第三模块函数的微分学PPT课件

1、第三节复合函数的导数第三节复合函数的导数一、复合函数的求导法则一、复合函数的求导法则第三模块第三模块 函数的微分学函数的微分学二、复合函数的求导举例二、复合函数的求导举例一、复合函数的求导法则一、复合函数的求导法则定理定理 2设函数设函数 y = f (u)， u = (x) 均可导均可导，则复合函数则复合函数 y = f ( (x) 也可导也可导.且且，)()(xufyx .ddddddxuuyxy ，xuxuyy 或或或或 xuuyxyxx00limlimxuuyxx 00limlim，xuxuuyxuuy 00limlim.xuxuyy 即即证证设变量设变量 x 有增量有增量 x，. 0

2、lim0 ux所以所以由于由于 u 可导，可导， 相应地变量相应地变量 u 有有增量增量 u，从而从而 y 有增量有增量 y.推论推论设设 y = f (u) ， u = (v)， v = (x) 均均可导可导，则复合函数则复合函数 y = f ( (x) 也可导也可导，.xvuxvuyy 且且例例 1 1设设 y = (2x + + 1 1)5，求，求 y .解解把把 2x + + 1 看成中间变量看成中间变量 u，y = u5，u = 2x + + 1复合而成，复合而成，,5)(45uuyu . 2)12( xux所以所以.)12(102544 xuuyyxux 将将 y = (2x +

3、+ 1)5看成是看成是由于由于二、复合函数求导举例二、复合函数求导举例例例 2设设 y = sin2 x，求，求 y .解解这个函数可以看成是这个函数可以看成是 y = sin x sin x, 可利可利用乘法的导数公式，用乘法的导数公式，将将 y = sin2 x 看成是由看成是由 y = u2，u = sin x 复合而成复合而成. 而而,2)(2uuyu .cos)(sinxxux 所以所以.cossin2cos2xxxuuyyxux 这里，这里， 我们用复合函数求导法我们用复合函数求导法.解解 y = etan x 可以看成是由可以看成是由 y = eu，u = tan x 复合而成，

4、复合而成，所以所以xuuxuxxuyy)(tan)e ( .esecsecetan22xuxx 例例 3设设 y = etan x，求，求 y .复合函数求导数熟练后，中间变另可以不必复合函数求导数熟练后，中间变另可以不必写出写出.求求 y .,12xy 设设解解将中间变量将中间变量 u = 1 - - x2 记在脑子中记在脑子中. )1(2121)(21221也也在在心心中中运运算算 xuuyu这样可以直接写出下式这样可以直接写出下式xxxxy )1()1(212212.12xx 例例 4例例 5设设 f (x) = arcsin(x2) ，求，求 f (x).解解xxxxf )(11)(2

5、4.124xx 例例 6,sinlnxy 设设求求 y .解解这个复合函数有三个复合步骤这个复合函数有三个复合步骤. ,sin ,lnxvvuuy 把这些中间变量都记在脑子中把这些中间变量都记在脑子中xxxxxy )(sinsin1)(xxxx )(cossin1.cot21xx 例例 7,exxy 设设求求 y .解解xxxxxxy )e()e(2121 xxxxxx )e ()()e(2121 xxxxx )(e1)e(2121).e1()e(2121xxx 解解先用除法的导数公式，遇到复合时，再先用除法的导数公式，遇到复合时，再用复合函数求导法则用复合函数求导法则.2222)1()1(1

6、)(xxxxxy 222112211xxxxx .)1(1)1(1)1(2322222xxxxx 例例 8,求求 y .21xxy 设设例例 9设设 y = sin(xln x)， 求求 y .解解先用复合函数求导公式，先用复合函数求导公式， 再用乘法公式再用乘法公式y = cos(xln x) (xln x) = cos(xln x) (x (ln x) + + x ln x )= (1 + + ln x)cos(x ln x) .例例 10 )1ln( 2 xx求求解解先用复合函数求导公式，先用复合函数求导公式， 再用加法求导公式，再用加法求导公式，然后又会遇到复合函数然后又会遇到复合函数

7、 的求导的求导.21x )1ln(2 xx )1(1122xxxx)1(1 1122 xxx 221111xxxx.112x 例例 11设设 y = sh x，求求 y .解解)e ()e(212ee)sh( xxxxxy)(ee (21 xxx.ch)ee (21xxx 即即(sh x) = ch x .同理可得同理可得(ch x) = sh x .补证一下补证一下 (x ) = x - -1 .，因为因为 eelnlnxxx 所以所以(x ) = (e lnx) = e lnx ( ln x) xx1eln .11 xxx例例 12, 222zyxu 设设求证：求证：.1222 zuyuxu证明证