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文档简介

1、数字信号处理课程研究性学习报告DFT近似计算信号频谱专题研讨姓 名 李 帆 学 号 11214008 同组成员 张 静 11214028 林 恒 11214068 王亚君 11214025 李亚伟 11214009 指导教师 薛 健 时 间 2013年5月8日 利用DFT近似计算信号频谱专题研讨【目的】(1) 掌握利用DFT近似计算不同类型信号频谱的原理和方法;(2) 理解误差产生的原因及减小误差的方法;(3)研究用DFT近似计算连续周期信号的方法;(4) 培养学生自主学习能力,以及发现问题、分析问题和解决问题的能力。【研讨内容】 基本题基本题是课程的基本要求,所有的人都需完成。问题一已知某离

2、散序列为 (1)用L=32点DFT计算该序列的频谱,求出频谱中谱峰的频率;(2)对序列进行补零,然后分别用L=64、128、256、512点DFT计算该序列的频谱,求出频谱中谱峰的频率;(3)讨论所获得的结果,从中你能得到了什么结论?该结论对序列的频谱计算有何指导意义?【题目分析】本题讨论补零对离散序列频谱计算的影响。 补零可以使DFT计算得出的频谱更加细致,但是不能改变序列的DTFT【温磬提示】在计算离散非周期序列频谱时常用W/p作为横坐标,称W/p为归一化频率(normalized frequency)。在画频谱时需给出横坐标。每幅图下都需给出简要的文字说明。由于离散非周期序列频谱是周期的

3、,所以在计算时不必用fftshift 函数对fft计算的结果进行重新排列。【序列频谱计算的基本方法】在MATLAB中,用函数fft(x,N)可以计算Xk序列的N点DFT【仿真结果】【结果分析】 通过对序列补零,使DFT在计算频谱时,频谱更加清晰,容易观察,随着点数的增加,频谱的很多细节之处都显示出来,频谱也越来越精确。但是当点数增加到一定范围,频谱基本不再变化,误差也没有减小,因此,在用DFT计算离散序列的频谱时,点数合适即可, 不宜过少,也不宜过多。同时,不管取得的点数是多少,频谱的谱峰所对应的数值都是0.2,可见,对序列补零并不能改变序列的DTFT.【阅读文献】1、 数字信号处理2、 老师

4、的课件【发现问题】 (专题研讨或相关知识点学习中发现的问题):对序列后面补零能不能提高频谱的分辨率。【问题探究】 对序列后面补零不能提高频谱的分辨率。DFT是对信号fourier变换的离散化处理,对序列后面补零,只是增加了信号fourier变换后的离散抽样点,并不能改变信号本身的采样点,故不能提高频谱的分辨率。【仿真程序】k=0:31x=sin(0.2*pi*k)k1=0:31x_32=fft(x,32)subplot(5,1,1)plot(2*k1/32,abs(x_32),'g')title('L=32') k2=0:63x_64=fft(x,64)subp

5、lot(5,1,2)plot(2*k2/64,abs(x_64),'r')title('L=64') k3=0:127x_128=fft(x,128)subplot(5,1,3)plot(2*k3/128,abs(x_128),'m')title('L=128') k4=0:255x_256=fft(x,256)subplot(5,1,4)plot(2*k4/256,abs(x_256),'y')title('L=256') k5=0:511x_512=fft(x,512)subplot(5,1,5

6、)plot(2*k5/512,abs(x_512),'k')title('L=512') figurek=0:31;x=sin(0.2*pi*k)L=0:1023X=fft(x,1024)subplot(2,1,1)plot(2*L/1024,abs(X),'r')hold on;k1=0:31x_32=fft(x,32)stem(2*k1/32,abs(x_32),'x','b')title('L=32') k=0:31x=sin(0.2*pi*k)L=0:1023X=fft(x,1024)sub

7、plot(2,1,2)plot(2*L/1024,abs(X),'r')hold onk3=0:127x_128=fft(x,128)stem(2*k3/128,abs(x_128),'*','b')title('L=1024')问题二 某离散序列为 xk=AcosW0k+Bcos ( (W0+DW)k)。用长度N=64的哈明窗对信号截短后近似计算其频谱。试用不同的A和B的值(如 A和B近似相等,A和B近差距较大),确定用哈明窗能分辩的最小的谱峰间隔中c的值。【题目分析】本题讨论用哈明窗计算序列频谱时的频率分辨率问题。 用哈明窗计

8、算序列频谱时,可以减小序列的泄漏现象,即减少频谱中出现的多余高频分量,但是其是在降低频谱的分辨率的基础上实现的,故使用哈明窗会降低频谱的分辨率。【仿真结果】1A=B=2时C=2C=1C=0.5C=0.7C=0.8C=0.9C=1.3C=1.5C=4C=32A=4,B=1C=4C=3C=2C=13A=1,B=4C=4C=3C=2C=1【结果分析】将实验结果与教材中定义的哈明窗有效宽度相比较,发表你的看法。 教材定义的标准是C=2,根据结果可以看出,当C2时,随着C的减少,频谱谱峰的分辨率随之降低,但是当C由2变为1时,谱峰的分辨率逐渐提高,当C由1变小时,分辨率也变低。这个规律与AB的取值无关。

9、但是AB的取值影响着两个谱峰的幅度,当A与B 相近时,两个谱峰相当,故当C=2,谱峰还是能够区分的,但是当A、B相差很大时,两个谱峰幅度不相当,当C取2时,谱峰基本不能分辨。【自主学习内容】不同窗函数对频谱分辨率的影响【阅读文献】1、 数字信号处理2、 老师的课件【发现问题】 (专题研讨或相关知识点学习中发现的问题):理论上,随着C数值的减小,频谱分辨率会逐渐降低,但是C取1时出现了特殊,频谱分辨率相对1周围的数值较大。【问题探究】在离散序列频谱计算中为何要用窗函数?用不同的窗函数对计算结果有何影响?与矩形窗相比哈明窗有何特点?如何选择窗函数? 在实际中的信号一般都不是带限信号,离散化后的信号

10、xk也不是带限信号,无法使用DFT进行频谱分析,故而需要对其进行加窗截短使之成为有限长序列。频谱中出现的高频分量不同,即频率泄露现象不同;频谱的分辨率不同。与矩形窗函数相比,哈明窗减小了频率泄露现象,因为哈明窗函数突然截断的现象不是很明显,故频谱中出现的高频分量比较少。当要求频谱的分辨率较高时,应该选择矩形窗,当要求频率泄漏现象不能太明显时,应该选择哈明窗。【仿真程序】k=0:63;A=input('A=');B=input('B=');c=input('c=');N=64;L=512;x=A*cos(0.1*pi*k)+B*cos(0.1*pi

11、+c*2*pi/N)*k);wh=(hamming(N)'x=x.*wh;X=fftshift(fft(x,L);fs=30;ws=2*pi*fsm=(-ws/2+(0:L-1)*ws/L)/(2*pi);plot(m,abs(X);grid on; 问题三已知一离散序列为 xk=cos(W0k)+0.75cos(W1k), 0£ k £ 63 其中W0=0.4p, W1=W0+p/64(1) 对xk做64点FFT, 画出此时信号的频谱。(2) 如果(1)中显示的谱不能分辨两个谱峰,是否可对(1)中的64点信号补零而分辨出两个谱峰。通过编程进行证实,并解释其原因 。

12、(3) 给出一种能分辨出信号中两个谱峰的计算方案,并进行仿真实验。【题目分析】分析影响谱峰分辨率的主要因数,进一步认识补零在在频谱计算中的作用。 影响谱峰分辨率的主要因数是序列的频率,即连续时间的抽样点数。【仿真结果】(1)(2)L=128L=256L=512L=1024(3)0<=k<=127;L=128L=2560<=k<=256,L=256L=512L=1024【结果分析】 由结果可知,对信号增加零点不能提高频谱的分辨率;为了提高频谱的分辨率,可以增加序列的抽样点数,比如开始的时候,k的范围是0 64,后来k的范围是0 128,然后是0 256随着抽样点数的增加,

13、频谱的分辨率逐渐提高。【自主学习内容】如何增加频谱分辨率【阅读文献】1、 数字信号处理;2、 老师的课件。【发现问题】 (专题研讨或相关知识点学习中发现的问题):频谱的分辨率与k范围的具体关系【问题探究】问题一、二、三讨论的是离散信号频谱的计算问题。与连续信号频谱计算问题相比较,其计算误差有何不同? 离散信号的频谱具有周期性,因而在计算中,可能会因抽样频率的不适而产生混叠,导致失真,误差加大。【仿真程序】(1)k=0:63;L=64;f1=0.4*pi;f2=f1+pi/64;x=cos(f1*k)+0.75*cos(f2*k);x=x zeros(1,L-length(x);X=fftshi

14、ft(fft(x);f=-pi:2*pi/L:pi-2*pi/L;plot(f/pi,abs(X)title('64点FFT')(2)L=input('L=');k=0:63;f1=0.4*pi;f2=f1+pi/64;x=cos(f1*k)+0.75*cos(f2*k);x=x zeros(1,L-length(x);X=fftshift(fft(x);f=-pi:2*pi/L:pi-2*pi/L;plot(f/pi,abs(X)(3)k=0:127;256L=128;/256/512f1=0.4*pi;f2=f1+pi/64;x=cos(f1*k)+0.75

15、*cos(f2*k);x=x zeros(1,L-length(x);X=fft(x);f=-pi:2*pi/L:pi-2*pi/L;plot(f/pi,abs(X);title('128点DFT');问题四 试用DFT近似计算高斯信号的频谱抽样值。高斯信号频谱的理论值为通过与理论值比较,讨论信号的时域截取长度和抽样频率对计算误差的影响。【题目分析】学会连续非周期信号频谱计算的基本方法。分析计算中出现误差的主要原因及减小误差的方法。 计算连续非周期信号的频谱时,先对其进行抽样,使之变为离散信号,然后对其进行DFT计算其频谱。为了减小误差,有两个方法,一是增加信号的抽样频谱;二是

16、对信号加窗进行截短,使之变为有限长序列。【仿真结果】fs=1; N=0.05N=2N=4N=8N=16当N=8确定时,fs对计算误差的影响Fs=2Fs=4Fs=8Fs=16Fs=32【结果分析】由于信号在时域和频谱都有理论表达式,在进行误差分析时希望给出一些定量的结果。例如,可参考概率论中的对高斯概率密度函数的讨论,定义信号时域的有效宽度,频域的有效宽度,分析时域、频域有效宽度对计算误差的影响。 由结果可知,时域截取长度和抽样频率对计算误差都有影响。当抽样频率一定时,时域截取长度越大,计算误差越小;当时域截取长度一定时,增大信号的抽样频率,计算误差先减小后增大,在抽样频率在2左右时,误差相对较

17、小。【自主学习内容】研究时域截取长度和抽样频率对计算频谱误差的影响。【阅读文献】1、 数字信号处理;2、 老师的课件;3、 概率论。【发现问题】 (专题研讨或相关知识点学习中发现的问题):如何判断d,N, fs的取值。【仿真程序】d=input('d=');N=input('N=');fs=input('fs=');w=linspace(-2*pi,2*pi,2048);G=sqrt(pi/d).*exp(-w.*w)/(4*d);plot(w/(2*pi),abs(G);axis(-1.5,1.5,0,12)L=512;T=1/fs;t=(0:

18、N-1)*T;ws=2*pi*fs;g=exp(-d*t.*t);X=fftshift(fft(g,L);w1=(0:L-1)*ws/L-ws/2)/(2*pi);hold on;plot(w1,abs(X),'r');axis(-1.5,1.5,0,12);title('红线表示非理论值,蓝线表示理论值' );扩展题扩展题有一定难度,不要求每个同学都做。鼓励大家进行一下探索。问题五本题研究连续周期信号频谱的近似计算问题。 周期为T0的连续时间周期信号x(t)可用Fourier级数表示为其中X(nw0)称为连续时间周期信号x(t)的频谱函数。称为信号的基频。如果

19、信号x(t)函数表达式已知,则可由积分得出信号的频谱。如果信号x(t)函数表达式未知,或者x(t)函数表达式非常复杂,则很难由积分得信号的频谱。本题的目的就是研究如何利用DFT近似计算连续时间周期信号的频谱。(1)若在信号x(t)的一个周期T0内抽样N个点,即, T为抽样周期(间隔),可获得序列xk试推导序列xk的DFT与连续时间周期信号x(t)的频谱X(nw0)的关系;(2)由(1)的结论,给出由DFT近似计算周期信号频谱X(nw0)的方案;(3)周期信号x(t)的周期T0=1,x(t)在区间0,1的表达式为x(t)=20t2(1-t)4cos(12pt)(a)试画出信号x(t)在区间0,1

20、的波形;(b)若要用6次以内的谐波近似表示x(t),试给出计算方案,并计算出近似表示的误差。讨论出现误差的原因及减小误差的方法。 【题目分析】 为了利用DFT近似计算连续周期信号的频谱,可先计算出序列DFT与连续周期信号的频谱X(nw0)之间的关系。然后进一步利用DFT近似计算连续周期信号的频谱。【理论推导】DFT计算所得结果Xm与连续周期信号频谱X(nw0)的关系。 由于,于是得: 令n=m+rN;m=0,1,2,,为整数,上式可化为化简可得对比IDFT 可得 【计算方案】根据理论推导结果设计近似计算方案。分析产生误差的主要原因。 根据上面推出的关系式可以得出,Xm可以近似为较低的谐波分量。

21、这一过程的误差主要在于低次谐波分量与高次谐波分量的混叠,如果抽样点数N较大,则高频分量的频率值可以提高,当提高到一定值时,其幅度值趋于0,这时就可以近似计算了。同时,在信号重建时,谐波分量的次数对误差也有影响,在选取较低的谐波分量进行信号重建时,会产生频率泄露现象,增加误差。【扩展分析】如果周期信号x(t)是带限信号,即信号的最高频率分量为Mw0(是正整数),试确定在一个周期内的最少抽样点N,使得在频谱的计算过程当中不存在混叠误差。与抽样定理给出的结论比较,发表你的看法。 若不发生混叠,则抽样频率fs>=Mw0,又T=T0/N,则N>=2T0Mw0,与抽样定理基本相同,当取到等号时,若边界值不为0,则会产生混叠,故不能取到等号,若边界值为0,则可取到等号。【仿真结果】N=32N=16N=32,n=8N=32,n=6【结果分析】讨论DFT点数对近似计算的影响,讨论所取谐波项的多少对近似计算的影响。误差分析要给出定量的结果,如平均误差,最大误差等。与连续非周期信号频谱计算过程中存在的误

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