概率统计习题

1、第一章 随机事件与概率例题精选1 已知为必然事件，为不可能事件，则（）1，（）02 已知事件的概率（）0.6，为必然事件，则 （）1，（）0.63.设、是三个事件，试将下列事件用、表示出来.（1）发生而、都不发生（2）、都发生，而不发生（3）、都发生ABC（4）、，中至少有一个发生A+B+C（5）、中恰好一个发生（6）、，中至少有一个不发生4.一个口袋内装有大小相等、质量相同的球（2个红球，3个白球，4个黑球），每次摸取1个，有放回地取两次，求取得的球中无红或无黑球的概率.解： 设A=无红，B=无黑，C=全白，则 C=AB 故P(无红或无黑球)=P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) =

2、+- =5 某药检所以送检的10件药品中先后抽检了两件，如果10件中有3件次品，求 （1）第一次检得次品的概率 （2）第一次检得次品后，第二次检得次品的概率 （3）两次都检得次品的概率 解：设A=第一次检得次品，B=第二次检得次品，得(1) P(A)=3/10(2) P(B|A)=2/9(3) P(AB)=P(A) P(B|A)=或按古典概型计算，P(AB)=6.甲、乙同时彼此独立地向一敌机开炮，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5，求敌机被击中的概率 解：设A=甲击中敌机，B=乙击中敌机 ，C=敌机被击中，则C=A+B，且A与B独立。故 P(C)=P(A+B)=P(A)+P

3、(B)-P(AB) = P(A)+P(B)-P(A)P(B) =0.60.5-0.60.5 =0.8练习选解练习1-21.在1、2、3、4、5这五个数字中任取两个，取得的两数之和为偶数的概率是多少？解：设A=取得的两数之和为偶数，则 P(A)=4/10=0.42.将一均匀硬币抛投两次，求下列事件的概率 （1）出现两次正面 （2）恰好出现一次正面（3）至少出现一次正面解：设A=出现两次正面，B=恰好出现一次正面，C=至少出现一次正面，则 P(A)1/4 P(B)1/2 P(C)=P(A)+P(B)=3/43.袋中有大小相等、质量相同的球（3个蓝色球和5个红色球），从中任取2个球，问取出的2个球都

4、是红色的概率是多少？ 解：设A=取出的2个球都是红色，则 P(A)=5/140.3574.65件产品，有正品60件，次品5件。求（1）从中任取一件而取得正品的概率？ （2）任取二件都取到正品的概率？（3）任取两件取到一件正品、一件次品的概率？解：设A=任取一件而取得正品，B=任取二件都取到正品 ，C=取到一件正品、一件次品，则 P(A)12/130.9231 P(B)177/2080.8510 P(C)=15/1040.1442练习1-32.若某地区人群中患结核病的概率为0.006，患沙眼病的概率为0.04，兼患此两种病的概率为0.001，问该地区人群中至少患有一种病的概率。 解：设A=患结核

5、病，B=患沙眼病，则A与B独立。 P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) =0.0060.04-0.001 =0.0453.某机械零件的加工由两道工序组成。第一道工序的废品率为0.015,第二道工序的废品率为0.02,假定两道工序出废品是彼此无关的，求产品的合格率。解：设A=第一道工序生产的废品，B=第二道工序生产的废品，C=合格的产品，则解法1： P(C)=P()=P()=1-P(A+B)=1-P(A)+P(B)-P(AB)=1-P(A)-P(B)+P(A)P(B) =1-0.015-0.02+0.0150.02 =0.9653 =96.53% 解法2： P(C)=P()=P()P()

6、=1-P(A)1-P(B)=1-P(A)-P(B)+P(A)P(B) =1-0.015-0.02+0.0150.02 =0.9653 =96.53%4.某医疗器械厂的全部产品中有废品3%，在合格品中有80%是一级品。求从产品中任取出一产品恰是一级品的概率。解：设A=合格品，B=一级品，显然，A包含B，得P(A)=1-3%=97%, P(B|A)=80%P(B)=P(AB)=P(A)P(B|A)=97%80%=0.7765.设一袋中有大小相等、质量相同的两个红球，三个白球，从中每次任取一个，连取二次（无放回的抽取），求“第一次取得红球，第二次取得白球”的概率。解：设A=第一次取得红球，B=第二次

7、取得白球P(AB)=P(A)P(B|A)=6.设一袋中有大小相等、质量相同的两个红球，三个白球，第一次取出一球，取后放回，第二次再取一球，求“第一次取得红球，第二次取得白球”的概率。解：设A=第一次取得红球，B=第二次取得白球P(AB)=P(A)P(B)=练习1-31. 假定患有肺结核的人，通过胸部透视被诊断为肺结核的概率为95%。而未患肺结核的人，通过透视被误诊为肺结核的概率为0.20%。设某地居民患肺结核的概率为0.1%，若从中随机抽出1人，通过透视被诊断为肺结核，问此人确实患有肺结核的概率是多少？解：设A=诊断为肺结核，B=患有肺结核，由题意得：P(A|B)=95%,P(A|)=0.20

8、%,P(B)=0.1%,P()=99.9%由逆概公式可知P(B|A)32.225%2. 10人抓阄，其中有两个是“有”，其余是无，试判定第一个抓阄者是否比第二个更合算。解：设A=第一个抓阄者抓到“有”，B=第二个抓阄者抓到“有”，依题意得：P(A)=2/10=1/5=0.2,根据全概率公式有 P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|) =0.2由于P(A)=P(B),故先抓阄者与后抓阄者获得“有”的机会是相等的。练习1-51. 用某药物治疗某种疾病，治愈的概率为P0.6,不愈的概率为q=1-P=0.4(这里我们观察的指标只定为治愈和不愈这两种)，而每次治疗的结果互不影响（即相互独立），现

9、在用这种药物治疗4人，问下述事件的概率是多少？（1）4人治愈 （2）4人都不愈（3）4人中恰有1人治愈 （4）4人中至少有1人治愈解：根据贝努里概型计算公式得： =0.1296=0.0256=0.1536 P(4人中至少有1人治愈)=0.97442. 对某种新药进行研究，预计它对某种疾病的有效率为0.7,试问10个患该病的病人服用此药后至少有5人有效的概率是多少？解：P10个患该病的病人服用此药后至少有5人有效=+= =0.95273. 在一定的条件下，某种微生物菌落在培养基中出现的概率为0.8.现在保留相同条件下，分别在5个培养基中接种，求至少有4个培养基中出现菌落的概率？解：P至少有4个培

10、养基中出现菌落=0.7373习题一1 10件产品中有3件次品，任取4件产品，求：（1）事件A=“恰有两件次品”（2）事件B“没有次品”；（3）事件C=“至少有一件次品”的概率解： P(A)3/10 P(B)1/6 P(C)=1-P(B)=5/62 有20瓶“冬含补膏”，所装补膏的瓶中，有5只瓶口高低不平（属次品）。现从中任取三瓶，求最多取到一瓶是次品的概率。解：设=取到i瓶是次品,i=0,1;A=最多取到一瓶是次品，显然，A=+,且P()=,P()=. P(A)=P()+P()=49/574 某个人群中患沙眼病的概率为0.04，现抽查20人，求其中有二人患沙眼的概率。解：已知P=0.04,n=

11、20,k=2,根据贝努里概型计算公式得：=0.14626 今有甲乙两盒乒乓球，各装10只，已知甲盒中有7只新的，乙盒中有6只是新的，现从甲乙两盒中各任取一只。试求：（1）取到2只都是新球的概率；（2）取到2只都是旧球的概率（3）取到2球是一新一旧的概率。解：设A=从甲盒中取得一新球，B=从乙盒中取得一新球，则P(A)=7/10,P(B)=6/10,且A与B独立。(1)取到2只都是新球=AB,P(AB)=(2)取到2只都是旧球=P()=(3)取到2球是一新一旧=+P(+)=+7 甲乙两生产队分别有小麦种子250kg和750kg,假如甲队小麦的发芽率为88%,乙队小麦的发芽率为92%。现两队将所有

12、小麦种子混合播种。求种子发芽的概率。解：设A=甲队小麦种子，=乙队小麦种子,B=种子发芽，则P(A)=250/(250+750)=25%,P()=750/(250+750)=75%, P(B|A)=88%，P(B|)=92%。根据全概率公式有 P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|) =25%88%+75%92%=91%8 假定用血清甲胎蛋白法诊断肝癌，这里以事件A表示“被检查者患有肝癌”，以事件B表示“判断被检查者患有肝癌”即试验反应为阳性。已知真阳性率为P(B|A)=95%,真阴性率为P(|)=92%,若某地区的人群中患肝癌的比率为0.05%，现有一人被此检验法诊断为患肝癌，求此人

13、真的患肝癌的概率P(A|B)解：由题意得：P(A)=0.05%, P(B|A)=95%, P(|)=92%,则P()=1-0.05%=99.95%,P(B|)=1-P(|)=1-92%=8%由逆概公式可知P(A|B)0.00599 某药对某病治愈率为0.6,无效率为0.4.如用该药治某病5例，问：预期治愈几例的可能性最大？解：根据贝努里概型计算公式得： =0.01024=0.0768=0.2304=0.3456=0.2592=0.07776故预期治愈3例的可能性最大.第二章 随机变量的概率分布和数字特征例题精选1 随机变量X服从参数， 的正态分布，则随机变量X的概率密度函数为：，E（X），D（

14、X）2 设x服从二项分布B（n，p），则E（X）n，D（X）np(1-p)练习选解练习2-13. 设某运动员投篮命中的概率为0.8，独立投三次，求命中次数的概率函数。 解：已知P=0.8，q=1-0.8=0.2，n=3P（Xk）= （k=0,1,2,3） 分布律如下： X 0 1 2 3P(X=k)0.008 0.096 0.384 0.51247（略）8设XN()，求P();P() 解：P() P()P（<X<） =0.97500-0.02500=95%9.从学校乘车去火车站，有两条路可走。一条穿过闹市区，路程较短，但交通拥挤，所需时间X（单位为分）服从正态分布：N(50,100

15、),第二条路沿环城路，路程较远，但意外阻塞较少，也服从正态分布：N(60,16)。假若有70分钟可用，应走哪条路？60分钟又应走哪条路？解：（1）假若有70分钟可用时， 第一条路 (0<X<70)=-=0.97725 第二条路 (0<X<70)=-=0.993790 (0<X<70)<(0<X<70)假若有70分钟可用时，应走第二条路线。（2）假若有60分钟可用时，第一条路 (0<X<60)=-=0.8413第二条路 (0<X<60)=-=0.5 (0<X<60)>(0<X<60)假若有

16、60分钟可用时，应走第一条路线。10. 设随机变量X服从正态分布N(70,100),试求：（1）随机事件（X<62）的概率;（2）随机事件（X>72）的概率;（3）X落在6874之间的概率解：(1) P(X<62)=0.2119 (2) P(X>72)=1- P(X72)=1-=1-=1-0.5793=0.4207 (3) P(68<X<74)=- =0.6554-0.4207=0.2347练习2-21. 已知随机变量X的概率分布为PX=k=1/10, k2,4,18,20。求E(X).。解：E(X)=(2+4+6+20)=110=112甲、乙两位外科医生，

17、各自对20名心脏病人进行手术治疗，设这两组病人年龄、病情等基本相同，用、分别表示甲乙两位医生手术成功人数。、的概率分布如表所示。问甲乙两位医生的技术水平如何？ 表1 甲医生 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.121 0.267 0.103 0.009 0.000P 0.028 0.234 0.200 0.037 0.001 0.000 表1 乙医生 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.010 0.117 0.247 0.117 0.010P 0.001 0.044 0.205 0.205 0.044 0.000 解：2.9984.995 乙医生的技术水平高于甲医生

18、的技术水平。3将一硬币连掷10次，以X表示出现正面的次数，试写出X的概率分布。 解：已知P=0.5，q=1-0.5=0.5，n=10 P(Xk) = = (k=0,1,2,10)（概率分布表从略）4从四名男学员和两名女学员中，选两人当组长，求男学员被选为组长人数X的概率分布表和分布函数。解： 分布表如下： X 0 1 2 于是， 5. 随机变量，相互独立，并且服从同一分布，即E()=，D()=，i=1，2,，求这些随机变量的算术平均值的数学期望与方差。 解：E()=E()=E()= D()=D()=D()=6随机变量X的分布率为 X 2 0 2 0.4 0.3 0.3试求E(X)，D(X) 解法一：-0.2D(X)=1.2960.0121.4522.76解法二：-0.2 2.8 D(X)= =2.8-(-0.2)(-0.2) =2.767设XN(3,4)，试求P()；P()；P(X>3)。解：(1) P()=- =0.8413-0.3085=0.5328 (2) P()=- =-1-=2-1=20.9997674-1=0.