数学分析试题及答案解析讲解学习

1、资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除2014 -2015学年度第二学期数学分析 2A 试卷学院班级学号（后两位）姓名题号一二三四五六七八总分核分人得分一 . 判断题（每小题 3分，共 21 分） (正确者后面括号内打对勾，否则打叉 )1.若 f x在 a, b 连续，则 f x 在 a, b 上的不定积分f x dx 可表为xC （）.f t dta2.若 f x, g x 为连续函数，则 fx g x dxfx dxg x dx（ ）.3.若f x dx 绝对收敛，g x dx 条件收敛，则 f x g x dx 必aaa然条件收敛（）.4.若f x dx 收敛，则必有级数f n 收敛（）

2、1n 15.若 f n与 g n均在区间 I上内闭一致收敛，则f ngn 也在区间 I上内闭一致收敛（）.6. 若数项级数an 条件收敛，则一定可以经过适当的重排使其发散于n 1正无穷大（） .7. 任何幂级数在其收敛区间上存在任意阶导数，并且逐项求导后得到的新幂级数收敛半径与收敛域与原幂级数相同（） .word 可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除二 . 单项选择题（每小题3 分，共 15 分）1.若 fafx dx 在 a,b 上（x 在 a,b 上可积，则下限函数）xA.不连续B. 连续C.可微D.不能确定2. 若 g x 在 a,b 上可积，而 f x在 a, b上仅有有限个点

3、处与 g x 不相等，则（）A.f x 在 a,b 上一定不可积；B.f x 在 a,b 上一定可积 ,但是bxdxbfg x dx ；aaC.bfx dxbf x 在 a,b 上一定可积，并且g x dx ；aaD. f x 在 a, b 上的可积性不能确定 .3.级数11 n 1 nn 2n 1A.发散B.绝对收敛C.条件收敛D. 不确定4.设un 为任一项级数，则下列说法正确的是（）A.若 lim un 0，则级数un一定收敛；nB. 若 lim un 11，则级数un 一定收敛；nu nC. 若N ,当nun 11，则级数un 一定收敛；N时有，unword 可编辑资料收集于网络，如有

4、侵权请联系网站删除un 1D. 若N ,当 n N时有， 1，则级数 un 一定发散； un5.关于幂级数an xn 的说法正确的是（）A. an xn 在收敛区间上各点是绝对收敛的；B. an x n 在收敛域上各点是绝对收敛的；C. an x n 的和函数在收敛域上各点存在各阶导数；D. an xn 在收敛域上是绝对并且一致收敛的；三.计算与求值（每小题5 分，共 10 分）1. lim 1 n n1 n2nnn nword 可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除ln sin x2.dx2cos x四.判断敛散性（每小题5 分，共 15 分）1.3x1dx0 1xx2word 可编辑

5、资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除n !2. n 1 nn1n3.2nn 1n1 2 nword 可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除五. 判别在数集 D 上的一致收敛性（每小题5 分，共 10 分）1. f n xsin nx1,2,D,nnword 可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除n2D, 22,2.xn六已知一圆柱体的的半径为R，经过圆柱下底圆直径线并保持与底圆面30 0 角向斜上方切割， 求从圆柱体上切下的这块立体的体积。 （本题满 10 分）word 可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除七 . 将一等腰三角形铁板倒立竖直置于水中（即底边在上） ，且上底

6、边距水表面距离为 10 米，已知三角形底边长为 20 米，高为 10 米，求该三角形铁板所受的静压力。 (本题满分 10 分 )word 可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除八 . 证明：函数 f xcosnx 在,上连续，且有连续的导函数 （. 本n3题满分 9 分）word 可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除2014 -2015学年度第二学期数学分析 2 B 卷?答案学院班级学号（后两位）姓名题号二三四五六七八总分核分人一得分一、判断题（每小题3 分，共 21 分，正确者括号内打对勾，否则打叉）1.?2.?3.?4.?5.?6.?7.?二 .单项选择题（每小题3 分，共

7、15 分）1. B ; 2.C ;3.A ;4.D;5.B三 .求值与计算题 （ 每小题 5 分，共 10 分）1xn1. lim3dx032nxsinx2xe解：由于 0分而1xn103dx3 x n dx -3x3 sin 2 xe2 x01n11lim3xdxlim00n1 3n 1nn-4分故由数列极限的迫敛性得：word 可编辑2 sin t costdtf x dxf sin 2 t d sin2 t分分资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除1xnlim3dx 00nx3 sin2 x e2x-52. 设 f sin2xxx，求1 xsin x解：令xsin 2 t 得xf x d

8、x =sin 2 t1x1sin 2 tsin tt=cost sin t=-4-2分2 t sin tdt=2t cost2sin tC=2 1x arcsinx 2 x C -5分四 .判别敛散性（每小题5 分，共 10 分）1 arctan x1.dx01x 2解：lim 1 x1arctan xlimarctan x分21 x2-3x 1 0x 1 01 x4 2且 p11，由柯西判别法知，2瑕积分1 arctan x-5分dx 收敛01 x 2word 可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除12.n2ln n ln n解：lim ln n,n0N , 当 nn0 时n有ln n

9、e2-2分114从而 当 n n0ln nn 2 -ln n分由比较判别法1收敛-5ln n ln nn 2分五.判别在所示区间上的一致收敛性（每小题5 分，共 15 分）1. f n x1, n 1,2 , D0 ,x2n解：极限函数为 fxlimf n x xxD -2分n又 fn xf xx1x1/ n21 -3分n2x1nn2x0sup fnxfx1nx D从而lim sup fnf 0n故知 该函数列在 D 上一致收敛 .-5分word 可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除2.2 nsinx,D1 ,13 nx2n解：因当xD时， unx2n sin-2分3n3n而 正项级数

10、2收敛，-43分由优级数判别法知，该函数列在D 上一致收敛 .-5分1 n, D,3.nx2解：易知，级数1 n 的部分和序列 Sn一致有界， -2分而 对xD ,Vn x1x2是单调的，又由于nxD , Vn x110 n， -4分x2nn所以vnx1在 D 上一致收敛于0，x2n从而由狄利克雷判别法可知，该级数在D 上一致收敛。 -5分六. 设平面区域 D 是由圆 x2y22 ，抛物线 y x2 及 x 轴所围第一象限部分，求由 D 绕 y 轴旋转一周而形成的旋转体的体积（本题满分10 分）x2y22得圆 x2y22 与抛物线 y2在第一象限解：解方程组x2xy的交点坐标为： 1 , 1

11、，-3word 可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除分则所求旋转体得体积为：12 y 2 dy17Vydy-00分=-7=6-10分七 .现有一直径与高均为 10 米的圆柱形铁桶（厚度忽略不计） ，内中盛满水，求从中将水抽出需要做多少功？（本题满分 10 分）解：以圆柱上顶面圆圆心为原点，竖直向下方向为x 轴正向建立直角坐标系则分析可知做功微元为：dW52xdx25x dx-5分W21510故所求为：x dx0-8分=1250=12250（千焦）-10分word 可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除八设 un xn1 , 2是 a,b 上的单调函数，证明：若u n a 与un

12、b 都绝对收敛，则un x 在 a, b 上绝对且一致收敛 . （本题满分 9 分）证明： un xn1 , 2是 a, b 上的单调函数，所以有un xun aun b-4分又由un a 与un b 都绝对收敛，所以un aun b收敛，-7分由优级数判别法知：un x 在 a, b 上绝对且一致收敛 .-word 可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除2013 -2014学年度第二学期数学分析 2A 试卷学院班级学号（后两位）姓名题号一二三四五六七总分核分人得分一 . 判断题（每小题2 分，共 16 分） (正确者后面括号内打对勾，否则打叉)1.若 f ( x) 在a,b上可导，则

13、f ( x) 在 a,b上可积 .()2.若函数 f ( x) 在a,b上有无穷多个间断点，则f ( x) 在a,b 上必不可积。（）3.若f ( x) dx与g (x)dx 均收敛，则 f ( x)g ( x) dx 一定条件收敛。aaa（）4.若 f n x在区间 I 上内闭一致收敛，则f n x在区间 I 处处收敛（ ）5.若an为正项级数（ an 0 ），且当 nn0 时有： an 11 ，则级数n 1anan 必发散。（）n 16.若 fx以 2为周期，且在, 上可积，则的傅里叶系数为：an12xcosnxdx（ ）f07.若 ans，则anan 12s a1 （ ）n 1n 1wo

14、rd 可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除8.幂级数在其收敛区间上一定内闭一致收敛。（）二 . 单项选择题（每小题3 分，共 18 分）1. 下列广义积分中，收敛的积分是（）11dxB1Csin xdx11dxAdxD30x1x01x2.级数an 收敛是an 部分和有界的（）n 1n 1A 必要条件B 充分条件C 充分必要条件D无关条件3.正项级数un 收敛的充要条件是（）A. lim un0B.数列 un单调有界nC. 部分和数列 sn有上界D. lim nn 11nun4.设 liman1a 则幂级数an xbn b1 的收敛半径 R=（）nan11C. 11bA.aB. a bD

15、.aa5. 下列命题正确的是（）A an ( x) 在 a,b 绝对收敛必一致收敛n 1B an ( x) 在 a,b 一致收敛必绝对收敛n 1word 可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除C 若 lim | an (x) |0 ，则an ( x) 在 a,b 必绝对收敛nn 1D an ( x) 在 a, b 条件收敛必收敛n 1若幂级数a xn的收敛域为1,1 ,则幂级数a xn在1,1 上6.nnA. 一致收敛B. 绝对收敛C. 连续D.可导三 . 求值或计算（每题 4 分，共 16 分）1. x x 1 ln x dx ；12.dxsin xcosxword 可编辑资料收集于网

16、络，如有侵权请联系网站删除31x dx .x x e14.设 f x 在0,1上连续，求 lim1n x dxfn0word 可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除四 .（16 分）判别下列反常积分和级数的敛散性.1.dx；2x 43x213311dx2.0 1 x ln(1x )3. ln nn；n 1n 2word 可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除4.en n!n 1 nn五 、判别函数序列或函数项级数在所给范围上的一致收敛性（每题5 分，共10分）1.fn ( x)x 2n 4 , n1,2,; x(,)word 可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除2.2( 1

17、) n1； x D, 0.50.5,3nx nn 1六 .应用题型（ 14 分）1. 一容器的内表面为由 y x 2 绕 y 轴旋转而形成的旋转抛物面， 其内现有水 （ m3 ），若再加水 7 （ m3 ），问水位升高了多少米？word 可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除2. 把由 y e x ， x 轴， y 轴和直线 x0 所围平面图形绕 x 轴旋转得一旋转体，求此旋转体的体积 V，并求满足条件 V a1lim V的 a .2word 可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除七证明题型（ 10 分）已知 f x 与 g x 均在 a,b 上连续，且在 a,b上恒有 f xg

18、x ，但 f x 不恒等于 g x ，证明：bbf ( x)dxg( x) dxaaword 可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除2013 -2014学年度第二学期数学分析 2B 试卷学院班级学号（后两位）姓名题号二三四五六七总分核分人一得分一、判断题（每小题2 分，共 18 分，正确者括号内打对勾，否则打叉）1.对任何可导函数 f x 而言， f x dxf x C 成立。（）2.若函数 f x 在 a, b 上连续，则 F xbf t dt 必为 f x 在 a,b 上的x原函数。（）3.若级数an 收敛，必有 lim nan 0 。（）n 1x4.若 lim n an1 ，则级数

19、an 发散 .nn 15.若幂级数an xn 在 x2 处收敛，则其在 -2,2 上一致收敛 .（）n 16.如果 f x 在以 a,b 为端点的闭区间上可积，则必有bbf x dxf x dx .（）aaword 可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除7.设 fx在 1,上有定义，则f x dx 与级数f n 同敛散 .（ ）1n18.设 fxbf x dx 与在 a, b 任子区间可积， b 为 f x 的暇点，则a1fb112 dt 同敛散 .（）batt9.设 f n x在 Da, x0x0 , b 上一致收敛，且 limf n xan n N 存xx0在，则 lim limf

20、n xlim lim f nx .nx x0xx0 n二 .单项选择题（每小题3 分，共 15 分）1. 函数 f ( x) 在 a,b 上可积的必要条件是（）A 连续B 有界C 无间断点D 有原函数2.下列说法正确的是（）A.an 和bn 收敛，an bn 也收敛n1n 1n 1B.an 和bn 发散，(anbn ) 发散n1n 1n 1C.an 收敛和bn 发散，( an bn ) 发散n 1n 1n 1D.an 收敛和bn 发散，anbn 发散n 1n 1n 13.an ( x) 在 a,b 收敛于 a( x) ，且 an ( x) 可导，则（）n 1word 可编辑资料收集于网络，如有

21、侵权请联系网站删除A.an ( x)a xn1C.ban (x)dxn 1a1n 14.级数1 nn2n 1B. a( x) 可导ba( x)dxD.an (x) 一致收敛，则 a(x) 必连续an 1A.发散B.绝对收敛C.条件收敛D. 不确定5.幂级数2n2 x n 的收敛域为：n 0 1nA.（ -0.5,0.5 ）B.-0.5,0.5 C. 0.5,0.5D. 0.5,0.5三 .求值与计算题（每小题4 分，共 16 分）1.sin x cosxdx2 sin 2 x2.xdxx 2x1word 可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除3. lim 1 n n n1nn1n nb4

22、.2xabdxaword 可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除四 .判别敛散性（每小题4 分，共 16 分）1.xarctan xdx ；1x311xdx2.01x3.nn 11n 1 .n 1 nword 可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除4. n 11cosn 1n五.判别在所示区间上的一致收敛性（每小题5 分，共 10 分）word 可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除1. fn1 (n 1) x,0x1 /(n1)x,1/(n1)xn 1,2, . x 0,1012.1 n 1)2x ( ,n 1 (xn )n六 .应用题型（ 16 分）1.试求由曲线 y x

23、 2 及曲线 y 2 x2 所平面图形的面积 .word 可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除11cosx2.将x2 dx 表达为级数形式，并确定前多少项的和作为其近似，可0使之误差不超过十万分之一.word 可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除七 .（9 分）证明：若函数项级数un x 满足：（）xD ,un (x)an n1,2；（）an 收敛 .则函数项级数un x 在 D 上一致收敛 .word 可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除014 -2015学年度第二学期数学分析2 A 卷 ? 答案三 .判断题（每小题 3 分，共 21 分）1. ? 2.? 3.? 4.