习题课线性代数

1、);(),(ccrrjiji记记作作列列对对调调矩矩阵阵的的两两行行);(,)(0 kckrkii 记记作作中中的的所所有有元元素素列列乘乘某某一一行行以以数数).(,)()( ckcrkrkjiji 记记作作对对应应的的元元素素上上去去列列倍倍加加到到另另一一行行所所有有元元素素的的列列把把某某一一行行换法变换换法变换倍法变换倍法变换消法变换消法变换初等变换初等变换 逆变换逆变换三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等变换同一类型的初等变换)(ccrrjiji)(ccrrjiji)(kckrii )1(1kckrii )(ckcrkrjiji )

2、()(ckcrkrjiji .,BABABA记记作作等等价价与与称称矩矩阵阵就就矩矩阵阵经经有有限限次次初初等等变变换换变变成成如如果果矩矩阵阵反身性反身性传递性传递性对称性对称性; AA;,ABBA则则若若.,CACBBA则则若若三种初等变换对应着三种初等矩阵三种初等变换对应着三种初等矩阵由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵为初等矩阵E).(:,)(),(rrjiAAaAjiEmjiijnmm 行行对对调调行行与与第第的的第第把把施施行行第第一一种种初初等等行行变变换换当当于于对对矩矩阵阵相相左左乘乘阶阶初初等等矩矩阵阵用用（）换法变换：对调

3、两行（列），得初等（）换法变换：对调两行（列），得初等矩阵矩阵).(:,),(,ccjiAAAjiEnjin列列对对调调列列与与第第第第的的把把施施行行第第一一种种初初等等列列变变换换相相当当于于对对矩矩阵阵右右乘乘矩矩阵阵阶阶初初等等矩矩阵阵用用类类似似地地),(jiE（）倍法变换：以数（非零）乘某行（）倍法变换：以数（非零）乘某行（列），得初等矩阵列），得初等矩阵);(,)(kriAkAkiEim 行行第第的的乘乘相相当当于于以以数数左左乘乘矩矩阵阵以以).(,)(kciAkAkiEin 列列第第的的乘乘相相当当于于以以数数右右乘乘矩矩阵阵以以k)( kiE（）消法变换：以数乘某行（列）加

4、到另（）消法变换：以数乘某行（列）加到另一行（列）上去，得初等矩阵一行（列）上去，得初等矩阵);(,)(rkrikjAAkijEjim 行行上上加加到到第第以以行行乘乘的的第第相相当当于于把把左左乘乘矩矩阵阵以以).(,)(ckcjkiAAkijEijn 列列上上加加到到第第以以列列乘乘的的第第相相当当于于把把右右乘乘矩矩阵阵以以k)(kijE经过初等行变换，可把矩阵化为行阶梯形矩经过初等行变换，可把矩阵化为行阶梯形矩阵，其特点是：可画出一条阶梯线，线的下方全阵，其特点是：可画出一条阶梯线，线的下方全为为0 0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶

5、梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第一个非零元一个非零元例如例如 00000310000111041211经过初等行变换，行阶梯形矩阵还可以进一经过初等行变换，行阶梯形矩阵还可以进一步化为行最简形矩阵，其特点是：非零行的第一步化为行最简形矩阵，其特点是：非零行的第一个非零元为个非零元为1 1，且这些非零元所在列的其它元素都，且这些非零元所在列的其它元素都为为0 0例如例如 00000310003011040101对行阶梯形矩阵再进行初等列变换，可得到对行阶梯形矩阵再进行初

6、等列变换，可得到矩阵的标准形，其特点是：左上角是一个单位矩矩阵的标准形，其特点是：左上角是一个单位矩阵，其余元素都为阵，其余元素都为0 0例如例如 00000310003011040101ccccccccc214433215334 00000001000001000001.,),(,数数梯形矩阵中非零行的行梯形矩阵中非零行的行就是行阶就是行阶其中其中三个数完全确定三个数完全确定此标准形由此标准形由化为标准形化为标准形换和列变换换和列变换行变行变总可以经过初等变换总可以经过初等变换矩阵矩阵任何一个任何一个rrnmOOOErFnmnm 所有与所有与A A等价的矩阵组成的一个集合，称为一等价的矩阵组

7、成的一个集合，称为一个等价类，标准形是这个等价类中形状最简单的个等价类，标准形是这个等价类中形状最简单的矩阵矩阵F定义定义., 2阶阶子子式式的的称称为为矩矩阵阵阶阶行行列列式式的的位位置置次次序序而而得得到到的的中中所所处处不不改改变变它它们们在在个个元元素素行行列列交交叉叉处处的的位位于于这这些些列列行行和和任任取取中中矩矩阵阵在在kAkAkkkAnm 定义定义. 0).(, 0)(1,0 并并规规定定零零矩矩阵阵的的秩秩等等于于记记作作的的秩秩称称为为矩矩阵阵数数的的最最高高阶阶非非零零子子式式称称为为矩矩阵阵那那么么全全等等于于如如果果存存在在的的话话阶阶子子式式且且所所有有阶阶子子式

8、式的的中中有有一一个个不不等等于于设设在在矩矩阵阵ARArADrDrA ;)(,1rARrA 则则阶子式都为零阶子式都为零中所有中所有如果如果);()(ARART 定理定理);()(,BRARBA 则则若若行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数;)(,rARrA 则则阶子式阶子式中有一个非零的中有一个非零的如果如果. )4(; )3(;)( )2(; )1(EAEAnARAA的的标标准准形形为为单单位位矩矩阵阵的的最最高高阶阶非非零零子子式式为为 则则阶可逆矩阵阶可逆矩阵为为若若,nA定理定理定理定理.)(0 nARxAnnm 阵阵的的秩秩充充分分必必要要条条件件是是

9、系系数数矩矩有有非非零零解解的的元元齐齐次次线线性性方方程程组组.),( 的的秩秩的的秩秩等等于于增增广广矩矩阵阵分分必必要要条条件件是是系系数数矩矩阵阵有有解解的的充充元元非非齐齐次次线线性性方方程程组组bABAbxAnnm 齐次线性方程组齐次线性方程组：把系数矩阵化成行最简形：把系数矩阵化成行最简形矩阵，写出通解矩阵，写出通解非齐次线性方程组非齐次线性方程组：把增广矩阵化成行阶梯：把增广矩阵化成行阶梯形矩阵，根据有解判别定理判断是否有解，若有形矩阵，根据有解判别定理判断是否有解，若有解，把增广矩阵进一步化成行最简形矩阵，写出解，把增广矩阵进一步化成行最简形矩阵，写出通解通解定理定理.,;,

10、 阶阶初初等等矩矩阵阵相相应应的的的的右右边边乘乘以以相相当当于于在在施施行行一一次次初初等等列列变变换换对对阶阶初初等等矩矩阵阵左左边边乘乘以以相相应应的的相相当当于于在在变变换换施施行行一一次次初初等等行行对对矩矩阵阵是是一一个个设设nAAmAAnmA 定理定理., 2121PPPAPPPAll 使使则则存存在在有有限限个个初初等等矩矩阵阵为为可可逆逆矩矩阵阵设设推论推论.,: BPAQQnPmBAnm 使使得得阶阶可可逆逆矩矩阵阵及及阶阶可可逆逆矩矩阵阵存存在在的的充充分分必必要要条条件件是是矩矩阵阵一、求矩阵的秩一、求矩阵的秩二、求解线性方程组二、求解线性方程组三、求逆矩阵的初等变换法

11、三、求逆矩阵的初等变换法四、解矩阵方程的初等变换法四、解矩阵方程的初等变换法求矩阵的秩有下列基本方法求矩阵的秩有下列基本方法（）计算矩阵的各阶子式，从阶数最高的（）计算矩阵的各阶子式，从阶数最高的子式开始，找到不等于零的子式中阶数最大的一子式开始，找到不等于零的子式中阶数最大的一个子式，则这个子式的阶数就是矩阵的秩个子式，则这个子式的阶数就是矩阵的秩（）用初等变换即用矩阵的初等行（或（）用初等变换即用矩阵的初等行（或列）变换，把所给矩阵化为阶梯形矩阵，由于阶列）变换，把所给矩阵化为阶梯形矩阵，由于阶梯形矩阵的秩就是其非零行（或列）的个数，而梯形矩阵的秩就是其非零行（或列）的个数，而初等变换不改

12、变矩阵的秩，所以化得的阶梯形矩初等变换不改变矩阵的秩，所以化得的阶梯形矩阵中非零行（或列）的个数就是原矩阵的秩阵中非零行（或列）的个数就是原矩阵的秩第一种方法当矩阵的行数与列数较高时，计第一种方法当矩阵的行数与列数较高时，计算量很大，第二种方法则较为简单实用算量很大，第二种方法则较为简单实用例例求下列矩阵的秩求下列矩阵的秩.34147191166311110426010021 A解解对对 施行初等行变换化为阶梯形矩阵施行初等行变换化为阶梯形矩阵A 34147191166311110426010021A 3514721015639010426010021,00000000005213010021

13、B . 2)()(, BRAR因此因此注意注意在求矩阵的秩时，初等行、列变换可在求矩阵的秩时，初等行、列变换可以同时兼用，但一般多用初等行变换把矩阵化成以同时兼用，但一般多用初等行变换把矩阵化成阶梯形阶梯形当方程的个数与未知数的个数不相同时，一当方程的个数与未知数的个数不相同时，一般用初等行变换求方程的解般用初等行变换求方程的解当方程的个数与未知数的个数相同时，求线当方程的个数与未知数的个数相同时，求线性方程组的解，一般都有两种方法：初等行变换性方程组的解，一般都有两种方法：初等行变换法和克莱姆法则法和克莱姆法则例例求非齐次线性方程组的通解求非齐次线性方程组的通解)1(. 2255, 1222

14、, 132, 123, 1323214321432143214321 xxxxxxxxxxxxxxxxxxx解解对方程组的增广矩阵对方程组的增广矩阵 进行初等行变换，使进行初等行变换，使其成为行最简单形其成为行最简单形B 2025511222111321112311321B 000002035411132202552045331323425rrrrrrrr 00000001011113220255002022124rrrr 00000000001113202011001012213214rrrrr 00000000001560002110001011221332rrrrr 0000000000

15、6165100616701061650016)1(6)1(631323rrrrr.,16567650616161 )1(,43214取任意常数取任意常数的通解是的通解是可得方程组可得方程组令自由未知量令自由未知量kkxxxxxkx 由此可知，而方程组由此可知，而方程组(1)中未知中未知量的个数是，故有一个自由未知量量的个数是，故有一个自由未知量.3)()( BRAR4 n . 0323, 0, 022, 04321432143214321xaxxxxxaxxxxxxxxxx例例 当取何值时，下述齐次线性方程组有非当取何值时，下述齐次线性方程组有非零解，并且求出它的通解零解，并且求出它的通解a解

16、法一解法一系数矩阵的行列式为系数矩阵的行列式为AaaA32311121211111 3050212010101111 aa2000010010101111 aa)2)(1( aa., 0,21方程组有非零解方程组有非零解时时或者或者当当 Aaa:,1化成最简形化成最简形把系数矩阵把系数矩阵时时当当Aa 10000000001001011323111121211111.,01014321为任意常数为任意常数kkxxxxx 从而得到方从而得到方程组的通解程组的通解 00000300101011112323121121211111,2化为化为之变换可把之变换可把由计算由计算时时当当AAa 00000

17、10010100001.,1010 4321为为任任意意常常数数为为从从而而得得到到方方程程组组的的通通解解kkxxxxx aaA32311121211111 3050212010101111aa解法二解法二用初等行变换把系数矩阵化为阶梯形用初等行变换把系数矩阵化为阶梯形A., 4)(,21解解可可仿仿照照解解法法一一求求出出它它的的非非零零解解此此时时方方程程组组有有时时或或者者当当 ARaa 2000010010101111aa.,)(,1AEEAEAA 变变成成了了就就原原来来的的时时变变成成当当把把施施行行初初等等行行变变换换只只需需对对分分块块矩矩阵阵的的逆逆矩矩阵阵要要求求可可逆逆

18、矩矩阵阵.,1AEEAEA 就就变变成成了了原原来来的的时时变变成成当当把把施施行行初初等等列列变变换换或或者者对对分分块块矩矩阵阵例例求下述矩阵的逆矩阵求下述矩阵的逆矩阵 111211120A解解.),(施行初等行变换施行初等行变换作分块矩阵作分块矩阵EA 100111010211001120 10011100112001021121rr 11010000112001021113rr 11010011102001021132rr 11010011102021001131)2(rr 110100212121010210011212r 11010021212101025232100121)1(r

19、r.1102121212523211 A注意注意用初等行变换求逆矩阵时，必须始终用初等行变换求逆矩阵时，必须始终用行变换，其间不能作任何列变换同样地，用用行变换，其间不能作任何列变换同样地，用初等列变换求逆矩阵时，必须始终用列变换，其初等列变换求逆矩阵时，必须始终用列变换，其间不能作任何行变换间不能作任何行变换BAX )1()(BA)(1BAE 初初等等行行变变换换BAX1 BABXA )2( ABE1初初等等列列变变换换BAX1 )(BATT)(1BAETT 初初等等行行变变换换ABX1 BAXTTT)(1 或者或者例例.,2,410011103 XXAAXA求矩阵求矩阵且且设设 解解,2X

20、AAX ,2100111012 EA又又,)2(AXEA 1002100100110011012AEA由于由于,322100234010225001 初等行变换初等行变换.322234225 X第三章测试题第三章测试题一、填空题一、填空题( (每小题每小题4 4分，共分，共2424分分) )1 1若元线性方程组有解，且其系数矩阵的秩为若元线性方程组有解，且其系数矩阵的秩为，则当时，方程组有唯一解；当时，方，则当时，方程组有唯一解；当时，方程组有无穷多解程组有无穷多解2 2齐次线性方程组齐次线性方程组 0302032321321xkxxxxxkxx只有零解，则应满足的条件是只有零解，则应满足的条

21、件是nrk的通解为的通解为则则设设0,111111111 . 3 AXA4 4线性方程组线性方程组 515454343232121axxaxxaxxaxxaxx有解的充要条件是有解的充要条件是的秩是的秩是矩阵矩阵 0011102210111000. 6A二、计算题二、计算题 ARARA则则且秩且秩阶方阵阶方阵为为设设, 3,4. 5.,. 1确确定定矩矩阵阵的的秩秩值值的的范范围围讨讨论论 ( (第第1 1题每小题题每小题8 8分，共分，共1616分；第分；第2 2题每题每小题小题9 9分，共分，共1818分；第分；第3 3题题1212分分) ) 06865035322024631543215432154321xxxxxxxxxxxxxxx2 2求解下列线性方程组求解下列线性方程组 342231771110441132161015122111 4423321321321bxxxxaxxxaxx有唯一解、无