值。A AB BC CD DA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1112 )2(BDAD 111BDADAD)(111BDBCAD111CDAD 1AC1112 )2(ACxBDAD. 1x111 )3(ACxADABAC2021/3/2928例2：已知平行六面体ABCD-

10、AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1，求满足下列各式的x的值。A AB BC CD DA A1 1B B1 1C C1 1D D1 111 ) 3 (ADABAC)()()(11ADAAABAAABAD)( 21AAABAD12AC111 )3(ACxADABAC. 2x2021/3/2929A AB BM MC CG GD D)(21 )2()(21 ) 1 (ACABAGBDBCAB练习1在空间四边形在空间四边形ABCDABCD中中, ,点点M M、G G分别是分别是BCBC、CDCD边的中点边的中点, ,化简化简2021/3/2930A AB BM MC CG GD

11、D)(21 )2()(21 ) 1 (ACABAGBDBCABAGMGBMAB原式) 1 ()(21 ACABMGBMAB(2)原式)(21 ACABMGBMMGMBMGBM 练习1在空间四边形在空间四边形ABCDABCD中中, ,点点M M、G G分别是分别是BCBC、CDCD边的中点边的中点, ,化简化简2021/3/2931A AB BC CD DD DC CB BA A) ( ) 1 (CCBCABxACADyABxAAAE ) 2 (练习2在立方体在立方体ACAC1 1中中, ,点点E E是面是面ACAC 的中心的中心, ,求下列各式中的求下列各式中的x,y.x,y.E E2021/3/2932A AB BC CD DD DC CB BA A) ( ) 1 (CCBCABxACADyABxAAAE ) 2 (练习2E E在立方体在立方体ACAC1 1中中, ,点点E E是面是面ACAC 的中心的中心, ,求下列各式中的求下列各式中的x,y.x,y.2021/3/2933A AB BC CD DD DC CB