数学圆锥曲线复习课件

1、圆圆锥锥曲曲线线椭圆椭圆双曲线双曲线抛物线抛物线定义定义标准方程标准方程几何性质几何性质直线与圆锥曲线直线与圆锥曲线的位置关系的位置关系一、一、知知识识点点框框架架双曲线的定义：双曲线的定义：1212| 2 ,(02|)MFMFaaF F椭圆的定义：椭圆的定义：|)|2( ,2|2121FFaaMFMF0 12222babyax0 12222babxay椭圆的标准方程：椭圆的标准方程：0, 0 12222babyax0, 0 12222babxay双曲线的标准方程：双曲线的标准方程：0 22ppxy抛物线的标准方程：抛物线的标准方程：0 22ppyxl.FdM.l.FdM.l.FdM.椭椭 圆

2、圆抛抛物物线线双双曲曲线线范围对称性顶点离心率焦点、准线双曲线）渐进线(通径长焦点弦l.FdM.l.FdM.l.FdM.范围：范围：对称性：对称性：顶点：顶点：离心率：离心率：焦点：焦点：,xa ya,xa yR0,xyRx轴轴,y轴轴,原点原点对称，长轴长对称，长轴长为为2a,短轴长为短轴长为2b关于焦点所在轴对称关于焦点所在轴对称(0,1)cea(1,)cea(,0)2pF(,0),(0,)ab( ,0),(,0)aa (0,0)22(,0),ccab22(,0),ccab x轴轴,y轴轴,原点对原点对称，长轴长为称，长轴长为2a,短轴长为短轴长为2b无无l.FdM.l.FdM.l.FdM

3、.通径长：通径长：渐近线渐近线2pbyxa 无无无无准线准线2px 无无无无无无无无直线与圆锥曲线的交点直线与圆锥曲线的交点计算计算 注意特殊情况注意特殊情况直线与圆锥曲线的弦长直线与圆锥曲线的弦长弦长公式弦长公式直线与圆锥曲线的弦中点直线与圆锥曲线的弦中点韦达定理韦达定理或点差法或点差法)(过焦点()相交、相切和相离(1)弦长公式弦长公式),(11yx),(22yxAB 4)(1 (212212xxxxkAB),(11yx),(22yxAB 注意：注意：一直线上的任意两点一直线上的任意两点都有距离公式或弦长公式都有距离公式或弦长公式mkxy 4)(11 (212212yyyykAB(2)面积

4、求解面积求解12ABCSABd1212ABCSOCyy12222byaxmkxy消元消元一元二次方程一元二次方程0)( xf0)( yg消消y消消xOABcxy(3)直线与圆锥曲线有关弦的中点问题直线与圆锥曲线有关弦的中点问题解解题题思思路：路：直线与圆锥曲线联立消元得到一元二次方程点差法点的对称性 【技法点拨】【技法点拨】圆锥曲线定义的应用技巧圆锥曲线定义的应用技巧（1 1）在求点的轨迹问题时，若所求轨迹符合圆锥曲线的定义，）在求点的轨迹问题时，若所求轨迹符合圆锥曲线的定义，则根据其直接写出圆锥曲线的轨迹方程则根据其直接写出圆锥曲线的轨迹方程. .（2）焦点三角形问题，在椭圆和双曲线中，常涉

5、及曲线上）焦点三角形问题，在椭圆和双曲线中，常涉及曲线上的点与两焦点连接而成的的点与两焦点连接而成的“焦点三角形焦点三角形”，处理时常结合，处理时常结合圆锥曲线的定义圆锥曲线的定义及及解三角形的知识解三角形的知识解决解决.（3）在抛物线中，常利用定义，以达到）在抛物线中，常利用定义，以达到“到焦点的距离到焦点的距离”和和“到准线的距离到准线的距离”的相互转化的相互转化.例例1：(1)一动圆与两圆：一动圆与两圆：x2+y2=1和和x2+y2-6x+5=0都外切，则动圆圆心的轨都外切，则动圆圆心的轨迹为迹为( ) （A）抛物线）抛物线 （B）双曲线）双曲线 （C）双曲线的一支）双曲线的一支 （D）

6、椭圆）椭圆(2)（2011辽宁高考）已知辽宁高考）已知F是抛物线是抛物线y2x的焦点，的焦点，A，B是该抛物线上的是该抛物线上的两点，两点，|AF|BF|3，则线段，则线段AB的中点到的中点到y轴的距离为轴的距离为( ) （A） （B）1 （C） （D）5474C CC练习一：C例例2：已知点已知点P 是椭圆是椭圆 一点一点 ， F1和和F2 是椭圆的焦点，是椭圆的焦点，192522yx若若F1PF2=90，求，求 F1PF2的面积的面积若若F1PF2=60，求，求 F1PF2的面积的面积若若F1PF2=，求，求 F1PF2的面积的面积PF1F2d 改成双曲线改成双曲线呢呢?求圆锥曲线的方程求

7、圆锥曲线的方程 【技法点拨】【技法点拨】1.求圆锥曲线方程的一般步骤求圆锥曲线方程的一般步骤一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，先定形，后定式，再定量再定量”的步骤的步骤.(1)定形定形指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置.(2)定式定式根据根据“形形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2+ny2=1(m0,n0).(3)定量定量由题设中的条件找到由题设中的

8、条件找到“式式”中待定系数的等量关系，中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小通过解方程得到量的大小.2.求椭圆、双曲线的标准方程求椭圆、双曲线的标准方程最常用方法为最常用方法为定义法、待定系数法定义法、待定系数法，求解时注意有两个定形条，求解时注意有两个定形条件件(如已知如已知a，b，c，e中的任意两个中的任意两个)和一个定位条件和一个定位条件(对称轴、对称轴、焦点或准线等焦点或准线等)对于双曲线要注意双曲线对于双曲线要注意双曲线 与渐近线与渐近线 的关系，这两条渐近线方程可以合并表示为的关系，这两条渐近线方程可以合并表示为 ，一般地，与双曲线，一般地，与双曲线 有共同渐近线的双曲有共同

9、渐近线的双曲线方程是线方程是2222(0)xyab 22221(0,0)xyabab0 xyab22220 xyab22221xyab3.求抛物线标准方程求抛物线标准方程 需一个定位条件（如顶点坐标、焦点坐标或准线方程），需一个定位条件（如顶点坐标、焦点坐标或准线方程），以及一个定形条件（即已知以及一个定形条件（即已知p）4.几个注意点几个注意点（1）在求解对应圆锥曲线方程时，还要特别注意隐含条件，）在求解对应圆锥曲线方程时，还要特别注意隐含条件，如如双曲线双曲线有有c2=a2+b2，椭圆椭圆有有a2=b2+c2.（2）“求轨迹方程求轨迹方程”和和“求轨迹求轨迹”是两个不同概念，是两个不同概念

10、，“求轨求轨迹迹”除了首先要求我们求出方程，还要说明方程轨迹的形状，除了首先要求我们求出方程，还要说明方程轨迹的形状，这就需要我们对各种基本曲线方程和它的形状的对应关系了如这就需要我们对各种基本曲线方程和它的形状的对应关系了如指掌指掌.例例1：(1)已知点已知点P(3，-4)是双曲线是双曲线渐近线上的一点，渐近线上的一点，E，F是左、右两个焦点，若是左、右两个焦点，若 则双则双曲线方程为曲线方程为( )（A） （B）（C） （D）(2)（2011新课标全国高考）在平面直角坐标系新课标全国高考）在平面直角坐标系xOy中，椭圆中，椭圆C的中心为原点，焦点的中心为原点，焦点F1，F2在在x轴上，离心

11、率为轴上，离心率为 过过F1的直的直线线l交交C于于A，B两点，且两点，且ABF2的周长为的周长为16，那么，那么C的方程为的方程为_2.222221(0,0)xyabab0EP FP 221169xy22134xy22143xy221916xyC【解析】【解析】(1)(1)选选C. .不妨设不妨设E E（-c,0-c,0），），F F（c,0c,0），则），则（3+c,-43+c,-4）（3-c,-43-c,-4）=25-c=25-c2 2=0=0，所以，所以c c2 2=25.=25.可排除可排除A A、B.B.又由又由D D中双曲线的渐近线方程为中双曲线的渐近线方程为 点点P P不在其上

12、，排除不在其上，排除D,D,故选故选C.C.(2)(2)设椭圆方程为设椭圆方程为因为离心率为因为离心率为EP FP 3yx4 ，2222xy1 ab0ab22，所以所以解得解得 即即a22b2.又又ABF2的周长为的周长为AB+AF2+BF2AF1+BF1+BF2+AF2（AF1+AF2）+（BF1+BF2）2a2a4a，222b12a，22b1a2 ，所以所以4a16，a4，所以，所以所以椭圆方程为所以椭圆方程为答案：答案：b2 2，22xy1.16822xy1.168【想一想】【想一想】解答题解答题1 1的方法有哪些？解答题的方法有哪些？解答题2 2的关键点是什么？的关键点是什么？提示：提

13、示：（1 1）解答题）解答题1 1可利用排除法，也可利用待定系数法直接求解可利用排除法，也可利用待定系数法直接求解. .（2 2）解答题）解答题2 2的关键点是将过焦点的三角形的边利用椭圆定义转化的关键点是将过焦点的三角形的边利用椭圆定义转化为与长轴长为与长轴长2a2a的关系的关系. . 圆锥曲线的性质及应用圆锥曲线的性质及应用【技法点拨】【技法点拨】圆锥曲线性质的求解方法圆锥曲线性质的求解方法椭圆、双曲线、抛物线的几何性质，主要指图形的范围、对称椭圆、双曲线、抛物线的几何性质，主要指图形的范围、对称性，以及顶点坐标、焦点坐标、中心坐标、离心率、准线、渐性，以及顶点坐标、焦点坐标、中心坐标、离

14、心率、准线、渐近线以及几何元素近线以及几何元素a，b，c，e之间的关系等之间的关系等1离心率离心率求离心率时一定要尽量结合曲线对应图形，寻找与求离心率时一定要尽量结合曲线对应图形，寻找与a，b，c有有关的关系式关的关系式.对于求椭圆和双曲线的离心率，有两种方法：对于求椭圆和双曲线的离心率，有两种方法：（1）代入法就是代入公式）代入法就是代入公式 求离心率；（求离心率；（2）列方程法就）列方程法就是根据已知条件列出关于是根据已知条件列出关于a,b,c的关系式的关系式，然后把这个关系式，然后把这个关系式整体转化为关于整体转化为关于e的方程，解方程即可求出的方程，解方程即可求出e值值.cea2.范围

15、范围解答范围问题时特别注意题中隐含的不等关系，如曲线方程中解答范围问题时特别注意题中隐含的不等关系，如曲线方程中x,y的范围的范围.常用方法也有两个常用方法也有两个. （1）解不等式法，即根据题设条件列出关于待求量的不等式，）解不等式法，即根据题设条件列出关于待求量的不等式，解不等式即得其取值范围；解不等式即得其取值范围； （2）求函数值域法，即把待求量表示成某一变量的函数，函数）求函数值域法，即把待求量表示成某一变量的函数，函数的值域即为待求量的取值范围的值域即为待求量的取值范围.3.最值最值 圆锥曲线中的最值问题主要有与圆锥曲线有关的线段长度、圆锥曲线中的最值问题主要有与圆锥曲线有关的线段

16、长度、图形面积等图形面积等.研究的常见途径有两个：研究的常见途径有两个： （1）利用平面几何中的最值结论；）利用平面几何中的最值结论； （2）把几何量用目标函数表示出来，再用函数或不等式知识）把几何量用目标函数表示出来，再用函数或不等式知识求最值求最值.建立建立“目标函数目标函数”，借助代数方法求最值，要特别注意自，借助代数方法求最值，要特别注意自变量的取值范围变量的取值范围.例例1：（：（2011福建高考）设圆锥曲线福建高考）设圆锥曲线C的两个焦点分别为的两个焦点分别为F1，F2，若曲线，若曲线C上存在点上存在点P满足满足|PF1| |F1F2| |PF2|4 3 2，则曲线，则曲线C的离心

17、率等于的离心率等于( )（A） （B）（C） （D）1322或122或223或2332或【解析】【解析】选选A.设设|F1F2|2c(c0)，由已知由已知|PF1| |F1F2| |PF2|4 3 2，得得 且且|PF1|PF2|，若圆锥曲线若圆锥曲线C为椭圆，则为椭圆，则2a|PF1|PF2|4c，离心率离心率若圆锥曲线若圆锥曲线C为双曲线，为双曲线，则则 离心率离心率1284PFc PFc33，c1ea2 ；1242aPFPFc3，c3e .a2 【归纳】【归纳】解答本题的注意点解答本题的注意点. .提示：提示：解答本题对已知条件利用时，要分类讨论，同时注意对解答本题对已知条件利用时，要分

18、类讨论，同时注意对椭圆及双曲线定义的理解椭圆及双曲线定义的理解. . 直线与圆锥曲线直线与圆锥曲线【技法点拨】【技法点拨】1.直线与圆锥曲线交点问题的解题思路直线与圆锥曲线交点问题的解题思路直线与圆锥曲线的位置关系的研究可以转化为相应方程组的解直线与圆锥曲线的位置关系的研究可以转化为相应方程组的解的讨论，即联立方程组的讨论，即联立方程组 通过消去通过消去y(也可以消去也可以消去x)得到得到x的方程的方程 的形式的形式 0( , )0AxByCf x y20ax bx c 并对方程进行讨论并对方程进行讨论。这时要注意考虑这时要注意考虑a0和和a0两种情况，对双曲两种情况，对双曲线和抛物线而言，一

19、个公共点的情况除线和抛物线而言，一个公共点的情况除a0，0外，直线与双外，直线与双曲线的渐近线平行或直线与抛物线的对称轴平行或重合时，都只曲线的渐近线平行或直线与抛物线的对称轴平行或重合时，都只有一个交点有一个交点(此时直线与双曲线、抛物线属相交情况此时直线与双曲线、抛物线属相交情况). 2.中点弦问题的常规处理方法中点弦问题的常规处理方法(1)通过方程组转化为一元二次方程，结合根与系数的关系及中点通过方程组转化为一元二次方程，结合根与系数的关系及中点坐标公式进行求解；坐标公式进行求解；(2)点差法，设出两端点的坐标，利用中点坐标公式求解；点差法，设出两端点的坐标，利用中点坐标公式求解；(3)

20、中点转移法，先设出一个端点的坐标，再借助中点设出另一个中点转移法，先设出一个端点的坐标，再借助中点设出另一个端点的坐标，而后消去二次项端点的坐标，而后消去二次项.3.直线与圆锥曲线相交弦长的求解方法直线与圆锥曲线相交弦长的求解方法利用弦长公式求解：利用弦长公式求解：直线直线l:y=kx+b与圆锥曲线交于与圆锥曲线交于A（x1,y1）、）、B（x2,y2），则弦长为），则弦长为222121221221212122()()1(1)()411ABxxyykxxkxxx xyyk例例1：过点过点(0,2)与抛物线与抛物线 只有一个公共点的直线有只有一个公共点的直线有( ) （A）1条条 (B)2条条

21、(C)3条条 (D)无数多条无数多条 xy82C.P题型一：直线与圆锥曲线的位置关系题型一：直线与圆锥曲线的位置关系课堂互动讲练课堂互动讲练例例1：(2008年高考北京卷年高考北京卷)已知已知ABC的顶点的顶点A，B在椭圆在椭圆x23y24上，上，C在直线在直线l：yx2上，且上，且ABl.(1)当当AB边通过坐标原点边通过坐标原点O时，求时，求AB的长及的长及ABC的面积；的面积；(2)当当ABC90，且斜边，且斜边AC的长最大时，求的长最大时，求AB所在直线的方程所在直线的方程【思路点拨】【思路点拨】(1)首先由条件求出直线首先由条件求出直线AB的方程，然后联的方程，然后联立直线与椭圆的方

22、程，整理成关于立直线与椭圆的方程，整理成关于x的一元二次方程，利用根的一元二次方程，利用根与系数的关系求出弦长与系数的关系求出弦长|AB|，进而求出，进而求出ABC的面积；的面积；(2)首先用待定系数法设出直线首先用待定系数法设出直线AB的方程，然后建立斜边的方程，然后建立斜边长长|AC|是某一变量的函数关系式，最后求出函数取最大值时的是某一变量的函数关系式，最后求出函数取最大值时的变量值，进而求出直线变量值，进而求出直线AB的方程，在解题时，注意运用函数的方程，在解题时，注意运用函数的思想方法的思想方法解：解：(1)因为因为ABl，且，且AB边通过点边通过点(0,0)，所以，所以AB所在直线

23、的方程为所在直线的方程为yx.设设A，B两点坐标分别为两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)课堂互动讲练课堂互动讲练221234,122 212,22ABCxyxyxABxxABhlhSAB h 由得所以又因为边上的高 等于原点到直线的距离，所以课堂互动讲练课堂互动讲练2222(2)3446340AByxmxyxmxmyxm设所在直线的方程为由21122,12640,( ,),(,)A BmA Bx yxy 因为在椭圆上，所以设两点坐标分别为课堂互动讲练课堂互动讲练21212212334,2432622(0,)22mxxm x xmABxxBCmlmBC 则所以又因为的长等于点到直线 的

24、距离即所以所以|AC|2|AB|2|BC|2m22m10(m1)211.所以当所以当m1时，时，AC边最长边最长(这时这时12640)此时此时AB所在直线的方程为所在直线的方程为yx1.例例3：(1)求抛物线求抛物线y2 = 2x过点过点(-2,0)的弦的中点轨迹的弦的中点轨迹(2)求椭圆求椭圆14322 yx的一组斜率为的一组斜率为2的平行弦的平行弦中点轨迹中点轨迹直直线线方方程程。所所在在平平分分的的弦弦被被点点求求双双曲曲线线PQpyx)1 , 2(1222 (3).2222(2)1259(1)1,|.xyABxyAB是椭圆上任意一点， 为圆上任意一点 求的范围例例2:(1)求椭圆求椭圆

25、 上的点上的点22194xy与定点与定点(0,1)的最大距离；的最大距离；与直线与直线2x-y+10=0的最大距离。的最大距离。22(3, 2),(2, 0)131,|2yAFxPPAFP已知点，在双曲线上求一点例使3：最小. 分类讨论思想分类讨论思想【技法点拨】【技法点拨】分类讨论思想的认识及应用分类讨论思想的认识及应用分类讨论思想，实际上是分类讨论思想，实际上是“化整为零，各个击破，再积零为整化整为零，各个击破，再积零为整”的策略的策略. .分类讨论时应注意理解和掌握分类的原则、方法和技分类讨论时应注意理解和掌握分类的原则、方法和技巧，做到确定对象的全体，明确分类的标准，不重不漏地讨论巧，

26、做到确定对象的全体，明确分类的标准，不重不漏地讨论. .例例1：椭圆的中心是坐标原点，长轴在椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率轴上，离心率已知点已知点 到这个椭圆上点的最远距离为到这个椭圆上点的最远距离为 求这个椭圆方求这个椭圆方程，并求椭圆上到点程，并求椭圆上到点P的距离为的距离为 的点的坐标的点的坐标.【解析】【解析】设椭圆方程为设椭圆方程为由由a2=b2+c2得得a=2b,故椭圆方程可化为故椭圆方程可化为 设设M（x,y）是椭圆上任意一点，则是椭圆上任意一点，则x2=4b2-4y2.3e,23P 0,2()7，2222xy1 ab0 ,ab（ ）22c33e,ca ,a24222

27、2xy1 b0 ,4bb（ ）7-byb（讨论（讨论 与与-b,b间的关系），间的关系），若若 则当则当 时，时，若若 则当则当y=-b时，时， 2222222222399PMxy4b4yy3y3y3y4b24413 y34b .2 （）（）121b,21y2 2maxPM34b7,b1.10b,2 矛盾矛盾. .综上所述综上所述b=1,b=1,故所求椭圆方程为故所求椭圆方程为: : 时，时，椭圆上到椭圆上到P P点的距离为点的距离为 的点有两个，分别为的点有两个，分别为2max3PMb7,2331b7,b7b222（）与 22xy1.4maxPM7 1y,x3.2 71( 3)2，13.2(

28、，)【思考】【思考】分类讨论解题的一般步骤是怎样的？分类讨论解题的一般步骤是怎样的？提示：提示：分类讨论解题的一般步骤为：分类讨论解题的一般步骤为：确定分类标准及对象；确定分类标准及对象；进行合理地分类；进行合理地分类；逐类进行讨论；逐类进行讨论；归结各类结果归结各类结果. .2.椭圆椭圆 与双曲线与双曲线 有相同的焦点，则有相同的焦点，则a的值的值是是( )（A）2 （B）1 （C） （D）3【解析】【解析】选选B.因椭圆因椭圆 与双曲线与双曲线 有相同的焦有相同的焦点，所以有点，所以有0a2且且4-a2=a+2得得a2+a-2=0，得，得a=1.222xy14a22xy1a22222xy1

29、4a22xy1a23.求过定点求过定点A（-5,0）且与圆）且与圆x2+y2-10 x-11=0相外切的动圆的相外切的动圆的圆心轨迹是圆心轨迹是( )（A） （B）（C） （D）22xy1 x3169（）22xy1 x3916（）22xy1 x3916 （）22xy1 x3169 （）【解析】【解析】选选B.x2+y2-10 x-11=0化为标准形式是（化为标准形式是（x-5）2+y2=36，则圆心，则圆心为为B（5,0）,半径为半径为6，设动圆的圆心为，设动圆的圆心为M（x,y），），则当两圆外切时，有则当两圆外切时，有MB=6+MA，则，则MB-MA=6，符合双曲线定义，符合双曲线定义，M

30、为双曲线左支，其中为双曲线左支，其中2a=6,2c=10，则，则b=4，所以双曲线方程为所以双曲线方程为22xy1 x3916 （）.4.4.（20122012新课标全国高考）等轴双曲线新课标全国高考）等轴双曲线C C的中心在原点，焦的中心在原点，焦点在点在x x轴上，轴上，C C与抛物线与抛物线y y2 2=16x=16x的准线交于的准线交于A A，B B两点，两点，|AB|=|AB|= 则则C C的实轴长为的实轴长为( )( )（A A） （B B） （C C）4 4 （D D）8 8【解析】【解析】选选C.C.设双曲线的方程为设双曲线的方程为 抛物线的准抛物线的准线为线为x=-4x=-4

31、，且，且 故可得故可得 将点将点A A坐坐标代入双曲线方程得标代入双曲线方程得a a2 2=4=4，故，故a=2a=2，故实轴长为，故实轴长为4.4.4 3，22 22222xy1 a0aa（），AB4 3，A4,2 3 B4, 2 3 ,(), ()5.5.已知椭圆中心在原点，一个焦点为已知椭圆中心在原点，一个焦点为 且长轴长是短且长轴长是短轴长的轴长的2 2倍，则该椭圆的标准方程是倍，则该椭圆的标准方程是_【解析】【解析】依题意，得依题意，得 2a2a2 22b2b，即，即a a2b2b，又，又a a2 2b b2 2c c2 2，解之得，解之得a a4 4，b b2.2.椭圆标准方程为椭圆标准方程为答案：答案：F( 2 3 0)，c2 3，22xy1.16422xy11646.6.设双曲线：设双曲线： 的焦点为的焦点为F F1 1，F F2 2，离心率为，离心率为2