正弦函数、余弦函数的性质

1、p 正弦函数正弦函数ysinx，x0, 2 的图象中，的图象中， 五个关键点是哪几个五个关键点是哪几个? p 余弦函数余弦函数ycosx，x0, 2 的图象中，的图象中， 五个关键点是哪几个五个关键点是哪几个? )0 ,2( ),1,23( ),0 ,( ),1 ,2( ),0 ,0( )1 ,2( ),0 ,23( ),1,( ),0 ,2( ),1 ,0( 复习回顾复习回顾余弦曲线：余弦曲线：cos yxxRxy1- -1 正弦曲线：正弦曲线：sin yxxRxy1- -1 定义域：定义域：值域域：值域域：R-1,1 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质正弦函数、余弦函数的性质每年都有春夏

2、秋冬，它们周而复始的变化着每年都有春夏秋冬，它们周而复始的变化着生活中，许多事物都有生活中，许多事物都有“周而复始周而复始”的变化的变化规律规律(1)今天是星期一，则过了七天是星期几？今天是星期一，则过了七天是星期几？ 过了十四天呢？过了十四天呢？ (2)物理中的单摆振动、圆周运动，质点物理中的单摆振动、圆周运动，质点 运动的规律如何呢？运动的规律如何呢？这一些都给我们循环、重复的感觉，可以用“周而复始”来描述，这就叫周期现象。 如果一个函数也存在周期现象，那它就是一个周期函数。)20(3)9(, 2)8(, 1)7(, 3)6(, 2)5(, 1)4(, 3)3(, 2)2(, 1) 1 (

3、ffffffffff求比如：2)2()236()20(fffZxxfxf),()3(律，我们有实际上，根据这里的规数这个函数是一个周期函对于函数对于函数f（x）而言，如果存在一个）而言，如果存在一个非非零常数零常数T，使得当，使得当x取取定义域内的每一个值定义域内的每一个值时，时，都有都有周期函数：周期函数：那么函数那么函数f（x）就叫做）就叫做周期函数周期函数f（x+T）=f（x），），非零常数非零常数T叫做这个函数的叫做这个函数的周期周期（period）x6yo-12345-2-3-41y=sinx x0,2y=sinx xRsin yxxRxy1- -1 思考：正弦函数，余弦函数是不是周

4、期函数？为什么？正弦函数图象正弦函数图象诱导公式：诱导公式：sin（x+2）=sinx221yOx- -1323452722- -32- - -252- - -372- - -4y=sinx，xR思考：正弦函数，余弦函数是不是周期函数？为什么？f（x+T）=f（x）?诱导公式：诱导公式：cos（x+2）=cosx余弦函数图象余弦函数图象221yOx- -1323452722- -32- - -252- - -372- - -4y=cosx，xR思考：正弦函数，余弦函数的周期是多少？答案：2k，kZ2?如果在周期函数如果在周期函数f（x）的所有周期中存在一）的所有周期中存在一个最小的正数，那么这

5、个最小正数就叫做个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的的最小正周期最小正周期（minimal positive period）特别地：今后所提及的周期，在特别地：今后所提及的周期，在没有特别说明的前提下，都是指函数没有特别说明的前提下，都是指函数的最小正周期的最小正周期思考：正弦函数和余弦函数的最小正周期是多少？如果在周期函数如果在周期函数f(x)f(x)的所有周期中存在一的所有周期中存在一个最小的正数个最小的正数, , 则这个最小正数叫做则这个最小正数叫做f(x)f(x)的的最小正周期最小正周期. .那么那么, , 周期函数一定存在最小正周期吗？周期函数一定存在最小正周期吗？思考特别

6、的y=c(c为常数)没有最小正周期。 正弦函数、余弦函数是正弦函数、余弦函数是周期函数周期函数，2k2k（kZ, kZ, 且且k0k0）都是它的周期，都是它的周期，且最小正周期是且最小正周期是22就周期性而言，对正弦函数有什么结论？就周期性而言，对正弦函数有什么结论？对余弦函数呢？对余弦函数呢？xxfcos3)(1）令解：（)2cos(3cos3)(则：xxxf的周期为2cos3xy )2(xfxxf2sin)(2）令（)22sin(2sin)(则：xxxf的周期为xy2sin)(2sinx)(xf例2：求下列函数的周期)621sin(2)3( ,2sin)2( ,cos3) 1 (xyRxx

7、yRxxy)621sin(2)(3）令（xxf)2621sin(2)621sin(2)(则：xxxf6)4(21sin2 x)6221sin(2x的周期为4)621sin(2xy)4(xf例2：求下列函数的周期)621sin(2)3( ,2sin)2( ,cos3) 1 (xyRxxyRxxy练习：课本P36 2(1)(4)RxxyRxxy，）；（)431sin(4,43sin) 1 (xxf43sin)(1）令解：（)243sin(43sin)(则：xxxf的周期为3843sinxy 38(43sin）x)38(xf)431sin()(4）令（xxf练习：课本P36 2(1)(4)RxxyR

8、xxy，）；（)431sin(4,43sin) 1 ()4231sin()431sin()(则：xxxf的周期是6)431sin(xy4)6(31sin x)6(xf?0)sin()(）的周期是多少（思考：对于函数xAxf)2sin()sin()(xAxAxf)2(sinxA的周期为函数2)sin()(xAxf)2(xf函数的周期2TPage 19【解析】f(x)4sin32x3 4sin32x324sin32x23 4sin32x43 3fx43 .故所求周期 T43.全优23页典例剖析._2| )42sin(|. 6的周期是函数xy。的周期为函数，的周期解析：22| )42sin(|2si

9、nxyTxy全优24页能力提高正弦、余弦函数的性质正弦、余弦函数的性质奇偶性奇偶性 请同学们观察正、余弦函数的图形，请同学们观察正、余弦函数的图形，说出函数图象有怎样的对称性？其特点是说出函数图象有怎样的对称性？其特点是什么？什么？yo 2 4 6 1 1x 2 4 6yo 2 4 6 1 1x 2 4 6ycosxysinx正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数. .，函数的定义域都是证明：正弦函数，余弦Rxxfsin)(设正弦函数为奇函数。)(,xf 则)sin( xxsin)(xf,cos)(xxg设余弦函数是偶函数。)( xg 则)cos( xxcos)(

10、xg2函数 f(x)xsin2x是()A奇函数B非奇非偶函数C偶函数D既不是奇函数也不是偶函数为奇函数。则函数又关于原点对称，的定义域为解析：由题，得函数)(),(cos)cos()()(,cos)2sin()(.)(xfxfxxxxxfxxxxxfRxf全优23页变式训练2已知函数已知函数f(x) 的定义域为的定义域为R，则，则()Af(x)是奇函数是奇函数 Bf(x)是偶函数是偶函数Cf(x)既是奇函数又是偶函数既是奇函数又是偶函数Df(x)既不是奇函数也不是偶函数既不是奇函数也不是偶函数是偶函数。函数即则，关于原点对称。的定义域为函数解析：)()()(),()cos(sin)sincos

11、()cossin()()(xfxfxfxfxxxxfRxf)cos(sin x全优87页3已知已知f(x)axbsin x1，若，若f(5)7，则，则f(5)_. 5161)5sin5(15sin5)5(. 65sin5, 715sin5)5(babafbabaf得解析：由全优87页单调性和最值; 11,)(22,22sin增大到其值从上都是增函数在每一个闭区间正弦函数Zkkkxy:sinxy x22322523yO23225311单调性和最值; 11,)(223,22 减小到其值从上都是减函数在每一个闭区间Zkkk:sinxy x22322523yO23225311单调性和最值; 1,22m

12、ax ykx时当; 1,22min ykx时当:sinxy x22322523yO23225311x22322523yO23225311:cosxy ; 11,)(2 ,2cos 增大到其值从上都是增函数在每一个闭区间余弦函数Zkkkxy; 11,)(2,2 减小到其值从上都是减函数在每一个闭区间Zkkkx22322523yO23225311:cosxy ; 1,2max ykx时当; 1,2min ykx时当 例例3 3 求下列函数的最大值和最小值，并写出取最大值、求下列函数的最大值和最小值，并写出取最大值、最小值时自变量最小值时自变量x x的集合的集合 （1 1）y=cosxy=cosx1

13、 1，xRxR；（；（2 2）y=y=3sin2x3sin2x，xR.xR.的集合取得最大值的，就是使函数的集合，取得最大值的）使函数解：（xRxxyxRxxycos, 1cos1；，Zk2kxx的集合取得最小值的，就是使函数的集合，取得最小值的使函数xRxxyxRxxycos, 1cos。），（Zk12kxx011-211, 1cos；最小值是的最大值是函数Rxxy 例例3 3 求下列函数的最大值和最小值，并写出取最大值、求下列函数的最大值和最小值，并写出取最大值、最小值时自变量最小值时自变量x x的集合的集合 （1 1）y=cosxy=cosx1 1，xRxR；（；（2 2）y=y=3si

14、n2x3sin2x，xR.xR.取得最大值，使函数）令（Rzzyxz,sin322Zk2k2-zz，的集合是的z,2k2-2xz。集合是的取得最大值的使函数,k4-x,2sin3ZkxxRxxy.k4-得x的集合是取得最小值的同理，使函数xRxxy,2sin3 例例3 3 求下列函数的最大值和最小值，并写出取最大值、求下列函数的最大值和最小值，并写出取最大值、最小值时自变量最小值时自变量x x的集合的集合 （1 1）y=cosxy=cosx1 1，xRxR；（；（2 2）y=y=3sin2x3sin2x，xR.xR.。,k4xZkx. 3-3,2sin3，最小值是的最大值是函数Rxxy练习：课

15、本P 40 3RxxyRxxy,3cos22,sin213）；（）（的集合取得最大值的，就是使函数的集合，取得最大值的）使函数解：（xRxxyxRxxysin,sin21；，Zk2k2xx的集合取得最小值的，就是使函数的集合，取得最小值的使函数xRxxyxRxxysin,sin2。，Zk22xxk2) 1(2212,sin2最小值是；的最大值是函数RxxyRxxyRxxy,3cos22,sin213）；（）（取得最大值，使函数）令（Rzzyxz,cos232Zk2k-zz，的集合是的z,2k-3xz。集合是的取得最大值的使函数,k63-x,3xcos2ZkxxRxy.k63-得x的集合是取得最

16、小值的同理，使函数xRxxy,3cos2。,k6xZkx. 13,3cos2，最小值是的最大值是函数RxxyRxxyRxxy,3cos22,sin213）；（）（课本：练习40页 2课本：练习40页 4全优23页变式训练(2)因为 x3，6 ，所以 2x23，3 ，2x33，23 ，从而12cos2x3 1，22cos2x3 1，132cos2x3 4.故 y32cos2x3 ，x3，6的最大值为 4，最小值为 1.的值域。时，求函数当xxxfxsincos)(4|. 82.45,221.22145)2122()(2245)(21,22,22sin,4|.45)21()(,sin.45)21(

17、sin1sinsinsincos)(22222故函数值域为取最小值时，当；取最大值时，可见，当则令解：xftxftxtxttfxtxxxxxxf全优24页能力提高练习：课本 P40 1（1）（3）0cos) 3( ; 0sin) 1.(1xx：）先思考一个周期内的分析：（1再加上周期的整数倍：kxk22； x0），（，即：（Zkkk22：）先思考一个周期内的（3再加上周期的整数倍：kxk2222-），（，即：（Zkkk2222-；22- x【例 2】 判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)lg(1sin x)lg(1sin x)；【解析】(1)由1sin x0，1sin x0，得1sin x1，

18、可见其定义域xR|xk2，kZ关于原点对称又 f(x)lg1sin(x)lg1sin(x)lg(1sin x)lg(1sin x)f(x)，所以 f(x)lg(1sin x)lg(1sin x)为奇函数全优23页典例剖析图图象象y=sinxy=cosxxoy22232-11xy22232-11性性质质定义域定义域RR值值 域域-1，1-1，1周期性周期性T=2T=2奇偶性奇偶性奇函数奇函数偶函数偶函数单调性单调性增函数22 ,22kk减函数232 ,22kk增函数2 ,2kk减函数2 ,2kko三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质 例例4 4 比较下列各组数的大小比较下列各组数的大小: :

19、(1) sin()sin();1810与2317(2) cos()cos().5与, 018-10-2-1）解：（上是增函数，在区间正弦函数又02- sin xy )10-sin()18-sin()523-cos()2( 例例4 4 比较下列各组数的大小比较下列各组数的大小: :(1) sin()sin();1810与2317(2) cos()cos().5与)417-cos()53-(-4cos,53cos，5340)4-4cos(4cos,53cos4cos是减函数，且函数, 0cosxxy).523-cos()417-cos(即练习：课本P 41 5（1）（2）,2702602501801）解：（之间是减函数，到在正弦函数又270180sin xy260sin250sin与）（与）（914cos815cos2260sin250sin15练习：课本P 41 5（1）（2）与）（与）（914cos815cos2260sin250sin15)815cos()2()914cos()8-(2cos,8cos，29480)94-2cos(94cos,94