大学物理第06章_振动

1、 第第6 6章章 振动振动 6.1 简谐振动的描述简谐振动的描述6.2 简谐振动的动力学简谐振动的动力学6.3 简谐振动的能量简谐振动的能量6.4 阻尼振动阻尼振动6.5 受迫振动受迫振动 共振共振6.6 同一直线上同频率同一直线上同频率 的简谐振动的合成的简谐振动的合成6.7 同一直线上不同频率的简谐振动的合成同一直线上不同频率的简谐振动的合成6.8 谐振分析谐振分析6.9 两个互相垂直的简谐振动的合成两个互相垂直的简谐振动的合成 物体在一定的位置附近作来回往复的运动。物体在一定的位置附近作来回往复的运动。机械振动：机械振动：振动：振动：任何一个物理量任何一个物理量在某个确定的数值附近作在某

2、个确定的数值附近作周期性的变化。周期性的变化。波动：波动：振动状态在空间的传播。振动状态在空间的传播。任何复杂的振动都可任何复杂的振动都可以看作是由若干个简以看作是由若干个简单而又基本振动的合单而又基本振动的合成。这种简单而又基成。这种简单而又基本的振动形式称为本的振动形式称为简简谐运动谐运动。一、简谐运动的基本特征 tAxcos简谐运动表达式：简谐运动表达式：简谐运动：简谐运动：物体的运动遵从余弦（或正弦）规律。物体的运动遵从余弦（或正弦）规律。)2cos()sin(ddmttAtxvv简谐运动的速度：简谐运动的速度：简谐运动的加速度：简谐运动的加速度：)cos()cos(ddm2tatAt

3、avOTAtxax,vAAavOA2tAxcos 周期周期 T：完成一次全振动所经历的时间。完成一次全振动所经历的时间。A ：振幅振幅 ，（最大位移，（最大位移，x =A ） ：角频率角频率 ， （圆频率）（圆频率）频率频率 ：单位时间内完成全振动的次数。单位时间内完成全振动的次数。2T2 ：振动的：振动的“初相位初相位 ”。（ t + ) ：振动的：振动的“相位相位 ”。弹簧振子的频率弹簧振子的频率: 122km弹簧振子的周期弹簧振子的周期: 22mTk结论：结论：弹簧振子的振动频率和周期仅与振子本身的性弹簧振子的振动频率和周期仅与振子本身的性质（质（k 和和 m）有关，而与其它因素无关。）

4、有关，而与其它因素无关。 由振动系统本身的固有属性所决定的频率和周由振动系统本身的固有属性所决定的频率和周期称为期称为固有频率固有频率和和固有周期固有周期。 相位差相位差 =( 2 t+ 2)-( 1 t+ 1)对两对两同频率同频率的谐振动的谐振动 = 2- 1初相差初相差 同相和反相同相和反相当当 = 2k , ( k =0,1,2,), 两振动步调相同两振动步调相同, ,称称同相同相。当当 = (2k+1) , ( k =0,1,2,), 两振动步调相反两振动步调相反 , 称称反相反相。x2TxoA1-A1A2- A2x1t反相反相txoA1-A1A2- A2x1x2T同相同相超前和落后超

5、前和落后若若 = 2- 10, 则则 x2比比x1较早达到正最大较早达到正最大, 称称x2比比x1超前超前 (或或x1比比x2落后落后)。领先、落后领先、落后以以 的相位的相位角来判断角来判断规定规定| | 0)(costAxtxcos12. 00.06 =0.12 cos 3cos210sin0Av0sin3振动方程：振动方程： )3cos(12.0txyx3315 . 05 . 05 . 0sm189. 0)3sin(12. 0ddtttttxv25 . 025 . 05 . 0sm103. 0)3cos(12. 0ddtttttav设在某一时刻设在某一时刻 t1， x = - 0.06

6、m)3(cos12. 006. 01t代入振动方程：代入振动方程：21)3(cos1t343231或tstt132311yx3234stt61123322sttt65161112第二次经过第二次经过平衡位置的平衡位置的时间？时间？例例2. 两质点作两质点作同方向同方向、同频率的简谐振动，振幅相、同频率的简谐振动，振幅相等。当质点等。当质点1在在 x1= A/2 处，且向左运动时，另一个质处，且向左运动时，另一个质点点2在在 x 2= -A/2 处，且向右运动。求这两个质点的相处，且向右运动。求这两个质点的相位差。位差。)(cos11tAx)(cos21tAA31t0)(sin1t0)(sin1

7、1tAv31t解：解：A-AoA/2/2- -A/2/2322t)cos(22tAA0)(sin22tAv322t)()(21tt)32(3A-AoA/2/2- -A/2/20sint例例3. 已知一谐振子的振动曲线如图已知一谐振子的振动曲线如图. (1) 求求a, b, c, d, e各状态的相位各状态的相位; (2) 写出振动表达式写出振动表达式; (3) 画出旋转矢画出旋转矢量图量图;解：解：a0t/sb2.5-2.55.0-5.0cde1.02.2x/cm0cos()xAt0aaxAt23bbAxt22ccAxt223ddAxt 423eeAxt 注意速度及加速度方向的判断注意速度及加

8、速度方向的判断!(2) 0cos()xAt0.05Am00 ,23Ats x 而从图中可看出此时速度是沿而从图中可看出此时速度是沿x正方向正方向!003v 252(2.21.0),650.05cos()63TTxt(3) 0 x03 Axo一、简谐运动的动力学方程 弹簧振子：弹簧振子： 一根轻弹簧和一个刚体构成的一个一根轻弹簧和一个刚体构成的一个 振动系统。振动系统。Fx根据胡可定律：根据胡可定律：（k为劲度系数）为劲度系数）xkF回复力：回复力： 始终指向平衡位置的作用力始终指向平衡位置的作用力（1 1） 在弹性限度内，弹性力在弹性限度内，弹性力F F 和位移和位移x x 成正比。成正比。（

9、2 2） 弹性力弹性力F F 和位移和位移x x 恒反向，始终指向平衡位置。恒反向，始终指向平衡位置。由牛顿第二定律：由牛顿第二定律：xktxmF22ddxmktx22dd得得: :令令mkxdtxd222xkFxtx222ddtAxcos简谐运动的三项基本特征：简谐运动的三项基本特征： 由初始条件定出振幅和初相位设设 t = 0时，振动位移：时，振动位移：x = x0 振动速度：振动速度：v = v0)(costAxcosAxo)(sintAvsinAvo2020vxAcosAxosinAvo2222222)cos(sinAAvxooooxvtg例例4. 质量为质量为m的比重计，放在密度为的

10、比重计，放在密度为 的液体中。的液体中。已知比重计圆管的直径为已知比重计圆管的直径为d。试证明，比重计推动后，。试证明，比重计推动后，在竖直方向的振动为简谐振动。并计算周期。在竖直方向的振动为简谐振动。并计算周期。解：解：取平衡位置为坐标原点取平衡位置为坐标原点平衡时：平衡时：0 Fmg浮力：浮力： VgF其中其中V 为比重计的排水体积为比重计的排水体积0mgF2222dtxdmgxdVmgxmgddtxd42222222dtxdmxdgVgmg0 xxmgd2gmdT42例例5: 两弹簧如图与一物体相连两弹簧如图与一物体相连, 试写出物体动力学方试写出物体动力学方程及振动周期程及振动周期.

11、(1)m1k2km1k2k(1)(2)12()fkxk xx 动力学方程为动力学方程为:21 2212k kd xfxmkkdt 121 2()2m kkTk k解：解：121()kxxff 1 212k kkkk (2) 平衡位置时平衡位置时, k1x1=k2x2m1k2k0 x1x2xx 现假设物体偏离右方现假设物体偏离右方x, 则则:2211()()fk xxk xx2122()d xkk xmdt 12()kkk 122mTkk)(sin21212222tAmmvEk)(cos2121222tkAkxEpkm2振子动能：振子动能：振子势能：振子势能：xxovtxEkEtpEOO谐振系统

12、的总机械能：谐振系统的总机械能：pkEEE)(costAxtAmEk222sin21tkAEp22cos21km22222212121mmvAmkAE（1 1） 振子在振动过程中，动能和势能分别随时间振子在振动过程中，动能和势能分别随时间变化，但任一时刻总机械能保持不变。变化，但任一时刻总机械能保持不变。（2 2） 动能和势能的变化频率是弹簧振子振动频动能和势能的变化频率是弹簧振子振动频率的两倍。率的两倍。（3 3）频率一定时，谐振动的总能量与振幅的平方）频率一定时，谐振动的总能量与振幅的平方成正比。（适合于任何谐振系统）成正比。（适合于任何谐振系统）结论结论：kEEpExOpEAA2p21k

13、xE 弹性势能弹性势能pkEEE221kAEEEkpEAkkxEAxp4122121222时：当例例6 . 当简谐振动的位移为振幅的一半时，其动能和当简谐振动的位移为振幅的一半时，其动能和势能各占总能量的多少？势能各占总能量的多少？ 物体在什么位置时其动能物体在什么位置时其动能和势能各占总能量的一半？和势能各占总能量的一半？解：解：EEEEpk43220212121kAkxAAx707.02104-2-1 简谐运动的合成 1. 两个同方向、同频率的简谐运动的合成两个同方向、同频率的简谐运动的合成 某一质点在直线上同时参与两个独立的同频某一质点在直线上同时参与两个独立的同频率的简谐运动，其振动表

14、达式分别表示为：率的简谐运动，其振动表达式分别表示为：)cos(111tAx)cos(222tAx1xx11A21AAA21xxx)cos(tAx2x2A2xA 一个质点参与两个在同一直线上频率相同的简谐运动，其合成运动仍为简谐运动。结论：)cos(212212221AAAAA221122111coscossinsinAAAAtg,2, 1,02:)1(12kk若212122212:AAAAAAA则,2, 1,0)12(:)2(12kk若212112212:AAAAAAA则12cos(0 )cos().cos(1) nxatxatxatn123.cos()sin(/2)(1)cossin( /

15、2)2nxxxxxAtnnatACnRROOM特例特例 N个同频同幅恒量相差简谐振动合成个同频同幅恒量相差简谐振动合成2 sin( )2aR2 sin()2nARsin()/sin( )22nAa0sin(/ 2)limsin(/ 2)nAana (2)2/()knknk sin()0sin(/)kAakn (1)若各分振动同相若各分振动同相(取取k=0) 20k COOCOM()()2222n(1)2n光干涉与衍光干涉与衍射规律时有射规律时有重要应用重要应用!如如:4,1,2,3()nknk例例7 . 两个同方向的简谐振动曲线两个同方向的简谐振动曲线(如图所示如图所示) 1、求合振动的振幅。

16、、求合振动的振幅。2、求合振动的振动方程。、求合振动的振动方程。12AAA1AA解：解：T20cos11A22110cos22A2222x2A1AT)(1tx)(2txt2A)22cos(12tTAAx2:由矢量图解题思路解题思路1. 分析相位关系并给出合振幅分析相位关系并给出合振幅;2. 分别画出旋转矢量图分别画出旋转矢量图;3. 由合成相图写出振动方程由合成相图写出振动方程;例例8 . 三个同方向三个同方向, 同频率的简谐运动为同频率的简谐运动为: 1230.08 cos(314)0.08 cos(314)6250.08 cos(314)6xtxtxt求求: (1) 合振动的角频率合振动的

17、角频率, 振幅振幅, 初相及振动表达式初相及振动表达式;(2) 合振动由初始位置运动到合振动由初始位置运动到 (A为合振动振幅为合振动振幅)所要的最短时间所要的最短时间;22xA(1) 首先画出旋转矢量图首先画出旋转矢量图xo61A2A22A3A56解：解：解题思路解题思路1. 分别画出旋转矢量图分别画出旋转矢量图;2. 分析合成相图并写出振动方程分析合成相图并写出振动方程;3. 由角位移计算时间由角位移计算时间;020.16cos(314)2xt54(2) 如图所示如图所示, 合振动矢量要合振动矢量要 转动角位移转动角位移 , 故故:5 /45/12.54tms1314s31222AAAAx

18、o61A2A22A3A56相对于相对于 的转动角速度：的转动角速度：2A1A两矢量同向重合时：两矢量同向重合时：合振动振幅合振动振幅 极大极大A合振动振幅合振动振幅 极小极小A两矢量反向重合时：两矢量反向重合时：合振动的振幅时强时弱的现象合振动的振幅时强时弱的现象121AxO212A121A2AAA12122122T拍的周期：拍的周期：拍的频率：拍的频率：)cos(11tAx)cos(22tAx12122121cos()cos()2 coscos()22xxxAtAtAtt1212当当ttAx2cos2cos212123. 3. 相互垂直的简谐运动的合成相互垂直的简谐运动的合成 两个同频率相互

19、垂直简谐运动的合成两个同频率相互垂直简谐运动的合成 )cos(22tAy222sinsincoscosttAy)cos(11tAx111sinsincoscosttAx)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAxyx结论：结论：两相互垂直同频率简谐运动的合成其振动轨两相互垂直同频率简谐运动的合成其振动轨迹为一椭圆迹为一椭圆( (又称又称“椭圆振动椭圆振动”) )。椭圆轨迹的形状。椭圆轨迹的形状取决于振幅和相位差。取决于振幅和相位差。讨论：时或)2(012k01212AAxAAy斜率0221222212AAxyAyAx0221AyAxyx1222212AyAxyx结论：结论：

20、质点振动轨迹为正椭圆质点振动轨迹为正椭圆212212k或)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAx)(sin)cos(21221221222212AAxyAyAx1212k0:,1212AAxAAy斜率0221222212AAxyAyAx0221AyAx结论：结论：质点作线振动质点作线振动xy利萨如图形 012两个频率比为两个频率比为1:2的简谐运动的合成的简谐运动的合成 tAtAxxx2coscos2121x1x2xxtTT2 如果将一系列角频如果将一系列角频率是某个基本角频率率是某个基本角频率（亦称主频）的整数倍（亦称主频）的整数倍的简谐运动叠加，则其的简谐运动叠加，

21、则其合振动仍然是以合振动仍然是以为角为角频率的周期性振动，但频率的周期性振动，但一般不再是简谐运动。一般不再是简谐运动。 xtO 一个以一个以为频率的周期为频率的周期性函数性函数 f (t)，可以用傅里叶可以用傅里叶级数的余弦项表示为：级数的余弦项表示为： 10)cos()(nnntnAAtf：主频：主频n：n 次谐频次谐频tOxttttOOOO4-3-1 阻尼振动 阻尼振动：阻尼振动：振动系统在回复力和阻力作用下发振动系统在回复力和阻力作用下发生的减幅振动。生的减幅振动。txFddv ：阻尼系数阻尼系数 oxxrfxkfmmk2 ,20令令0dd2dd2022xtxtx0：无阻尼时振子的固有

22、频率：无阻尼时振子的固有频率 ：阻尼因子：阻尼因子txkxtxmdddd22动力学方程动力学方程tAexot22cos方程解：方程解：222oT周期：周期：tAextcos22o角频率：角频率：tOxAA22讨论：讨论：tAext22cos3. 3. 当（当（ ）时，为）时，为“临界阻尼临界阻尼”情况。是质点情况。是质点不作往复运动的一个极限。不作往复运动的一个极限。2222tAe1. 1. 阻尼较小时（阻尼较小时（ ），振动为减幅振动，振幅），振动为减幅振动，振幅 随时间按指数规律迅速减少。阻尼越大，减随时间按指数规律迅速减少。阻尼越大，减幅越迅速。振动周期大于自由振动周期。幅越迅速。振动周

23、期大于自由振动周期。22tAe222. 2. 阻尼较大时（阻尼较大时（ ），振动从最大位移缓慢回），振动从最大位移缓慢回到平衡位置，不作往复运动。到平衡位置，不作往复运动。22a：小阻尼小阻尼b：过阻尼过阻尼c：临界阻尼临界阻尼oxx4-3-2 受迫振动和共振 系统在周期性的外力持续作用系统在周期性的外力持续作用下所发生的振动。下所发生的振动。受迫振动：受迫振动：策动力：策动力：周期性的外力周期性的外力1. 1. 受迫振动受迫振动设：设：tFFcos0rfxkfFtFtxkxtxmcosdddd022由牛顿第二定律由牛顿第二定律mFfmmk0020,2,令tfxtxtxcosdd2dd0202

24、2tAtAxtcoscose02200方程的解：方程的解：稳定后的振动表达式：稳定后的振动表达式：tAxcos结论：结论：受迫振动的频率与策动力的频率相等。受迫振动的频率与策动力的频率相等。 受迫振动的振幅：受迫振动的振幅： 22222004fA受迫振动的初相位：受迫振动的初相位： 2202arctg结论：结论：稳态响应的振幅与外力幅值成正比稳态响应的振幅与外力幅值成正比。 共振：共振：当策动力的频率为某一特定值时，当策动力的频率为某一特定值时，受迫振动的振幅将达到极大值的现象。受迫振动的振幅将达到极大值的现象。2. 2. 共振共振04dddd2222200fA求极值：求极值：共振频率：共振频

25、率： 220r22200r2fA共振振幅：共振振幅： 0为固有频率为固有频率Ao大阻尼大阻尼小阻尼小阻尼零阻尼零阻尼r 阻尼系数阻尼系数 越小，越小，共振角频率共振角频率 r r越接近越接近于系统的固有频率于系统的固有频率 O O ，同时共振振幅，同时共振振幅A Ar r也越大。也越大。结论：tAsinv受迫振动的速度：受迫振动的速度：22222004fAmaxv速度幅：速度幅：0时，速度幅极大时，速度幅极大在速度共振条件下稳态振动的初相位为在速度共振条件下稳态振动的初相位为 2tAcosv结论：结论：速度和策动力有相同的相位。即策动力对速度和策动力有相同的相位。即策动力对振动系统始终做正功。

26、振动系统始终做正功。 速度共振速度共振又称又称能量共振能量共振！ 1940年，年，Tacoma Narrows大桥在通车大桥在通车4个月零个月零6天后因大风引起扭转振动，又因振动频率接近于大天后因大风引起扭转振动，又因振动频率接近于大桥的共振频率而突然坍塌。桥的共振频率而突然坍塌。 例例7. 一物体悬挂在弹簧下作阻尼振动。开始时其振一物体悬挂在弹簧下作阻尼振动。开始时其振幅为幅为120 mm，经过，经过2.4分钟后，振幅减为分钟后，振幅减为60 mm。问：。问：（1）如振幅减至）如振幅减至30 mm时需要经历多长时间。（时需要经历多长时间。（2）阻尼系数为多少？阻尼系数为多少？解：解： 阻尼振

27、动方程阻尼振动方程tAextcostoeAAAAeottAAoln131081. 4604 . 260120lns取两不同的时刻取两不同的时刻 t1和和 t22211lnlntAAtAAoostAAAAtoo288604 . 260120ln30120lnlnln11222AAost144604 . 211AAost2882sttt144124-4-1 非线性振动设一个质点和一个理想弹簧构成一个振动系统设一个质点和一个理想弹簧构成一个振动系统 )(xFs弹性力：弹性力：阻力：阻力：yxFfdd策动力策动力 ：)(tFp)(dd)(dd22tFtxFxFtxmpfs系统的运动方程：系统的运动方程

28、：mtFtxmFmxFttxxfpfs)(dd)(,dd,令令0,dd,dd22ttxxftxttxxf,dd,是一个关于是一个关于txxdd,的一次幂函数的一次幂函数 二阶线性微分方程：二阶线性微分方程： 二阶非线性微分方程：二阶非线性微分方程： ttxxf,dd,是一个关于是一个关于txxdd,的二次或高次幂函数的二次或高次幂函数 Ol mgT22sindtsdmmgls 22sindtdmlmg单摆 0sindd22lgt ! 5! 3sin53很小，（很小，（ 5） sinlgt22dd得线性方程：得线性方程：简谐运动简谐运动若若不是很小，则不是很小，则 至少要保留至第二项。至少要保留至第二项