第二三、四次课、夫琅和费衍射概要

1、1内容内容第二十三、四次课、夫琅和费衍射第二十三、四次课、夫琅和费衍射一、夫琅和费衍射的观察一、夫琅和费衍射的观察二、夫琅和费衍射的傅立叶变换处理二、夫琅和费衍射的傅立叶变换处理 三、单缝的夫琅和费衍射图形三、单缝的夫琅和费衍射图形 四、直边的夫琅和费衍射四、直边的夫琅和费衍射 五、矩孔的夫琅和费衍射五、矩孔的夫琅和费衍射 六、矩孔二值位相物体的衍射六、矩孔二值位相物体的衍射 七、圆孔的夫琅和费衍射图形七、圆孔的夫琅和费衍射图形 八、夫琅和费衍射中的八、夫琅和费衍射中的Babinet互补规律互补规律 九、随机颗粒的夫琅和费衍射九、随机颗粒的夫琅和费衍射 十、衍射图形与光波所受的限制之间的关系十

2、、衍射图形与光波所受的限制之间的关系2夫琅和费夫琅和费(Fraunhofer Joseph von ) (1787.3.61826.6.7)德国物理学家和德国物理学家和光学技师光学技师 发明和创造：发明和创造：1、首用几何光学理论设计和制、首用几何光学理论设计和制造了消色差透镜；造了消色差透镜； 2、首用牛顿环方法检查光学表面、首用牛顿环方法检查光学表面加工精度及透镜形状；加工精度及透镜形状； 3、制造大型折射望远镜；、制造大型折射望远镜； 4、发现并仔细研究了太阳光谱中的、发现并仔细研究了太阳光谱中的576条暗线条暗线(夫琅和费线夫琅和费线) 5、仔细研究平行光照射的单缝衍射、仔细研究平行光

3、照射的单缝衍射(夫琅和费衍射夫琅和费衍射) 6、研制金属线光栅、研制金属线光栅(260条条)、刻划玻璃光栅、刻划玻璃光栅(3200条条/巴黎寸巴黎寸) 给出光栅方程给出光栅方程7、发现增透膜、发现增透膜 3菲涅耳菲涅耳(Augustin-Jean Fresnel) (1788.5.101827.7.14)法国土木工程师，法国土木工程师，物理学家，物理光学的缔造者之一物理学家，物理光学的缔造者之一 贡献：贡献：1、菲涅耳公式；、菲涅耳公式； 3、惠更斯、惠更斯菲涅耳原理；菲涅耳原理； 2、菲涅耳双面镜干涉；、菲涅耳双面镜干涉； 4、菲涅耳衍射：论文、菲涅耳衍射：论文光的衍射光的衍射及关于反射光栅

4、、菲涅及关于反射光栅、菲涅耳波带片；菲涅耳透镜；菲涅耳圆孔等的讨论耳波带片；菲涅耳透镜；菲涅耳圆孔等的讨论5、光波是横波；、光波是横波；6、发现光的圆偏振、椭圆偏振现象、发现光的圆偏振、椭圆偏振现象 7、解释旋光现象、麻吕斯实验定律、双折射现象、解释旋光现象、麻吕斯实验定律、双折射现象 8、1818年提交的论文系统地阐述了光的波动说，解释了当时年提交的论文系统地阐述了光的波动说，解释了当时出现的几乎一切的光学现象出现的几乎一切的光学现象 4xfFL图图1 借助薄透镜观察夫琅和费衍射图形借助薄透镜观察夫琅和费衍射图形一、夫琅和费衍射的观察一、夫琅和费衍射的观察5在采用图在采用图1的装置时，夫琅和

5、费衍射的相关公式中的的装置时，夫琅和费衍射的相关公式中的d要换成要换成焦距焦距，即有：，即有： fxffyf(1)和：和： )2(exp1)2(exp),(2222fyxfjkfjfyxfjkfKyxg(2)暗含的暗含的 d 变成变成的公式为的公式为： ddffjAffa)(2exp),(),(3)E(P)=E(x，y)=g(x，y)a(f，f) (4) 二、夫琅和费衍射的傅立叶变换处理二、夫琅和费衍射的傅立叶变换处理因此，只要求出衍射屏物体出射面上的复振幅因此，只要求出衍射屏物体出射面上的复振幅A(，)的傅里的傅里叶变换叶变换a(、)，便可立即写出，便可立即写出E(x、y)。6观察屏面上夫琅

6、和费衍射图形的辐照度分布则为：L(x，y)=E(x, y)E*(x, y)=g(x，y)g*(x，y)a(f，f)a*(f, f)2)(1),(),(fyxgyxg)2(exp1)2(exp),(2222fyxfjkfjfyxfjkfKyxg(2)L(x，y)= a(f，f)a*(f，f) (5) 2)(1f可见，利用傅立叶变换处理夫琅和费衍射问题是很简单的：可见，利用傅立叶变换处理夫琅和费衍射问题是很简单的：首先根据实际情况确定首先根据实际情况确定A(，)；然后将其作傅立叶变换得到然后将其作傅立叶变换得到a(f，f)，然后代到然后代到(4)中，结合中，结合(1)和和(2)得到观察屏上的光场分

7、布得到观察屏上的光场分布E(x、y)；最后代到最后代到(5)中得到观察屏上的辐照度分布。中得到观察屏上的辐照度分布。 7L2L1Syxf图图2 单缝衍射装置单缝衍射装置(点光源照射点光源照射)三、单缝的夫琅和费衍射图形三、单缝的夫琅和费衍射图形8图图3 线光源照射单缝产生夫琅和费衍射线光源照射单缝产生夫琅和费衍射9图图4 单缝衍射问题的平面图单缝衍射问题的平面图RxPFfa/2-a/2M()LQ10根据傅里叶变换的思想，利用根据傅里叶变换的思想，利用(1)(4)式，可以直接计算式，可以直接计算上的光上的光场分布场分布E(P)。为便于理解，仅考虑在单位强度的平面波正入射的情况时，为便于理解，仅考

8、虑在单位强度的平面波正入射的情况时，B(，)=1，所以：，所以：A(，)=T(，)=rect(/a) (6)11/ 21/ 2( )01/ 21/ 2xrect xxorx (7)则则A(，)的傅里叶变换的傅里叶变换a (f，f)为：为： )()(sin)2exp()2exp()(2exp)(),(2/2/fafcadfjdfjddffjarectffaaa (8)“矩形函数矩形函数” ：sinc函数：sinc(x)=sin(x) /(x) (9)Dirac函数11将将(8)式代入式代入(4)式并利用式并利用(2)和和(1)式，得：式，得： )()(sin)0()()(sin)2(exp1),

9、()2(exp1),()(2222fyfaxcEfyfaxcafyxfjkfjffafyxfjkfjyxEPE(10)2(exp)0(22fyxfjkfjaE(11)将将(8)代入代入(5)式，得到观察面式，得到观察面上沿上沿x轴分布的辐照度为：轴分布的辐照度为： )(sin)0()(2faxcLxL(12)22(0)()aLf(13)为为F点的辐照度。点的辐照度。 12( )(0) sin ()()axyE PEcfffax) 0 ()(ExE(a)、相对振幅分布相对振幅分布fax) 0 ()(LxL(b)、辐照度分布辐照度分布(10)(sin)0()(2faxcLxL(12)(c)、线光源

10、照明的单缝夫、线光源照明的单缝夫琅和费衍射照片琅和费衍射照片衍射图形以点衍射图形以点x=0为中心沿正负为中心沿正负x轴轴对称地扩散。对称地扩散。中央有一亮条纹中央有一亮条纹(若是点光源照明，若是点光源照明，则形成亮斑则形成亮斑)，称为，称为中央亮纹中央亮纹(斑斑)，两侧有一些较弱的两侧有一些较弱的亮纹亮纹(斑斑)，各亮纹，各亮纹(斑斑)由照度为零的暗区隔开。由照度为零的暗区隔开。13( )(0) sin ()()axyE PEcff(10)0(21)2axkfk, 2 , 1, 2 , 1kk中央亮纹暗纹亮纹获得获得明暗条纹条件明暗条纹条件为为： 式中式中 k 称为称为衍射级次衍射级次，正负号

11、正负号“”表示明暗表示明暗条纹对称分布在中央明条纹对称分布在中央明纹的两侧纹的两侧。RxPFfa0/2-a0/2M()LQ称为衍射角衍射角。在菲涅耳近似下，有在菲涅耳近似下，有：(14)sinxtgf14于是有于是有： 2) 12(0sinkka, 2 , 1, 2 , 1kk亮纹暗纹中央亮纹(15) 定义相邻暗条纹之间的距离为定义相邻暗条纹之间的距离为亮纹的宽度亮纹的宽度。两个第一级暗条纹中心间的距离即为两个第一级暗条纹中心间的距离即为中央明纹的宽度中央明纹的宽度。akfx(17)通常衍射角很小通常衍射角很小，(14)sintgsinxtgfxf(16)观察屏上各级暗条纹的中心与中央明纹中心

12、的距离为观察屏上各级暗条纹的中心与中央明纹中心的距离为： 15第一级暗纹距中心第一级暗纹距中心F F的距离为的距离为：afx1(18)中央亮纹的宽度中央亮纹的宽度w为为：w =2/a (19)afakfafkxxwkk) 1(1(20) 可见，中央明纹的宽度是其它明纹宽度的两倍。可见，中央明纹的宽度是其它明纹宽度的两倍。由由(19)还可知，中央明纹的宽度正比于波长还可知，中央明纹的宽度正比于波长，反比于缝宽，反比于缝宽a。缝。缝越窄，衍射越显著；缝越宽，衍射越不明显。越窄，衍射越显著；缝越宽，衍射越不明显。当缝宽当缝宽a时，各级衍射条纹向中央靠拢，密集得以致无法分辨，时，各级衍射条纹向中央靠拢

13、，密集得以致无法分辨，只能观察到一条明条纹，它就是透镜所形成的单缝的像，这个像只能观察到一条明条纹，它就是透镜所形成的单缝的像，这个像类似于从单缝射出的光是直线传播的平行光束。类似于从单缝射出的光是直线传播的平行光束。由此可见，光的直线传播现象是光的波长较障碍物的线度小很多由此可见，光的直线传播现象是光的波长较障碍物的线度小很多时，衍射现象不显著的情形。时，衍射现象不显著的情形。其它的任意相邻暗纹的距离其它的任意相邻暗纹的距离(明纹宽度明纹宽度)为为：16四、直边的夫琅和费衍射考虑单缝的形状，如果把狭缝一侧的挡考虑单缝的形状，如果把狭缝一侧的挡光部分去掉，就形成了半无限平面。光部分去掉，就形成

14、了半无限平面。显然它是只有一条直边的衍射物体，其显然它是只有一条直边的衍射物体，其夫琅和费衍射也可利用傅立叶变换来分夫琅和费衍射也可利用傅立叶变换来分析。析。假定由振幅为假定由振幅为1的单色平面波正入射，不难理解，这种直边衍射的单色平面波正入射，不难理解，这种直边衍射物的复振幅透射系数可表示为：物的复振幅透射系数可表示为：A(，)=step()符号函数1sgn( )01x000 xxx其傅立叶变换为：)(F0j00Fsgn(x)1step( )1 sgn( )2xx其傅立叶变换可以写成： Fstep(x)= F1+sgn(x) 21112 ( )sgn( )22jx F00根据阶跃函数的傅立叶

15、变换，有根据阶跃函数的傅立叶变换，有： )(1)(21),(ffjfffa利用利用(1)、(2)、(4)及及(5)式，可以得到直边的夫琅和费衍射的复振幅式，可以得到直边的夫琅和费衍射的复振幅和辐照度分布和辐照度分布。 172222111( , )exp()() 22211exp()() 222xyE x yjk fffjffjfxyfxyjk fjffjxff(21) 221( , )4L x yx000 xyx y 、(22) L(x)xO图6 直边夫琅和费衍射特点1：在x0的光照区和x时，时，A0，爱里斑就缩至一点，这时波动光学就过渡到几何光学，爱里斑就缩至一点，这时波动光学就过渡到几何光

16、学了。了。至此我们再次看到，虽然单缝和圆孔衍射的角宽度只相差一个至此我们再次看到，虽然单缝和圆孔衍射的角宽度只相差一个常数因子常数因子1.22，但两者均与波长，但两者均与波长成正比，与孔径成正比，与孔径、缝宽、缝宽a成成反比，所以反比，所以、a越小或越小或越大，衍射现象越显著，当越大，衍射现象越显著，当时，时，衍射现象消失。衍射现象消失。由于极大多数光学仪器都具有圆形同光孔径，所以在光学仪器由于极大多数光学仪器都具有圆形同光孔径，所以在光学仪器成像理论中，习惯将爱里斑作为衍射受限光学系统对点物成像理论中，习惯将爱里斑作为衍射受限光学系统对点物(或或点光源点光源)所成的像。所成的像。 35(二)

17、、光学仪器系统的分辨本领 瑞利判据瑞利判据(或称瑞利准则、瑞利判据或称瑞利准则、瑞利判据) 图15361、望远镜的分辨本领、望远镜的分辨本领 图图16 望远镜的分辨本领望远镜的分辨本领 D22. 10(50) 由此条件决定的两物点之间的角距离，称为望远镜的由此条件决定的两物点之间的角距离，称为望远镜的最小分辨角最小分辨角。(系统的视角放大率系统的视角放大率M=D/De)此条件表明，所用波长此条件表明，所用波长愈短或通光口径愈短或通光口径D愈大，最小分辨角就愈愈大，最小分辨角就愈小，即分辨本领放大。小，即分辨本领放大。天文望远镜物镜的直径做的很大天文望远镜物镜的直径做的很大(世界上已有直径为世界

18、上已有直径为56米的物镜米的物镜)，原因之一就是为了提高望远镜的分辨本领。原因之一就是为了提高望远镜的分辨本领。 由最小分辨角表示由最小分辨角表示 372、照相物镜的分辨本领、照相物镜的分辨本领 照相物镜一般都对较远的物体拍照，例如常用照相物镜的焦距照相物镜一般都对较远的物体拍照，例如常用照相物镜的焦距不过不过50100毫米，而被拍照的物体常在毫米，而被拍照的物体常在2米以外。因此与望远米以外。因此与望远系统相似，也可按式系统相似，也可按式(50)计算照相物镜的最小分辨角。计算照相物镜的最小分辨角。由于感光版的存在，可以说，照相系统的分辨本领取决于照由于感光版的存在，可以说，照相系统的分辨本领

19、取决于照相物镜的最小分辨角和感光材料。相物镜的最小分辨角和感光材料。Dff22. 1(51) 是在感光版上所能分辨的两像点的最小间距。是在感光版上所能分辨的两像点的最小间距。fDR22. 11(线对线对/毫米毫米) (52) 通常用通常用Rl/来表示照相物镜的分辨本领。设来表示照相物镜的分辨本领。设的单位为毫米，的单位为毫米，则则l/表示表示1毫米内所能分辨的最小线对。即：毫米内所能分辨的最小线对。即： 是物镜的相对孔径是物镜的相对孔径38八、夫琅和费衍射中的Babinet互补规律在前述的各种形状的孔径中，把开口处堵住，使其挡光，而把在前述的各种形状的孔径中，把开口处堵住，使其挡光，而把原来挡

20、光部分去掉，使其通光。于是单细狭缝变成细窄条、矩原来挡光部分去掉，使其通光。于是单细狭缝变成细窄条、矩(方方)孔变成矩孔变成矩(方方)形挡光屏，圆孔变成圆屏等等，这种情形下形挡光屏，圆孔变成圆屏等等，这种情形下的夫琅和费衍射图形分布需要借助巴比内互补屏原理来分析。的夫琅和费衍射图形分布需要借助巴比内互补屏原理来分析。把透射系数分别为把透射系数分别为T(、)和和T(、)，并且满足，并且满足T(、)+T(、)=1 (53)的两个光栏称为是的两个光栏称为是“互补互补”的。的。 T(、)不但能取不但能取0或或1两个数值，还可以任意取值、甚至取两个数值，还可以任意取值、甚至取复数值。复数值。39巴比内互

21、补屏原理可以写成：巴比内互补屏原理可以写成：E(P)+ E(P)=E(P) (54) 无限制时的复振幅分布无限制时的复振幅分布开孔开孔限制时的复振幅限制时的复振幅分布分布开孔开孔限制时的复振幅分布限制时的复振幅分布对于夫琅和费衍射，可对对于夫琅和费衍射，可对T(、)+T(、)=1 (53)进行傅立叶变换。进行傅立叶变换。40九、随机颗粒的夫琅和费衍射从圆孔衍射可知，爱里斑的半径从圆孔衍射可知，爱里斑的半径rA和圆孔半径和圆孔半径之间存在反比之间存在反比关系，因此可以根据对夫琅和费衍射图形的观测，可以求出关系，因此可以根据对夫琅和费衍射图形的观测，可以求出圆孔直径的大小。特别是应用巴比涅原理，还

22、可以测出散射圆孔直径的大小。特别是应用巴比涅原理，还可以测出散射小颗粒或者细丝直径的大小。小颗粒或者细丝直径的大小。众所周知，在天气多云时或月亮周围会出现明亮的光环，称众所周知，在天气多云时或月亮周围会出现明亮的光环，称作作日华日华或者或者月华月华，光环的视角半径在，光环的视角半径在25之间，这种天气之间，这种天气现象是由高空大气中的雾珠或冰晶的夫琅和费衍射的一级亮现象是由高空大气中的雾珠或冰晶的夫琅和费衍射的一级亮环形成的。环形成的。按照巴比涅原理，这种散射小颗粒的夫琅和费衍射图形，和按照巴比涅原理，这种散射小颗粒的夫琅和费衍射图形，和同样尺寸的小孔衍射在中心以外的各点完全相同。同样尺寸的小

23、孔衍射在中心以外的各点完全相同。处理由大量形状、尺寸相同但位置随机的小孔组成的这列的处理由大量形状、尺寸相同但位置随机的小孔组成的这列的夫琅和费衍射，可以应用傅立叶变换的平移不变性定理。夫琅和费衍射，可以应用傅立叶变换的平移不变性定理。 41 设位于光轴上的小孔的振幅透射系数为设位于光轴上的小孔的振幅透射系数为T0(，)，随机孔，随机孔阵列的振幅透射系数可以表示为：阵列的振幅透射系数可以表示为： NnnnTT10),(),(61) 设单元小孔设单元小孔T0(，)的傅立叶变换为的傅立叶变换为t0(f，f)，应用傅立叶变，应用傅立叶变换的平移定理，可得随机小孔阵列振幅透射系数为：换的平移定理，可得

24、随机小孔阵列振幅透射系数为： 01(,)exp2 (,) (,)Nnnnt ffjfftff(62) 如果对小孔阵列的照明是非相干的，则它的夫琅和费衍射的辐如果对小孔阵列的照明是非相干的，则它的夫琅和费衍射的辐照度应等于阵列中各个小孔衍射的辐照度相加，不考虑系数的照度应等于阵列中各个小孔衍射的辐照度相加，不考虑系数的情况下应等于：情况下应等于： ),(| ),(| ),(),(2exp|),(0120120yxNIzyzxtfftffjyxLNnNnnn(63) 式中式中z为夫琅和费衍射的观察距离。为夫琅和费衍射的观察距离。I0(x，y)为单独一个小孔的夫琅和费衍射的辐照度。为单独一个小孔的夫

25、琅和费衍射的辐照度。42按照巴比涅原理，上式也可以用来描述随机散射颗粒阵按照巴比涅原理，上式也可以用来描述随机散射颗粒阵列的夫琅和费衍射。列的夫琅和费衍射。上式表明，上式表明，N个散射颗粒夫琅和费衍射的辐照度等于单个散射颗粒夫琅和费衍射的辐照度等于单个颗粒衍射图形辐照度的个颗粒衍射图形辐照度的N倍。倍。当小颗粒直径也是随机分布时，将引起衍射亮环的环宽当小颗粒直径也是随机分布时，将引起衍射亮环的环宽度扩展，根据亮环的平均视角半径，利用公式度扩展，根据亮环的平均视角半径，利用公式(48)，即，即可计算出小颗粒的平均半径，以及直径的统计分布规律。可计算出小颗粒的平均半径，以及直径的统计分布规律。 2200011( , )|exp2 (,)