异面直线所成角练习

1、1如图，在正方体 ABCD - A B C D 中，异面直线A1D 与 BC1 所成的角为1111A30°B45°C60°D90°【答案】 D【解析】试题分析：如图所示，连接B1C，则 B1C A1D，B1C BC1， A1D BC1， A1 D与 BC1 所成的角为90°故选： D考点：异面直线及其所成的角2已知平行六面体ABCD- A1B1C1D1 中，底面 ABCD是边长为1 的正方形， AA1 2， A1AB A1AD120°，则异面直线AC1 与 A1D 所成角的余弦值（）A6B14C 15D 103755【答案】 B【解析

2、】uuurr uuurr uuurruuuurr r r uuuur r r试题分析：设向量AB a, ADb, AA1c ， 则 AC1a b c, A1D b c ，uuuuruuuurAC12, A1D7 ，uuuur uuuurcosAC1 , A1Duuuur uuuurAC1A1 Duuuur uuuurAC1 A1 D14。7考点：空间向量的集合运算及数量积运算。3正方体 ABCDA1B1C1 D1 中， E, F ,G , H 分别是 AA1 , AB , BB1 , B1C1 的中点，则直线 EF 与 GH 所成的角是（）A30°B45° C60°

3、;D 90°精选文库【答案】 C【解析】试题分析：由三角形中位线可知EF PA1B,GH PBC1 ，所以异面直线所成角为A1 BC1 ，大小为 60°考点：异面直线所成角4在正方体ABCDA1 B1C1 D1 中， E 是 B1C1 的中点，则异面直线DC1 与 BE 所成角的余弦值为（）A25B 1010D255C555【答案】 B【解析】试题分析： 取 BC 中点 F ，连结 FD , FC1 ，则 DC1F 为异面直线所成角，设边长为 2，C1 F5, DC18, DF105 cos DC1F5考点：异面直线所成角5 如图，正四棱柱ABCDA B C D 中（底面是

4、正方形，侧棱垂直于底面），AA3AB ，则异面直线 A B 与 AD 所成角的余弦值为（）D'C'A'B'DCABA、 9B、 4C、 7D、 3105105【答案】 A【解析】试题分析：连结 BC'，异面直线所成角为 A'BC'，设 AB 1, 在 A'BC'中' '''10AC2,ABBCcosA'BC'910考点：异面直线所成角6点 P 在正方形 ABCD 所在平面外， PA 平面 ABCD ，PAAB，则PB与 AC所成的角是A 60B 90C 45D 30【答案】

5、A【解析】试题分析：作出空间几何体如下图所示：设正方形的边长为2 ，2精选文库所以 PB 与 AC 所成的角就是FEA ，由题意可知：EFAEAF2 ，所以FEA60 考点：异面直线的位置关系7如图所示， 在棱长为1 的正方体ABCDA1B1C1 D1 中，M 是棱 CD 的中点，则 A1M与 DC 1 所成角的余弦值为（）221010A.B.C.D.106610【答案】 A【解析】试题分析：以D 为原点，分别以DA , DC , DD1 为 x, y, z 轴的正半轴建立空间直角坐标系 D -xyz ， 由 棱 长 为 1 ， 则 D (0,0,0),A1(1,0,1), M (0, 1 ,

6、0), C1 (0,1,1), 所 以2uuuur1uuuur0+1-12, 故 cos < A1M , DC1 >=2= -A1M = (- 1, - 1), DC1 = (0,1,1)3，故选 A.2622考点：空间向量所成角的余弦值.8在正方体 ABCD A1 B1C1D1 中， E、F 分别为 AB、BC 中点，则异面直线EF 与AB1 所成角的余弦值为3精选文库A3B 3C2D 12322【答案】 D【解析】试题分析：联结AC、 B1C则B1 AC即为所成的角。 VB1 AC为等边三角形，所以 cosB1 ACcos60o12考点：异面直线所成的角9在正方体 ABCD A

7、 B C D 中，点 P 在线段 AD 上运动，则异面直线CP与 BA 所的 111111角的取值范围是（）PA.4精选文库B.C.D.【答案】 D【解析】如图，连结CD'，则异面直线CP与 BA'所成的角5精选文库等于 D'CP，由图可知，当P 点与 A 点重合时，3当 P 点无限接近D' 点时，趋近于 0. 由于是异面直线，故 0.选 D考点：空间几何体，异面直线所成角10如图，正方体ABCDA1 B1C1 D1 ，则下列四个命题： P 在直线 BC1上运动时，三棱锥AD1PC 的体积不变； P 在直线 BC1上运动时，直线AP与平面 ACD1 所成角的大小

8、不变； P 在直线 BC1上运动时，二面角PAD1 C 的大小不变； M 是平面 A1B1C1D1 上到点 D 和 C1 距离相等的点，则 M 点的轨迹是过D1 点的直线其中真命题的个数是A1B2C3D4【答案】 C【解析】试题分析： BC1 平面 AD1， BC1上任意一点到平面 AD1C的距离相等，所以体积不变，正确 P在直线 BC1上运动时，直线 AB与平面 AD1C所成角和直线 AC1与平面 AD1C所成角不相等，所以不正确 当 P在直线BC1上运动时， AP的轨迹是平面 PAD1，即二面角 P AD1 C的大小不受影响，所以正确 M 是平面 A1B1C1D1上到点 D和 C1距离相等

9、的点， M 点的轨迹是一条与直线 DC1平行的直线，而 DD1 D1C1，所以正确, 故答案为：C .考点：异 面直线及其所成的角；棱柱、棱锥、棱台的体积；与二面角有关的立体几何综合题 .11如图，正方体 ABCD-AB C D 中， AB的中点为M， DD的中点为 N，则异面直线B M与111111CN所成的角是（）A.0B.45 C.60D.906精选文库【答案】 D【解析】试题分析：解：取AA1的中点 E，连接 EN ， BE交 B1M 于点 O，则 EN/BC，且 ENBC四边形 BCNE 是平行四边形BE / CNBOM 就是异面直线B1M 与 CN 所成的角，而 Rt BB1 M

10、Rt ABEABEBB1 M ，BMB1AEB，BOM900 故选 D考点：异面直线所成角12如图 , 直四棱柱 ABCD -A1B1C1 D1 的底面是边长为1 的正方形 , 侧棱长 AA1=2 , 则异面直线 A1B1 与 BD1 的夹角大小等于7精选文库【答案】 60°【解析】试题分析：由直四棱柱 ABCD -A1B1C1 D1 的底面是边长为1 的正方形 , 侧棱长 AA1 = 2可得 BD1 2,由 AB PA1B1知ABD 1就是异面直线 A1B1与BD1的夹角,且cos ABD 1AB1, 所以ABD1 =60 ° , 即异面直线 A1B1 与 BD1 的夹角

11、大小等于BD1260°考点： 1 正四棱柱； 2 异面直线所成角13如果直线 AB 与平面相交于 B，且与内过点 B 的三条直线 BC，BD，BE所成的角相同，则直线AB与 CD所成的角 =_.【答案】 90 0【解析】试题分析：因为，直线 AB 与平面相交于B，且与内过点 B 的三条直线BC, BD , BE 所成的角相同，所以，直线AB 在平面内的射影应是BC, BD 夹角的平分线，同时也应是BD , BE 夹角及 BC, BE 的平分线，因此，直线AB 在平面内的射影是点 B ，即 AB，而 CD，所以 AB CD ，直线 AB 与 CD 所成的角为 900考点：直线与直线、直

12、线与平面的位置关系.14平行六面体 ABCD A B C D 中，以顶点 A 为端点的三条棱长度都为2，且两两夹角为111160°，则 DB1 和 C1 A1 所成角大小为 _.【答案】 arccos66【解析】试题分析：由于DB1AB AA1AD, A1C1AB AD， 而DB1 C1 A12 ABAA1 AD (ABAD) ABABADAA1 AB AA1AD AD AB24AD，同理求8精选文库22222DB1AB1AA1ADAB1AA1AD2 AB1 AA12AB1AD2 AA1 ADuuuur=8, DB12 2 ，同理： C1A12 3，设 DB1和 C1A1 所成角大小

13、为， 则coscosDB1 ,C1 A1DB1C1 A146，arccos 6.DB1 C1 A1222366考点： 1. 向量的加法和减法；2. 向量的数量积；3. 向量的模； 4.异面直线所成的角；15已知四面体 ABCD 中， DADBDC3 2 ，且 DA , DB, DC 两两互相垂直，点 O 是ABC 的中心，将DAO 绕直线 DO 旋转一周，则在旋转过程中，直线DA 与直线 BC 所成角的余弦值的最大值是_6【答案】.3【解析】试题分析：当OA/ BC 时，直线 DA 与直线 BC 所成角最小，对应的余弦值最大，即cos OAD ；易知： ABAC BC 6,OA 63OA2 3

14、62 3 , cos OADDA3 2.33考点：异面直线所成的角.16如图所示，ABCDA1 B1C1 D1 为正方体，给出以下五个结论： BD / 平面 CB1D1 ； AC1平面 CB1D1 ； AC1与底面 ABCD 所成角的正切值是2 ；二面角 C B1 D1 C1 的正切值是2 ；9精选文库过点 A1 且与异面直线AD 和 CB1 均成 70°角的直线有2 条其中，所有正确结论的序号为_【答案】【解析】试题分析：如下图，正方体ABCD A1B1C1D1中，由于 BDB D ，由直线和平面平行的判定定理可得BD平面 CBD ，故正确1111由正方体的性质可得 B DA C，

15、CCB D，故 B D平面 ACC A，故 B DAC11111111111111同理可得 B 1C AC1再根据直线和平面垂直的判定定理可得，AC1平面 CB1D1 ，故正确AC1 与底面 ABCD所成角的正切值为CC112，故不正确AC22取 BD 的中点M，则 CMC 即为二面角C B D C 的平面角， Rt CMC中， tan 1111111CMC=CC112 ，故正确1C1M22如下图，由于异面直线AD与 CB1 成 45°的二面角，过A1 作 MN AD、PQ CB1，设 MN与PQ确定平面， PA1M=45°，过A1 在面 上方作射线A1H，则满足与MN、

16、PQ 成 70°的射线A1H 有 4 条：满足 MA1H= PA1H=70°的有一条，满足 PA1H= NA1H=70°的有一条，满足 NA1 H= QA1H=70°的有一条，满足 QA1H= MA1H=70°的有一条故满足与 MN、PQ 成 70°的直线有 4 条，故过点 A1 与异面直线 AD与 CB1 成 70°角的直线有 4 条，故不正确故答案为考点：二面角的定义及求法；直线和平面平行的判定；直线和平面垂直的判定；异面直线的判定 .17如图， 正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E，F 分别是正方形ADD1A1 和

17、 ABCD的中心， G是 CC1的中点。设GF， C1E与 AB所成的分别为,，则10精选文库【答案】2【解析】试题分析：取正方形B1C1CB的中点为点 O，连结 OC1 , OE , 取 BC 的中点为点 A ，连结GH ,FH ，通过分析可知 OC1 / GH , OE / FH得平面 CEO/ 平面GFH ,设正方形边长为2，在GFH中， GH2,FH，11GF3，则sin2 , cos1,在C1EO中，33OE2, C!E6, OC12 ，则 sin216,3cos22, 所以。632考点：直线与平面所成角，面面平行问题。18如图所示，在三棱柱 ABC A1B1C1 中， AA1底面

18、ABC， AB BC AA1， ABC90°，点 E、 F 分别是棱 AB、 BB1 的中点，则直线 EF 和 BC1 的夹角是【答案】3【解析】试题分析：如图所示，建立空间直角坐标系由于AB=BC=AA，不妨取 AB=2，则 E（ 0，1uuuruuuur1， 0）， F（ 0， 0， 1）， C1（ 2， 0， 2） EF=（ 0， 1， 1）， BC1 =（ 2， 0， 2）uuur uuuurcosEF , BC1uuur uuuurEF BC1uuuruuuur|EF | |BC1|21故28异面直线 EF 和 BC1 的夹角为23答案为:311精选文库考点：用空间向量求直

19、线间的夹角、距离；异面直线及其所成的角19如图，在直三棱柱ABCA1 B1C1 中，ACB900 , AA12, ACBC1 ，则异面直线 A1B 与 AC 所成角的余弦值是_6【答案】6【解析】试题分析：由于AC A1C1 ，所以BA1C1 （或其补角）就是所求异面直线所成的角，在 BAC 中，A1B6， AC1 ，BC15，6 1 56 1 11 1cos BAC116162考点：异面直线所成的角20 在正三棱柱 ABCA1B1C1 中，各棱长均相等，BC1与 B1 C 的交点为 D ，则 AD与平面 BB1C1C 所成角的大小是 _【答案】 60o【解析】试题分析：如图所示取BC中点 E

20、，连接 AE， DE，12精选文库易得 AD 与平面 BB1C1C 所成角为ADE ，设正三棱柱棱长为2，则等边三角形ABC，边上的中线AE3 ， DE1，直角三角形中ADE60o考点：直线与平面所成的角.21如图，直三棱柱 ABC-A1B1C1 中， AB AC1， AA12， B1A1C190°， D 为 BB1 的中点，则异面直线 C1D与 A1C 所成角的余弦值为 _ 15【答案】15【解析】试题分析：求异面直线所成的角，关键是作出这个角，一般把异面直线的一条平移后与另一条相交，得到要求的角（当然异面直线所成的角不大于90 ）本题中我们就可以把C1D 向下平移到过点C （实际

21、作图时，是延长B1B 到 E ，使 BE B1D ，则有CE C1 D ，然后在A1CE 中求出A1CE ，就可得出题中要求的角考点：异面直线所成的角22四棱锥 P ABCD的所有侧棱长都为5 ，底面 ABCD是边长为 2 的正方形，则CD与PA所成角的余弦值为.【答案】55【解析】试题分析：正方形ABCD 中， CD AB， PAB 或其补角就是异面直线CD 与13精选文库PA 所成的角， PAB中， PA=PB=5 ，AB=2 ， cos PA2AB2PB25455PAB=.2PAAB2525考点： 1. 余弦定理的应用； 2.异面直线及其所成的角23如图所示，正方形ABCD中， E、 F

22、 分别是 AB、 AD的中点，将此正方形沿EF 折成直二面角后，异面直线AF 与 BE所成角的余弦值为.BEAFCD【答案】 12【解析】试题分析：过 F 做 FH / /DC ，过 A 做 AGEF ，连接 GH ，在三角形 AGH 中，AH1023 ，AFH 即为异面直线 AF 与 BE 所成角 .44设正方形 ABCD 的边长为2，则在 VAFH 中， AF1，FH2，AH3 ， cosAFH1 ，故答案为 1.22考点：异面直线所成的角的计算ABCDA1B1C1 D1 E为 C1 D1 AE BC【答案】23【解析】如图，由 AD BCDAE 是异面直线 AE 与 BC 所成角，连结DE ，则 DE平面 CD1 中D'EC'DE平面 CD1AD DEAD平面