高考数学复习数列3.2等差数列及其前n项与

1、§3.2 等差数列及其前n项和基础自测1.（2008·广东理，2）记等差数列an的前n项和为Sn，若a1=，S4=20，则S6等于( )A.16B.24C.36D.48答案 D2.设an是等差数列，a1>0,a2 007+a2 008>0,a2 007·a2 008<0,则使Sn>0成立的最大自然数n是（ ） A.4 013B.4 014C.4 015D.4 016答案B3.（2008·全国理，5）已知等差数列an满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10等于（ ） A.138 B.135 C.95 D.23答

2、案C4.已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为An和Bn，且,则使得为整数的正整数n的个数是（ ） A.2 B.3 C.4D.5答案D5.数列a,b,m,n和x,n,y,m均成等差数列，则2b+y-2a+x的值为（ ）A.正实数 B.负实数 C.零 D.不确定答案C例1 已知数列an满足a1=4,an=4-(n2),令bn=.求证：数列bn是等差数列.证明 an+1-2=2-=+-=，bn+1-bn=.数列bn是等差数列.例2 在等差数列an中，（1）已知a15=33,a45=153,求a61;(2)已知a6=10,S5=5，求a8和S8；（3）已知前3项和为12，前3项积为48，且d0,

3、求a1.解 （1）方法一 设首项为a1,公差为d,依条件得,解方程组得a61=-23+(61-1)×4=217. 方法二 由d=,得d=4,由an=am+(n-m)d,得a61=a45+16d=153+16×4=217.（2）a6=10,S5=5,.解方程组得a1=-5,d=3,a8=a6+2d=10+2×3=16,S8=8×=44.(3)设数列的前三项分别为a-d,a,a+d,依题意有：,.d0,d=2,a-d=2.首项为2.a1=2.例3 （12分）在等差数列an中，已知a1=20,前n项和为Sn，且S10=S15，求当n取何值时，Sn取得最大值，并

4、求出它的最大值.解 方法一 a1=20，S10=S15，10×20+d=15×20+d，d=-. 4分an=20+（n-1）×(-)=-n+. 8分a13=0. 即当n12时，an0,n14时，an0. 10分当n=12或13时，Sn取得最大值，且最大值为S12=S13=12×20+(-)=130. 12分方法二 同方法一求得d=-. 4分Sn=20n+·(-)=-n2+n=-+. 8分nN+,当n=12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12=S13=130. 12分方法三 同方法一得d=-. 4分又由S10=S15,得a11+a12+a13

5、+a14+a15=0. 8分5a13=0,即a13=0. 10分当n=12或13时，Sn有最大值，且最大值为S12=S13=130. 12分1.设两个数列an,bn满足bn=，若bn为等差数列，求证：an也为等差数列.证明 由题意有a1+2a2+3a3+nan=bn， 从而有a1+2a2+3a3+(n-1)an-1=bn-1(n2), 由-，得nan=bn-bn-1,整理得an=,其中d为bn的公差(n2).从而an+1-an=-=(n2).又a1=b1，a2=a2-a1=-b1=.综上，an+1-an=d（nN*）.所以an是等差数列.2.（2009·成都市第一次调研）设an为等差

6、数列,Sn为数列an的前n项和,已知S7=7,S15=75,Tn为数列的前n项和,求Tn.解 设等差数列an的公差为d,则Sn=na1+n(n-1)d,S7=7,S15=75,即,解得,=a1+(n-1)d=-2+(n-1), -=,数列是等差数列,其首项为-2,公差为,Tn=n2-n.3.等差数列an中，a10,S9=S12,该数列前多少项的和最小？解 由条件S9=S12可得9a1+d=12a1+d，即d=-a1.由a10知d0,即数列an为递增数列.方法一 由，得,解得10n11.当n为10或11时，Sn取最小值，该数列前10项或前11项的和最小.方法二 S9=S12，a10+a11+a1

7、2=3a11=0，a11=0.又a10,公差d0，从而前10项或前11项和最小.方法三 S9=S12，Sn的图象所在抛物线的对称轴为x=10.5,又nN*，a10,an的前10项或前11项和最小.方法四 由Sn=na1+d=+n，结合d=-a1得Sn=·n2+·n=-+a1 （a10），由二次函数的性质可知n=10.5时，Sn最小.又nN*，故n=10或11时Sn取得最小值.一、选择题1.等差数列an的前n项和为Sn，若a2=1,a3=3,则S4等于（ ）A.12B.10C.8D.6答案 C2.在等差数列an中，已知=2,a2+a3=13,则a4+a5+a6等于（ ）A.4

8、0B.42C.43D.45答案 B3.已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（ ）A.5B.4C.3D.2答案 C4.已知等差数列an的前三项分别为a-1,2a+1,a+7,则这个数列的通项公式为（ ）A.an=4n-3B. an=2n-1C.an=4n-2D.an=2n-3答案 A5.（2008·大连模拟）在等差数列an中，若a4+a6+a8+a10+a12=120,则a9-a11的值为 （ ）A.14B.15 C.16 D.17答案C6.等差数列an的前n项和满足S20=S40，下列结论中正确的是 （ ）A.S30是Sn中的最大值 B.S30是

9、Sn中的最小值C.S30=0 D.S60=0 答案D二、填空题7.（2008·重庆理，14）设Sn是等差数列an的前n项和,a12=-8,S9=-9,则S16= .答案 -728.已知数列an、bn都是公差为1的等差数列，其首项分别为a1、b1,且a1+b1=5，a1、b1N*.设cn=(nN*),则数列cn的前10项和等于 .答案 85三、解答题9.已知数列an中，a1=，an=2- (n2,nN*),数列bn满足bn=(nN*).(1)求证：数列bn是等差数列；（2）求数列an中的最大项和最小项，并说明理由.（1）证明 因为an=2-(n2,nN*),bn=.所以当n2时，bn-

10、bn-1=-=-=-=1.又b1=-.所以，数列bn是以-为首项，以1为公差的等差数列.（2）解 由（1）知，bn=n-,则an=1+=1+.设函数f(x)=1+,易知f(x)在区间(-,)和(,+)内为减函数.所以，当n=3时，an取得最小值-1；当n=4时，an取得最大值3.10.等差数列an的奇数项的和为216，偶数项的和为192，首项为1，项数为奇数，求此数列的末项和通项公式.解 设等差数列an的项数为2m+1,公差为d,则数列的中间项为am+1,奇数项有m+1项，偶数项有m项.依题意，有S奇=(m+1)am+1=216 S偶=mam+1=192 ÷,得=，解得,m=8,数列

11、共有2m+1=17项，把m=8代入，得a9=24,又a1+a17=2a9，a17=2a9-a1=47，且d=.an=1+(n-1)×=(nN*,n17).11.设Sn是等差数列an的前n项和，已知S3，S4的等比中项为S5; S3，S4的等差中项为1，求数列an的通项公式.解 方法一 设等差数列an的首项a1=a，公差为d，则Sn=na+d，依题意，有整理得a=1，d=0或a=4，d=-.an=1或an=，经检验，an=1和an=均合题意.所求等差数列的通项公式为an=1或an=.方法二 因Sn是等差数列的前n项和，易知数列是等差数列.依题意得解得或由此得a4=S4-S3=1，a5=

12、S5-S4=1，或a4=-，a5=-，d=0或d=-.an=a4+（n-4）×0=1或an=a4+（n-4）×(-)=-n.故所求等差数列的通项公式an=1或an=-n.12.已知公差大于零的等差数列an的前n项和为Sn，且满足：a3·a4=117,a2+a5=22.（1）求通项an;(2)若数列bn满足bn=,是否存在非零实数c使得bn为等差数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由.解 （1）由等差数列的性质得，a2+a5=a3+a4=22,所以a3、a4是关于x的方程x2-22x+117=0的解，又公差大于零，所以a3=9,a4=13.易知a1=1,d=4,故通项为an=1+(n-1)×4=