质点运动的坐标系实用教案

1、会计学1质点质点(zhdin)运动的坐标系运动的坐标系第一页，共28页。任何一个方向的速度和加速度都只与该方向的位置矢量的分量有关任何一个方向的速度和加速度都只与该方向的位置矢量的分量有关, , 而与其它而与其它(qt)(qt)方向的分量无关。方向的分量无关。 加速度的表达式加速度的表达式222xyzaaaaa加速度大小加速度大小2第1页/共28页第二页，共28页。3 质点任意(rny)运动都可以看作是三个坐标轴方向上各自独立进行的直线运动所合成的。 质点的任意运动质点的任意运动(yndng)都可以分解为在三都可以分解为在三个坐标轴方向上各自独立进行的直线运动个坐标轴方向上各自独立进行的直线运

2、动(yndng)。运动叠加原理在直角坐标运动叠加原理在直角坐标(zh jio zu bio)系中的表现。系中的表现。第2页/共28页第三页，共28页。00()xxxvva tt0 xxxvva t20012xxxxv ta t22002()xxxvvaxx002xxvvxxt 如果质点在某个方向(fngxing)(如x方向(fngxing)上的加速度不随时间变化, 该方向(fngxing)上分运动为匀变速直线运动, 在x方向(fngxing)的速度变化可根据速度公式求得: 4第3页/共28页第四页，共28页。运动学的二类运动学的二类(r li)(r li)问问题题1. 第一类问题第一类问题(w

3、nt)已知运动学方程已知运动学方程(fngchng)(fngchng)，求，求(1) t =1s 到到 t =2s 质点的位移质点的位移(3) 轨迹方程轨迹方程(2) t =2s 时时已知一质点运动方程已知一质点运动方程求求例例解解(1)(2)(3)当当 t =2s 时时由由运动方程得运动方程得轨迹方程为轨迹方程为5第4页/共28页第五页，共28页。解解已知已知求求和运动和运动(yndng)(yndng)方方程程代入初始条件代入初始条件代入初始条件代入初始条件2. 第二类问题第二类问题(wnt)已知加速度和初始条件，求已知加速度和初始条件，求例例, t =0 时，时，由已知有由已知有6第5页/

4、共28页第六页，共28页。 例例1：通过绞车拉动湖中小船拉向岸边：通过绞车拉动湖中小船拉向岸边, 如图。如果绞车如图。如果绞车以恒定的速率以恒定的速率u拉动纤绳拉动纤绳, 绞车定滑轮离水面的高度绞车定滑轮离水面的高度(god)为为h, 求小船向岸边移动的速度求小船向岸边移动的速度v和加速度和加速度a。 解：以绞车定滑轮处为坐标解：以绞车定滑轮处为坐标(zubio)原点原点, x 轴水平向右轴水平向右, y 轴竖直向下轴竖直向下, 如图所示。如图所示。xlhyoxhux0l)(tl)(txO7第6页/共28页第七页，共28页。 设小船到坐标原点的距离为设小船到坐标原点的距离为l, 任意时刻任意时

5、刻(shk)小船到小船到岸边的距离岸边的距离x总满足总满足 x 2 = l 2 h 2 22lxhvuuxx 负号表示小船速负号表示小船速度沿度沿x 轴反方向轴反方向。 两边对时间两边对时间t 求导数求导数, 得得 22dxdlxldtdtdludt 0dldt小船向岸边小船向岸边移动的加速移动的加速度为度为 22223d xdvu hadtdtx 8第7页/共28页第八页，共28页。 例例2：抛体运动。假设物体以初速度：抛体运动。假设物体以初速度v0沿与水平沿与水平方向成角方向成角 方向被抛出方向被抛出, 求物体运动的轨道方程求物体运动的轨道方程、射程、飞行时间和物体所能到达的最大高度。、射

6、程、飞行时间和物体所能到达的最大高度。0 抛体运动抛体运动(po t yn dn)可可以看作为以看作为x方向的匀速直线运动和方向的匀速直线运动和y方向的匀变速直线运动相叠加。方向的匀变速直线运动相叠加。0 xy0vO解：首先解：首先(shuxin)必须建立坐标系必须建立坐标系, 取抛射点为取抛射点为坐标原点坐标原点O, x 轴水平向右轴水平向右, y 轴竖直向上轴竖直向上, 如图。如图。运动叠加原理是求解运动叠加原理是求解(qi ji)复杂运动的有力工具。复杂运动的有力工具。 9第8页/共28页第九页，共28页。x1 = 0是抛射点的位置是抛射点的位置, 另一个另一个(y )是射程是射程 00

7、000,cos,(cos)xxavvxvt200001,sin,(sin)2yyagvvgtyvtgt 20200(tan)2(cos)gyxxv抛体运动轨道方程抛体运动轨道方程 令令y = 0，得，得 20200(tan)02(cos)gxxv10第9页/共28页第十页，共28页。物体的飞行时间物体的飞行时间020002sincosvxTvg当物体到达最大高度时当物体到达最大高度时, 必有必有0yv010sinvtg物体达最大高度的时间物体达最大高度的时间最大高度最大高度2200sin2vHg 实际运动轨道是弹道曲线，射程和最大高度实际运动轨道是弹道曲线，射程和最大高度(god)都比上述值要

8、小。都比上述值要小。 抛射角抛射角 0 = /4时时,最大射程最大射程20maxvxg11第10页/共28页第十一页，共28页。12 例：某人身高h，站在离地面H的塔吊灯下，当塔以速度v0水平方向开走，灯从人头顶(tudng)掠过，人头顶(tudng)在地上的影子运动速度多大？第11页/共28页第十二页，共28页。三、自然三、自然(zrn)坐标系坐标系 (natural coordinates) (A) 沿着(yn zhe)质点的运动轨道所建立的坐标系。 因为质点运动的速度总是沿着因为质点运动的速度总是沿着(yn zhe)轨道的切轨道的切向向, 所以在自然坐标系中所以在自然坐标系中, 速度矢量

9、可表示为速度矢量可表示为 取轨道上一固定点为原点取轨道上一固定点为原点, 规定两个随质点位规定两个随质点位置变化而改变方向的单位矢量置变化而改变方向的单位矢量, 一个是指向质点一个是指向质点运动方向的运动方向的切向单位矢量切向单位矢量, 用用 表示表示, 另一个是垂另一个是垂直于切向并指向轨道凹侧的直于切向并指向轨道凹侧的法向单位矢量法向单位矢量, 用用 表示。表示。ene13第12页/共28页第十三页，共28页。 第二项是由速度方向第二项是由速度方向(fngxing)变化所引起的加变化所引起的加速度分量，为法向加速度速度分量，为法向加速度(normal acceleration) 第一项表示

10、由于速度大小变化所引起的加速第一项表示由于速度大小变化所引起的加速度分量度分量(fn ling), 大小等于速率变化率大小等于速率变化率, 方向方向沿轨道切向沿轨道切向, 称切向加速度称切向加速度(tangential acceleration)加速度矢量为加速度矢量为 dddd()ddddevvaveevtttt14第13页/共28页第十四页，共28页。ALB( )et()ett当当 t0时时, 点点B 趋近于点趋近于点A,等腰等腰 O A B 顶角顶角 0。 OB A ( )et()ette00dlimlimdttettt 极限方向必定垂直于极限方向必定垂直于 , 指向轨道凹侧指向轨道凹侧

11、, 与法与法向单位矢量向单位矢量 一致，并且一致，并且e( )etne15第14页/共28页第十五页，共28页。16讨论讨论(toln)整条曲线整条曲线(qxin)就可看成是由许多不同曲率半径的圆弧所构成就可看成是由许多不同曲率半径的圆弧所构成 一般情况一般情况(qngkung)下下, 质点的加速度矢质点的加速度矢量应表示为量应表示为 其中其中 为曲率半径，为曲率半径，的方向指向曲率圆中心的方向指向曲率圆中心 ne第15页/共28页第十六页，共28页。 naaavP圆周运动圆周运动tddvat2nva2tnddnnvvaa ea eeet17第16页/共28页第十七页，共28页。 解：质点(z

12、hdin)的切向加速度和法向加速度分别为 这就是所要求这就是所要求(yoqi)的速率与时间的的速率与时间的关系。关系。 例例4: 质点以初速质点以初速 沿半径为沿半径为R 的圆周运动的圆周运动, 其加速度方向与速度方向夹角其加速度方向与速度方向夹角 为恒量为恒量, 求质点求质点速率与时间的关系。速率与时间的关系。 0v分离变量分离变量2ddtanvtvR011tantvvR得得002ddtan vtvvtRv积分积分18第17页/共28页第十八页，共28页。一汽车在半径一汽车在半径R=200 m R=200 m 的圆弧形公路上行驶的圆弧形公路上行驶(xngsh)(xngsh)，其运动学方程为其

13、运动学方程为s =20t - 0.2 t 2 (SI) .s =20t - 0.2 t 2 (SI) .根据根据(gnj)速度和加速度在自然坐标系中的表示形式，有速度和加速度在自然坐标系中的表示形式，有例例汽车在汽车在 t = 1 s t = 1 s 时的速度时的速度(sd)(sd)和加速度和加速度(sd)(sd)大小。大小。求求解解19第18页/共28页第十九页，共28页。求抛体运动过程求抛体运动过程(guchng)中的曲率半径？中的曲率半径？如如B 点点B思考思考(sko) 20第19页/共28页第二十页，共28页。已知质点运动已知质点运动(yndng)方程为方程为求求之间的路程之间的路程

14、(lchng) 。例例解解质点运动质点运动(yndng)速度为速度为速率速率为为路程路程有有21第20页/共28页第二十一页，共28页。已知质点已知质点(zhdin)的运动方程为的运动方程为在自然坐标系中任意在自然坐标系中任意(rny)时刻的速度时刻的速度解解例例求求22第21页/共28页第二十二页，共28页。将一根将一根(y n)(y n)光滑的钢丝弯成一个竖直平面内的曲线，质点可沿钢丝向下滑动。已知质点运动的切向加速度为光滑的钢丝弯成一个竖直平面内的曲线，质点可沿钢丝向下滑动。已知质点运动的切向加速度为g 为重力加速度，为重力加速度， 为切向与水平为切向与水平(shupng)方向的夹角方向

15、的夹角.由题意由题意(t y)(t y)可知可知从图中分析看出从图中分析看出yxO 例例质点在钢丝上各处的运动速度质点在钢丝上各处的运动速度. .求求解解23第22页/共28页第二十三页，共28页。24圆周运动的角量描述圆周运动的角量描述(mio sh) 角量与线量的关角量与线量的关系系(A)一一. 角位置角位置(wi zhi)与角位与角位移移质点质点(zhdin)作圆周运动的角速度作圆周运动的角速度为为描述质点转动快慢和方向的物理量描述质点转动快慢和方向的物理量角位置（运动学方程角位置（运动学方程)当当 为质点圆周运动的角位移为质点圆周运动的角位移二二. 角速度角速度第23页/共28页第二十

16、四页，共28页。25三三. 角加速度角加速度角加速度角加速度 角速度对时间角速度对时间(shjin)(shjin)的的一阶导数一阶导数四四. . 角量与线量的关角量与线量的关系系(gun x)(gun x)PQO xys第24页/共28页第二十五页，共28页。26 例：半径(bnjng)为1 m的轮子以匀角加速度从静止开始转动，20 s末角速度达到100 rads-1. 求（1）角加速度及20 s内转过的角度，（2）第20 s末轮边缘上一点的切向和法向加速度。第25页/共28页第二十六页，共28页。(2) 设设t 时刻时刻(shk)，质点的加速度与半径成，质点的加速度与半径成45o角，则角，则(2) 当当 =? 时，质点时，质点(zhdin)的加速度与半径成的加速度与半径成45o角？角？(1) 当当t =2s 时，质点时，质点(zhdin)运动的运动的an 和和一质点作半径为一质点作半径为0.1 m 的圆周运动，已知运动学方程为的圆周运动，已知运动学方程为(1) 运动学方程得运动学方程得求求解解例例以及以及a的大小的大小27第26页/共28页第二十七页，共28页。一质点在水平面内以顺时针方向沿半径为一质点