常微分方程习题集

1、常微分方程测试题1一、填空题30%1、 形如这里 .2、 形如这里数.n3、如果存在常数分别为 x.y的连续函的连续函数。的方程，称为变量分离方程， - 的方程，称为伯努利方程， - 对于所有函数称为在R上关于满足利普希兹条件。4、形如拉方程，这里5、设一解-二、计算题 40%1、 求方程2、 求方程的通解。3、 求方程的隐式解。- 的方程，称为欧的某一解，则它的任。4、 求方程三、证明题 30%1. 试验证=是方程组 x =x,x=，在任何不包含原点的区间 a上的基解矩阵。2.设为方程 x =Ax （ A 为 nn 常数矩阵）的标准基解矩阵（即（ 0）=E ），证明:(t)=(t- t)其中

2、 t 为某一值 .<% 建设目标 %>常微分方程测试题2一、 填空题： （ 30%）1、曲线上任一点的切线的纵截距是切点的横坐标和纵坐标的等差中项，则曲线所满足的微分方程是.2、方程的通解中含有任意常数的个数为.3、方程有积分因子的充要条件为.4、连续是保证对满足李普希兹条件的条件5、方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是6、若是二阶线性齐次微分方程的基本解组，则它们( 有或无 ) 共同零点欢迎下载27 、设是方程的通解，则.8、已知是二阶齐次线性微分方程的一个非零解，则与线性无关的另一解.9、设是阶常系数齐次线性方程特征方程的K 重根，则该方程相应于的 K 个线性无关解是.10、

3、线性微分方程组的解是的基本解组的充要条件是.二、 求下列微分方程的通解：（ 40%）1、2、3、4、5、求解方程三、 求初值问题的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计. （10 分）四、 求解微分方程组欢迎下载3满足初始条件的解 . （ 10%）五、证明题：（10%）设，是方程的解，且满足=0，这里在上连续，试证明：存在常数C使得=C常微分方程测试题31 辨别题指出下列方程的阶数，是否是线性方程：(12%)（1）（2）（3）（4）（5）（6）2、填空题 (8%)（ 1）方程的所有常数解是_.（ 2）若 y=y 1(x)， y=y 2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解

4、，则用这两个解可把其通解表示为 _.欢迎下载4（ 3） .若方程 M(x, y)dx + N (x, y)dy= 0 是全微分方程，同它的通积分是_.（ 4） .设 M (x0, y0)是可微曲线y= y(x)上的任意一点，过该点的切线在x 轴和 y 轴上的截距分别是 _.3、单选题 (14%)（ 1）方程是（） .(A) 可分离变量方程（ B）线性方程(C) 全微分方程（ D）贝努利方程（ 2）方程，过点（ 0，0）有（） .(A) 一个解（ B）两个解(C) 无数个解（ D）三个解（ 3）方程x(y21)dx+y (x21)dy=0 的所有常数解是（） .(A) y=±1, x=

5、±1,(B) y=±1(C) x=±1(D) y=1, x=1（ 4）若函数y(x)满足方程，且在 x=1 时， y=1, 则在 x = e 时y=().(A)(B)(C)2(D) e（ 5）阶线性齐次方程的所有解构成一个（）线性空间（A）维（B）维（C）维（D）维欢迎下载5（6）. 方程（）奇解（ A ）有三个（ B）无（ C）有一个（ D） 有两个（ 7）方程过点（）（ A ）有无数个解（ B）只有三个解（C）只有解（ D ）只有两个解4.计算题 (40%)求下列方程的通解或通积分：（ 1） .（ 2） .（ 3） .（ 4） .（ 5） .5. 计算题 (1

6、0%)求方程的通解6证明题（ 16%）欢迎下载6设在整个平面上连续可微，且求证：方程的非常数解，当时，有，那么必为或<% 建设目标 %>常微分方程测试题41辨别题指出下列方程的阶数，是否是线性方程：(12%)（1）（2）（3）（4）（5）（6）2、填空题 (8%)（ 1）方程的所有常数解是_.（ 2）若 y=y 1(x)， y=y 2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为 _.（ 3） .若方程 M(x, y)dx + N (x, y)dy= 0 是全微分方程，同它的通积分是_.（ 4） .设 M (x0, y0)是可微曲线y= y(x)上的任意一点，

7、过该点的切线在x 轴和 y 轴上的截距分别是 _3、单选题 (14%)欢迎下载7（ 1）方程是（） .(A) 可分离变量方程（ B）线性方程(C) 全微分方程（ D）贝努利方程（ 2）方程，过点（ 0，0）有（） .(A) 一个解（ B）两个解(C) 无数个解（ D）三个解（ 3）方程x(y21)dx+y (x21)dy=0 的所有常数解是（） .(A) y=±1, x=±1,(B) y=±1(C) x=±1(D) y=1, x=1（ 4）若函数y(x)满足方程，且在 x=1 时， y=1, 则在 x = e 时y=().(A)(B)(C)2(D) e（

8、 5）阶线性齐次方程的所有解构成一个（）线性空间（A）维（B）维（C）维（D）维（6）. 方程（）奇解（ A ）有三个（ B）无（ C）有一个（ D） 有两个（ 7）方程过点（）欢迎下载8（ A ）有无数个解（ B）只有三个解（C）只有解（ D ）只有两个解4.计算题 (40%)求下列方程的通解或通积分：（ 1） .（ 2） .（ 3） .（ 4） .（ 5） .5. 计算题 (10%)求方程的通解6证明题（ 16%）设在整个平面上连续可微，且求证：方程的非常数解，当时，有，那么必为或欢迎下载9常微分方程测试题5一、填空题（ 30%）1 若 y=y1 ( x) ，y=y2( x) 是一阶线性非

9、齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把其通解表示为2 方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是3 连续是保证方程初值唯一的条件一条积分曲线 .4.线性齐次微分方程组的一个基本解组的个数不能多于个，其中，5 二阶线性齐次微分方程的两个解,成为其基本解组的充要条件是6 方程满足解的存在唯一性定理条件的区域是7 方程的所有常数解是欢迎下载108 方程所有常数解是9 线性齐次微分方程组的解组为基本解组的条件是它们的朗斯基行列式10 阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为个二、计算题（ 40%）求下列方程的通解或通积分：1.2 3 4 5 三、证明题（ 30%）1试证明：对任意及满足条件的，方程欢迎下载

10、11的满足条件的解在上存在2 设在上连续，且，求证：方程的任意解均有3设方程中，在上连续可微，且，求证：该方程的任一满足初值条件的解必在区间上存在常微分方程测试题6一、填空题（20%)1方程的所有常数解是2方程的常数解是3一阶微分方程的一个特解的图像是维空间上的一条曲线欢迎下载124方程的基本解组是二、选择题 ( 25%)1阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（）个（A）（B） -1（C）+1（D） +22李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的（）条件（A）充分（B）必要 （C）充分必要（D）必要非充分3.方程过点共有（）个解（A）一（B）无数（C）两（D）三4方程（）奇解（A）

11、有一个（B）有两个（C）无（D）有无数个5方程的奇解是（）（A）（B）（C）（D）欢迎下载13三、计算题 (25%)1.x=+y2.tgydx-ctydy=03.4.5.四、求下列方程的通解或通积分(30%)1.2.3.常微分方程测试题7欢迎下载14一 . 解下列方程 (80%)1.x=+y2. tgydx-ctydy=03.y-x(+)dx-xdy=04.2xylnydx+dy=05. =6 -x6. =27.已知 f(x)=1,x0, 试求函数 f(x) 的一般表达式。8一质量为m质点作直线运动，从速度为零的时刻起，有一个和时间成正比（比例系数为 ）的力作用在它上面，此外质点又受到介质的阻

12、力， 这阻力和速度成正比（比例系数为 ）。试求此质点的速度与时间的关系。二证明题(20%)1.证明：如果已知黎卡提方程的一个特解，则可欢迎下载15用初等方法求得它的通解。2试证：在微分方程Mdx+Ndy=0中，如果 M、N试同齐次函数，且 xM+yN 0, 则是该方程的一个积分因子常微分方程测试题8计算题. 求下列方程的通解或通积分（70%）1.2.3.4.567欢迎下载16证明题（30%）8.在方程中，已知，在上连续，且求证：对任意和，满足初值条件的解的存在区间必为9.设在区间上连续试证明方程的所有解的存在区间必为10.假设方程在全平面上满足解的存在惟一性定理条件，且，是定义在区间 I 上的

13、两个解求证：若<，则在区间 I 上必有<成立常微分方程测试题9一、填空题（ 30%）1、方程有只含的积分因子的充要条件是（）。有只含的积分因子的充要条件是_。、_称为黎卡提方程， 它有积分因子 _。欢迎下载17、_称为伯努利方程， 它有积分因子 _。、若为阶齐线性方程的个解，则它们线性无关的充要条件是。、形如 _的方程称为欧拉方程。、若和都是的基解矩阵，则和具有的关系是。、当方程的特征根为两个共轭虚根是，则当其实部为 _时，零解是稳定的，对应的奇点称为_。二、计算题（）1、若试求方程组的解并求expAt、求方程经过（ 0，0）的第三次近似解欢迎下载186.求的奇点 ,并判断奇点的类

14、型及稳定性.三、证明题（）、阶齐线性方程一定存在个线性无关解。常微分方程测试题10一、选择题（ 30%）1 微分方程的阶数是 _2 若和在矩形区域内是的连续函数 ,且有连续的一阶偏导数,则方程有只与有关的积分因子的充要条件是_3_ 称为齐次方程.4 如果_ , 则存在唯一的解,定义于区间上 ,连续且满足初始条件,其中_ .5 对于任意的,(为某一矩形区域),若存在常数使 _ , 则称在上关于满足利普希兹条件.6 方程定义在矩形区域:上 ,则经过点的解的存在区间是_欢迎下载197 若是齐次线性方程的个解 ,为其伏朗斯基行列式,则满足一阶线性方程_8若为齐次线性方程的一个基本解组,为非齐次线性方程

15、的一个特解 ,则非齐次线性方程的所有解可表为_9若为毕卡逼近序列的极限，则有_10_称为黎卡提方程，若它有一个特解，则经过变换_，可化为伯努利方程二求下列方程的解（ 35%）求方程经过的第三次近似解讨论方程，的解的存在区间4 求方程的奇解567三 证明题（ 35%）欢迎下载201 试证 :若已知黎卡提方程的一个特解,则可用初等积分法求它的通解2 试用一阶微分方程解的存在唯一性定理证明:一阶线性方程, 当,在上连续时 ,其解存在唯一<% 建设目标 %>常微分方程测试题11一 填空题（30%）。1、当 _时，方程 M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 称为恰当方程，或称全微分方程。2

16、、_称为齐次方程。3、求=f(x,y) 满足的解等价于求积分方程 _的连续解。4、若函数 f(x,y) 在区域 G 内连续，且关于 y 满足利普希兹条件，则方程的解 y=作为的函数在它的存在范围内是_。5、若为 n 阶齐线性方程的 n 个解，则它们线性无关的充要条件是。6、方程组的_称之为的一个基本解组。欢迎下载217、若是常系数线性方程组的基解矩阵，则expAt =_8、满足 _的点（），称为方程组的奇点9、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部_时，零解是稳定的，对应的奇点称为 _。二、计算题（ 60%）1、求解方程：=2、解方程： (2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=03、

17、讨论方程在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，并求通过点（ 0，0）的一切解4、求解常系数线性方程：5、试求方程组的一个基解矩阵，并计算6、试讨论方程组（1）的奇点类型，其中 a,b,c 为常数，且 ac 0。三、证明题（ 10%）。试证：如果满足初始条件的解，那么欢迎下载22常微分方程测试题13一、判断题（10%）1方程是恰当方程。（）2是三阶微分方程。（）3是方程的通解。（）4函数组线性相关的充要条件是它们的伏朗斯基行列式等于零。（）5方程是二阶线性方程。（）二、选择题（ 101方程定义在矩形域上，则经过点的解的存在区间是（）。ABCD2与初值问题等价的一阶方程组是_.AB欢迎下载2

18、3CD3方程（是一个函数矩阵）的解空间构成_维线性空间 .A n-1B nCn+1D4微分方程的一个解是（）ABCD5方程有积分因子（）ABCD三、填空题（ 20%）1方程通过点的第二次近似解是_ 。2当 _ 时，方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0称为恰当方程，或称全微分方程。3如果在且，则方程存在唯一的解，定义于区间上，连续且满足初始条件，其中，。欢迎下载244若1，2，是齐线性方程的个解，为其伏朗斯基行列式，则满足一阶线性方程5方程有仅与有关的积分因子的充要条件是_。6利用变量替换_ 可把方程化为变量分离方程 _ 。7.若都是=A(t)X 的基解矩阵，则具有关系：。8方程的一个特解是_9形如的方程称为欧拉方程。10若是常系数线性方程组的基解矩阵，则expAt =_ 。四、计算题（ 60%）1求方程的通解。（ 8 分）2求解下列初值问题：。（ 8 分常微分方程测试题14一、判断题（ 10%）1方程是二阶非线性方程。（）欢迎下载252方程的通解是。（）3利普希茨条件是保证初值问题解