常微分方程课件PPT课件

1、1例例 2 2 列列车车在在平平直直的的线线路路上上以以 2 20 0 米米/ /秒秒的的速速度度行行驶驶, ,当当制制动动时时列列车车获获得得加加速速度度4 . 0 米米/ /秒秒2 2, ,问问开开始始制制动动后后多多少少时时间间列列车车才才能能停停住住？以以及及列列车车在在这这段段时时间间内内行行驶驶了了多多少少路路程程？解)(,tssst 米米秒钟行驶秒钟行驶设制动后设制动后4 . 022 dtsd,20, 0,0 dtdsvst时时14 . 0Ctdtdsv 2122 . 0CtCts 第1页/共180页2代入条件后知0,2021 CC,202 . 02tts ,204 . 0 td

2、tdsv故),(504 . 020秒秒 t列列车车在在这这段段时时间间内内行行驶驶了了).(5005020502 . 02米米 s开始制动到列车完全停住共需第2页/共180页3凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.例,xyy , 0)(2 xdxdtxt,32xeyyy , yxxz 实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.二、微分方程的定义注意：微分方程中必需含有未知函数的导（或微分）第3页/共180页4 微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称微分方程的阶.分类1: 常微分方程, 偏常微分方程., 0),( yyxF一阶微分方程);,(yxfy

3、高阶(n)微分方程, 0),()( nyyyxF).,()1()( nnyyyxfy分类2: 微分方程中的未知函数只含一个自变量,这样的微分方程称为常微分方程,否则，称为偏微分方程。第4页/共180页5分类3: 线性与非线性微分方程.),()(xQyxPy ; 02)(2 xyyyx分类4: 单个微分方程与微分方程组. ,2,23zydxdzzydxdy第5页/共180页6 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微分方程的解. ,)(阶导数阶导数上有上有在区间在区间设设nIxy . 0)(,),(),(,()( xxxxFn微分方程的解的分类：三、主要问题-求方程的解(1)通解: 微分方程的

4、解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同.微分方程的解：第6页/共180页7(2)特解: 确定了通解中任意常数以后的解., yy 例例;xcey 通解通解, 0 yy;cossin21xcxcy 通解通解解的图象: 微分方程的积分曲线.通解的图象: 积分曲线族.初始条件: 用来确定任意常数的条件.第7页/共180页8过定点的积分曲线; 00),(yyyxfyxx一阶:二阶: 0000,),(yyyyyyxfyxxxx过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.第8页/共180页9例例 3 3 验证验证:函数函数ktcktcxsinco

5、s21 是微分是微分方程方程0222 xkdtxd的解的解. 并求满足初始条件并求满足初始条件0,00 ttdtdxAx的特解的特解.解,cossin21ktkCktkCdtdx ,sincos221222ktCkktCkdtxd ,22的表达式代入原方程的表达式代入原方程和和将将xdtxd第9页/共180页10. 0)sincos()sincos(212212 ktCktCkktCktCk.sincos21是原方程的解是原方程的解故故ktCktCx , 0,00 ttdtdxAx. 0,21 CAC所求特解为.cosktAx 补充:微分方程的初等解法: 初等积分法.求解微分方程求积分(通解可

6、用初等函数或积分表示出来)第10页/共180页11思考题思考题解答,62xey ,122xey yy4, 0341222 xxeexey23 中不含任意常数,故为微分方程的特解.第11页/共180页12三三、设设曲曲线线上上点点),(yxP处处的的法法线线与与x轴轴的的交交点点为为Q, ,且且线线段段PQ被被y轴轴平平分分, ,试试写写出出该该曲曲线线所所满满足足的的微微分分方方程程. .一、一、 填空题填空题: : 1 1、022 yxyyx是是_阶微分方程；阶微分方程；2 2、022 cQdtdQRdtQdL是是_阶微分方程；阶微分方程；3 3、 2sin dd是是_阶微分方程；阶微分方程

7、；4 4、一个二阶微分方程的通解应含有、一个二阶微分方程的通解应含有_个任意常数个任意常数 . .二、确定函数关系式二、确定函数关系式)sin(21cxcy 所含的参数所含的参数, ,使其使其 满足初始条件满足初始条件1 xy, ,0 xy. .练 习 题第12页/共180页13练习题答案一、一、1 1、3 3； 2 2、2 2； 3 3、1 1； 4 4、2.2.二、二、.2, 121 CC三、三、02 xyy. .四、四、xyy 1. .第13页/共180页14第二节、可分离变量的微分方程dxxfdyyg)()( 可分离变量的微分方程.5422yxdxdy 例如例如,2254dxxdyy

8、解法设设函函数数)(yg和和)(xf是是连连续续的的, dxxfdyyg)()(设设函函数数)(yG和和)(xF是是依依次次为为)(yg和和)(xf的的原原函函数数,CxFyG )()(为微分方程的解.分离变量法形如第14页/共180页15例1 求解微分方程.2的通解的通解xydxdy 解分离变量,2xdxydy 两端积分,2 xdxydy12lnCxy .2为所求通解为所求通解xcey 二、典型例题第15页/共180页16例20)1()1(22 dxyxdyxy求微分方程求微分方程.1)1(的特解的特解满足条件满足条件 y解分离变量.1122dxxxdxyydy 两端积分.1122 dxxx

9、dxyydy)1ln(212y Cyx )1)(1(22代入上式，得代入上式，得将将1)1( y. 4 C.4)1)(1(22为所求特解为所求特解 yxln,C12)1ln(212x 第16页/共180页17.0)()(2通解通解求方程求方程例例 xdyxygydxxyf,xyu 令令,ydxxdydu 则则, 0)()( xydxduxugydxuf, 0)()()( duugdxxuuguf, 0)()()( duugufuugxdx.)()()(|lnCduugufuugx 通解为解第17页/共180页18.0.1的的通通解解求求 xyy解0 xyy由由xydxdy )0( yxdxyd

10、y xdxydyCxyln21ln2 221xCey .221xCey 所所以以方方程程通通解解为为 练习：第18页/共180页19例例 3 3 衰变问题衰变问题:衰变速度与未衰变原子含量衰变速度与未衰变原子含量M成成正比正比,已知已知00MMt ,求衰变过程中铀含量求衰变过程中铀含量)(tM随时间随时间t变化的规律变化的规律.解,dtdM衰变速度衰变速度由题设条件)0(衰变系数衰变系数 MdtdMdtMdM , dtMdM00MMt 代代入入,lnlnctM ,tceM 即即00ceM 得得,C teMM 0衰变规律第19页/共180页20例 4 有高为1米的半球形容器, 水从它的底部小孔流

11、出, 小孔横截面积为1平方厘米(如图). 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h(水面与孔口中心间的距离)随时间t的变化规律.解由力学知识得,水从孔口流出的流量为,262. 0ghSdtdVQ 流量系数孔口截面面积重力加速度第20页/共180页21cm100horhdhh )1(,262. 0dtghdV 设在微小的时间间隔,ttt 水面的高度由h降至 ,hh ,2dhrdV 则则,200)100(100222hhhr )2(,)200(2dhhhdV 比较(1)和(2)得:dhhh)200(2 ,262. 0dtgh 1 S,cm2第21页/共180页22dhhh)2

12、00(2 ,262. 0dtgh 即为未知函数的微分方程.可分离变量,)200(262. 03dhhhgdt ,)523400(262. 053Chhgt ,100|0 th,101514262. 05 gC).310107(265. 45335hhgt 所求规律为第22页/共180页23解例5 某车间体积为12000立方米, 开始时空气中含有 的 , 为了降低车间内空气中 的含量, 用一台风量为每秒2000立方米的鼓风机通入含 的 的新鲜空气, 同时以同样的风量将混合均匀的空气排出, 问鼓风机开动6分钟后, 车间内 的百分比降低到多少?2CO%1 . 02CO2CO2CO%03. 0设鼓风机

13、开动后 时刻 的含量为2CO)%(txt,dttt 在 内,2CO的通入量2CO的排出量,03. 02000 dt),(2000txdt 第23页/共180页242CO的通入量2CO的排出量2CO的改变量 03. 0200012000 dtdx),(2000txdt ),03. 0(61 xdtdx,03. 061tCex , 1 . 0|0 tx,07. 0 C,07. 003. 061tex ,056. 007. 003. 0|16 ext6分钟后, 车间内 的百分比降低到%.056. 02CO第24页/共180页25思考题求解微分方程.2cos2cosyxyxdxdy 思考题解答, 02

14、cos2cos yxyxdxdy, 02sin2sin2 yxdxdy,2sin2sin2 dxxydy2cot2csclnyy ,2cos2Cx 第25页/共180页26一、求下列微分方程的通解一、求下列微分方程的通解: : 1 1、0tansectansec22 xdyyydxx； 2 2、0)()( dyeedxeeyyxxyx； 3 3、0)1(32 xdxdyy. .二、二、 求下列微分方程满足所给初始条件的特解求下列微分方程满足所给初始条件的特解: : 1 1、xdxyydyxsincossincos , ,40 xy； 2 2、0sin)1(cos ydyeydxx, ,40 x

15、y. .练 习 题第26页/共180页27三、质量三、质量克克为为1的质点受外力作用作直线运动的质点受外力作用作直线运动, ,这外力这外力和时间成正比和时间成正比, ,和质点运动的速度成反比和质点运动的速度成反比. .在在10 t秒时秒时, ,速度等于速度等于秒秒厘米厘米/50, ,外力为外力为2/4秒秒厘厘米米克克 , ,问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少? ?四、 小船从河边四、 小船从河边处处点点 0出发驶向对岸出发驶向对岸( (两岸为平行直线两岸为平行直线).).设设a船速为船速为, ,船行方向始终与河岸垂直船行方向始终与河岸垂直, ,设河宽设

16、河宽h为为, ,河中任意点处的水流速度与该点到两岸距离河中任意点处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正比的乘积成正比( (比例比例k系数为系数为).).求小船的航行路求小船的航行路线线 . .第27页/共180页28第三节、齐次方程)(xyfdxdy 形如形如的微分方程称为齐次方程.2.解法,xyu 作变量代换,xuy 即即代入原式,dxduxudxdy ),(ufdxduxu .)(xuufdxdu 即即可分离变量的方程1.定义第28页/共180页29,0)(时时当当 uuf,ln)(1xCuufdu 得得,)(uCex 即即 ）（uufduu)()( ,代入代入将将xyu ,)(xyCex

17、 得通解得通解,0u 当当, 0)(00 uuf使使,0是新方程的解是新方程的解则则uu ,代回原方程代回原方程.0 xuy 得齐次方程的解得齐次方程的解第29页/共180页30例 1 求解微分方程. 0cos)cos( dyxyxdxxyyx，令令xyu ，则则udxxdudy , 0)(cos)cos( xduudxuxdxuuxx,cosxdxudu ,lnsinCxu .lnsinCxxy 微分方程的解为解第30页/共180页312222yxyxxyydxdy ,1222 xyxyxyxy,xyu 令令,udxxdudy 则则,1222uuuuuxu .2222xyydyyxyxdx

18、例 2 求解微分方程解第31页/共180页32,lnlnln21)2ln(23)1ln(Cxuuu .)2(123Cxuuu 微分方程的解为.)2()(32xyCyxy ,1122)121(21xdxduuuuu 第32页/共180页33. )cossin()sincos(2的通解的通解、求微分方程、求微分方程dyxyxxyyxdxxyyxyxy 解原方程可化为 , cossinsincos xyxyxyxyxyxyxydxdy 第33页/共180页34,xyu 令令.,uxuyuxy 代入原方程得 , cossinsincos uuuuuuuuxu ,cos2cossinxdxduuuuuu

19、 两边积分，得到,lnln)cosln(2Cxuu ,cos2xCuu ,cos2xCxyxy 所求通解为.cosCxyxy 第34页/共180页35的通解的通解求微分方程求微分方程 )lnln1( xyyyx 解)ln1( xyxydxdy 原方程化为原方程化为,xyu 令令,dxduxudxdy 则则)ln(,uudxduxu 1得得代入上式代入上式,lnxuudxdu 即即dxxduuu1ln1 分离变量得分离变量得 dxxduuu1ln1两边积分两边积分Cxulnlnlnln 得得eCxu 即即eCxxy dxxudu1)(lnln1 即即,xuy 练习：第35页/共180页36例 3

20、 抛物线的光学性质实例: 车灯的反射镜面-旋转抛物面解轴轴设旋转轴设旋转轴 ox如图),0 , 0(光源在光源在)(:xyyL xyoMTNRL为上任一点，为上任一点，设设),(yxM,yMT 斜率为斜率为为切线为切线,1,yMN 斜率为斜率为为法线为法线,NMROMN 第36页/共180页37 yNMRyxyxyyOMN1tan11tan, 022 yyxyy得微分方程. 1)(2 yxyxy即即,tantanNMROMN 由夹角正切公式得xyoMTNRL第37页/共180页38，令令xyu ,112uudxduxu 得得分离变量,1)1(22xdxuuudu ，令令221tu ,)1(xd

21、xtttdt 积分得,ln1lnxCt , 112 xCu即即第38页/共180页39平方化简得,2222xCxCu 得得代回代回,xyu )2(22CxCy 抛物线轴的旋转抛物面方程为轴的旋转抛物面方程为所求旋转轴为所求旋转轴为 ox).2(222CxCzy 第39页/共180页40二、可化为齐次的方程的微分方程的微分方程形如形如)(111cybxacbyaxfdxdy 为齐次方程.,01时时当当 cc，令令kYyhXx ,（其中h和k是待定的常数）dYdydXdx ,否则为非齐次方程.)(11111ckbhaYbXacbkahbYaXfdXdY 2.解法1.定义第40页/共180页41 ,

22、 0, 0111ckbhacbkah, 0)1(11 baba有唯一一组解.)(11YbXabYaXfdXdY 得通解代回 ，kyYhxX, 0)2( 未必有解, 上述方法不能用.,01时时当当 b.1中必至少有一个为零中必至少有一个为零与与ba第41页/共180页42,11 bbaa令令),)(1cbyaxcbyaxfdxdy 方程可化为方程可化为,byaxz 令令，则则dxdybadxdz ).()(11czczfadxdzb , 0 b若若可分离变量的微分方程., 0, 01 ab若若),(1adxdzbdxdy )()(11cczfadxdzb 可分离变量的微分方程.,01时时当当 b

23、,byaxz 令令可分离变量.第42页/共180页43.314的通解的通解求求例例 yxyxdxdy解, 021111 , 0301khkh方程组方程组, 2, 1 kh. 2, 1 YyXx令令,YXYXdXdY 代入原方程得，令令XYu 第43页/共180页44,11uudXduXu 分离变量法得,)12(22cuuX ,222CXXYY 即即代回，代回，将将2, 1 yYxX得原方程的通解,)1()2)(1(2)2(22Cxyxy .622122Cyxyxyx 或或方程变为第44页/共180页45利用变量代换求微分方程的解.)(52的通解的通解求求例例yxdxdy 解,uyx 令令1 d

24、xdudxdy代入原方程21udxdy ,arctanCxu 解得解得得得代回代回, yxu ,)arctan(Cxyx 原方程的通解为.)tan(xCxy 第45页/共180页46思考题方程 )()()(2022xxydttyttyx 是否为齐次方程?思考题解答方程两边同时对 求导:x,222yxyyxy ,22yyxyx ,12xyxyy 原方程是齐次方程.第46页/共180页47一、一、 求下列齐次方程的通解求下列齐次方程的通解: : 1 1、0)(22 xydydxyx； 2 2、0)1(2)21( dyyxedxeyxyx. .二、二、 求下列齐次方程满足所给初始条件的特解求下列齐次

25、方程满足所给初始条件的特解: : 1 1、1, 02)3(022 xyxydxdyxy； 2 2、,0)2()2(2222 dyxxyydxyxyx 11 xy . .三、化下列方程为齐次方程三、化下列方程为齐次方程, ,并求出通解并求出通解: : 1 1、31 yxyxy； 2 2、0)642()352( dyyxdxyx. .练 习 题第47页/共180页48练习题答案一、一、1 1、)ln2(22cxxy ； 2 2、cyexyx 2. .二、二、1 1、322yxy ； 2 2、yxyx 22. .三、三、1 1、Cyxxy )2()1ln(2112arctan22； 2 2、Cxyx

26、y 2)32)(34(. .第48页/共180页49)()(xQyxPdxdy 一阶线性微分方程的标准形式:, 0)( xQ当当上方程称为齐次的.上方程称为非齐次的., 0)( xQ当当例如,2xydxdy ,sin2ttxdtdx , 32 xyyy, 1cos yy线性的;非线性的.第四节、一阶线性微分方程第49页/共180页50. 0)( yxPdxdy,)(dxxPydy ,)( dxxPydy,ln)(lnCdxxPy 齐次方程的通解为.)( dxxPCey1. 线性齐次方程一阶线性微分方程的解法(使用分离变量法)第50页/共180页51例 求微分方程 012 xydxdy的通解解由

27、原方程，知12)( xxP代入通解公式，edxxPCy )()1ln(2 xCe2)1ln( xCe() .C x21 dxxPCey)(0)( yxPdxdyedxxC 12第51页/共180页522. 非齐次线性微分方程).()(xQyxPdxdy 讨论,)()(dxxPyxQydy 两边积分,)()(ln dxxPdxyxQy)()(xvdxyxQ 令令,)()(ln dxxPxvy dxxPxveey)()(即即非齐次方程通解形式为 dxxPCey)(注注 dxxPexcy)()( dxxPexcy)()(0)( yxPdxdy第52页/共180页53常数变易法把齐次方程通解中的常数变

28、易为待定函数的方法.实质: 未知函数的变量代换.),()(xyxu原未知函数原未知函数新未知函数新未知函数作变换 dxxPexuy)()(,)()()()()( dxxPdxxPexPxuexuy第53页/共180页54代代入入原原方方程程得得和和将将yy ,)()()(CdxexQxudxxP ),()()(xQexudxxP 积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为: dxxPdxxPeCdxexQy)()()(dxexQeCedxxPdxxPdxxP )()()()(对应齐次方程通解非齐次方程特解第54页/共180页55小结：一阶非齐次线性微分方程的解法1、公式法；2、常数变易法；（1） 先

29、求对应齐次方程的通解)()(xQyxPdxdy 0)( yxPdxdy（2）设非齐次方程通解为 dxxPexCy)()(（3）将 dxxPexCy)()(代入非齐次方程. ),(的的通通解解并并写写出出非非齐齐次次线线性性方方程程解解出出xC dxxPCey)()()()(CdxexQeydxxPdxxP 第55页/共180页56例1.)1(1225的的通通解解求求方方程程 xyxdxdy解一（1）对应的齐次方程为012 yxdxdydxxydy12 dxxydy12Cxyln)1ln(2ln 2)1( xCy2)1)( xxCy设设2)1)( xxCy则则)1(2)( xxC代入方程，整理得

30、代入方程，整理得、将将yy 21)1()( xxCCxxC 23)1(32)(两边积分，得)1(32)1(232Cxxy .为所求通解为所求通解第56页/共180页57解二)()()(CdxexQeydxxPdxxP ),()(xQyxPdxdy 25)1(12 xyxdxdy公式法：,12)( xxp,)1()(25 xxQ)1(122512 Cdxexeydxxdxx)1()1(212 Cdxxx)1()1ln(225)1ln(2 Cdxexexx)1(32)1(232Cxx 第57页/共180页58例2.1)1(02)6(2的的特特解解满满足足条条件件求求方方程程 yydxdyxy解26

31、2yxydxdy 23yxydydx yyxdydx262 yyp3)( 2)(yyQ )()()(CdxexQeydxxPdxxP ),()(xQyxPdxdy )2(ln3ln3Cdyeyeyy )2(33Cdyeyexdyydyy )2(33Cdyyyy 2321yCy 代代入入上上式式，得得将将条条件件1)1( y,21 C)1(212 yyx所求方程的通解为第58页/共180页59.sin1. 1的通解的通解求方程求方程xxyxy ,1)(xxP ,sin)(xxxQ .cos1Cxx 解)()()(CdxexQeydxxPdxxP xeln )sin(lnCdxexxx dxxe1

32、)sin(1Cdxexxdxx x1 )sin( Cxdx)()(xQyxPdxdy 练习 y第59页/共180页60解)()(xQyxPdxdy xxxyyln 由由xyxyln1 ,1)(xxP xxQln)( )()()(CdxexQeydxxPdxxP ln11Cdxxeeydxxdxx lnlnlnCdxxeexx lnCdxxxx )(ln212Cxx Cxxx 2)(ln2)1(1lnlnxeexx 的通解的通解求方程求方程xxxyyln. 2 第60页/共180页61.0)ln(ln. 3的通解的通解求方程求方程 dyyxydxy解0)ln(ln dyyxydxy由由ydxyd

33、yxyln)(ln yyxydydxlnln yyyxyydydxlnlnln1 ,ln1)(yyyP yyyyQlnln)( )()()(CdxexQeydxxPdxxP ),()(xQyxPdxdy )lnln(ln1ln1Cdyeyyyexdyyydyyy )ln21(ln12Cyy )ln(lnlnln1yeeydyyy xyyydxdy lnln第61页/共180页62例2 如图所示，平行与 轴的动直线被曲 线 与 截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 .y)(xfy )0(3 xxy)(xf,)()(230yxdxxfx xyxydx03,两边求导得,32xyy 解

34、解此微分方程xyoxPQ3xy )(xfy 第62页/共180页63 dxexCeydxdx23, 6632 xxCex, 0|0 xy由由, 6 C得得所求曲线为).22(32xxeyx 23xyy 第63页/共180页64伯努利(Bernoulli)方程的标准形式nyxQyxPdxdy)()( )1 , 0( n方程为线性微分方程. 方程为非线性微分方程.二、伯努利方程时，时，当当1 , 0 n时，时，当当1 , 0 n解法: 需经过变量代换化为线性微分方程.第64页/共180页65,1 nyz 令令，则则dxdyyndxdzn )1(),()(1xQyxPdxdyynn ),()1()(

35、)1(xQnzxPndxdz 求出通解后，将 代入即得nyz 1，得，得两端除以两端除以ny代入上式. )1)()()1()()1(1 CdxenxQezydxxPndxxPnn第65页/共180页66.42的通解的通解求方程求方程yxyxdxdy ,412xyxdxdyy ,yz 令令,422xzxdxdz ,22 Cxxz解得解得.224 Cxxy即即解，得，得两端除以两端除以ny例 3第66页/共180页67. 32 3343通解通解、求微分方程、求微分方程yxyyx 解原式可化为,32342yxyxy ,32 23134xyxyy 即即,31 yz令令原式变为,3232xzxz ,32

36、 2xzxz 即即对应齐方通解为,32Cxz 第67页/共180页68,)(32xxCz 设设代入非齐方程得,)(232xxxC ,73)(37CxxC 原方程的通解为.7332331xCxy 利用常数变易法第68页/共180页69例4 用适当的变量代换解下列微分方程:;22. 122xxexyyy 解,2112 yxexyyx,2)1(1yyz 令令,2dxdyydxdz 则则,22xxexzdxdz 222Cdxexeezxdxxxdx 所求通解为).2(222Cxeyx 第69页/共180页7022, , 41, 1dPdQPxyyQxxydydx分析： 首先可以看出，它不是可分离变量方

37、程；又故按框图中的方法求解。【例5】求解微分方程 。2(2)0 xdyxyy dx显然 ，它也不是全微分方程。于是继续判别，PQyx 解出 ，得 。这是贝努利方程， ?dydx 212dyyydxx 第70页/共180页7112dzzdxx 11 2dxdxxxzeedxC 2xyxC 为一阶线性方程。由公式得所以，原方程的通解为解：令 , 代入方程可化为12,zyzyy 21 2xCxdxCxx 第71页/共180页72分析：可将方程变形为 ，此方程为齐次方程；2yyyxx 所以按框图中的方法分别求解。也可将方程变形为 ，此方程又为贝努利方程，2211yyyxx 令 ，代入原方程得dxxuu

38、du122 xyu 22Cxyxy 解得 ，即 22Cxuu 解法1：将原方程整理成 ,即标准的齐次方程，2()yyyxx 【例6】求方程 满足 的特解。1)1( y22yxydxdyx 第72页/共180页73yxx 122代入 有 ，原方程特解是1 C1)1( yCxxz 21Cxxy 211数的一阶线性方程，解之得即解法2：整理原方程得 ，为贝努利方程。2211yxyxy 令 代入原方程得 ，是以 为未知yz1 211xzxz zyxx 122代入 有 ， 原方程特解是1 C1)1( y第73页/共180页74;)(sin1. 22xyxyxdxdy 解,xyz 令令,dxdyxydxd

39、z 则则,sin1)(sin1(22zxyxyxxydxdz ,42sin2Cxzz 分离变量法得,代回代回将将xyz 所求通解为.4)2sin(2Cxxyxy 第74页/共180页75;1. 3yxdxdy 解,uyx 令令, 1 dxdudxdy则则代入原式,11udxdu 分离变量法得,)1ln(Cxuu ,代回代回将将yxu 所求通解为,)1ln(Cyxy 11 yeCxy或或另解. yxdydx 方程变形为方程变形为第75页/共180页76小结：)()(ygxfdxdy 1.可分离变量的微分方程：形如( ).( )dyf x dxg y分离变量、两边积分)(xydxdy 2.齐次微分

40、方程:形如作变换,v xy )()(xQyxPdxdy 3.一阶线性微分方程:形如公式 dxxPdxxPeCdxexy)()()(Q)( vdxdvxv 原方程化为原方程化为4.伯努利方程 ;1zyn 令令nyxQyxPdxdy)()( 第76页/共180页77例例1. 求下列方程的通求下列方程的通解解; 0e1) 1 (32xyyy提示: (1),eee33xyxy因故为分离变量方程:通解;)3(22yyxyx.21)4(2yxy;23)2(22xyyxyxyyxydede32Cxyee313(2) 这是一个齐次方程 ，令 y = u x ,化为分离变量方程:xxuuud3d22第77页/共

41、180页78方程两边同除以 x 即为齐次方程 , ,0时xyyxyx22)3(时，0 x21uux21uuxxyxyy21xyxyy21令 y = u x ,化为分离变量方程.调换自变量与因变量的地位调换自变量与因变量的地位 ,221)4(yxy,2dd2yxyx用线性方程通解公式求解 .化为第78页/共180页79例例2. 求下列方程的通解求下列方程的通解:)lnln() 1(yxyyyx提示: (1)令 u = x y , 得(2) 将方程改写为0d)1ln(dln2)2(2xxyyyxxyyxxyxy22363)3(22uxuxulndd)(ln)(yxyyxxyyxxxy2ln21dd

42、3(伯努利方程) 2 yz令(分离变量方程)原方程化为第79页/共180页80令 y = u tyyxxyxy22363)3(22) 1(2) 1(3dd22xyyxxy(齐次方程)ytytty23dd22令 t = x 1 , 则tyxttyxydddddddd可分离变量方程求解化方程为第80页/共180页81例例3.设F(x)f (x) g(x), 其中函数 f (x), g(x) 在(,+)内满足以下条件:, 0)0(),()(),()(fxfxgxgxf且(1) 求F(x) 所满足的一阶微分方程 ;(2003考研) (2) 求出F(x) 的表达式 .解: (1) )()()()()(x

43、gxfxgxfxF)()(22xfxg)()(2)()(2xgxfxfxg)(2)e2(2xFx所以F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程:.e2)()(xxgxf第81页/共180页82(2) 由一阶线性微分方程解的公式得CxxFxxxdee4e)(d22d2Cxxxde4e42代入上式，将0)0()0()0(gfF1C得于是 xxxF22ee)(xxFxF2e4)(2)(xxC22ee第82页/共180页83 题2 求以1)(22yCx为通解的微分方程.提示:1)(22yCx02)(2yyCx消去 C 得1) 1(22 yy题3 求下列微分方程的通解:xyyyx2) 1 (提示: 令 u

44、= x y , 化成可分离变量方程 :uu2) 1ln(ln)2(xxayxyx提示: 这是一阶线性方程 , 其中,ln1)(xxxP)ln11()(xaxQ第83页/共180页84)ln(2dd)3(xyyxy提示: 可化为关于 x 的一阶线性方程yyxyyxln22dd0dd)4(33yxyxxy提示: 为伯努利方程 , 令2 yz2(6)10y yy 0d)3()9(24xyxyxyd提示: 可化为伯努利方程xyxyxy43dd令2xz 公式 提示: 为可降阶方程 , 令)(yppyp第84页/共180页85原方程化为 yxxy2)10(xyxu2, 即,22uuxy则xydduxuux

45、udd)(22故原方程通解Cyxxyx23)(33222ddxuuxuuxd2eCuuude2d2Cuuud21222232uCu u2xuxdd2xuudd2提示: 令第85页/共180页86思考题求微分方程 的通解.yxyyyysin2sincoscos 思考题解答yyxyydydxcossin2sincos ,tan2sinyxy ,2sintanyxydydx Cdyeyexyycoslncosln2sin Cdyyyyycoscossin2cos .cos2cosyCy 第86页/共180页87一、求下列微分方程的通解一、求下列微分方程的通解: : 1 1、xexyysincos ；

46、 2 2、0)ln(ln dyyxydxy； 3 3、02)6(2 ydxdyxy. .二、二、 求下列微分方程满足所给初始条件的特解求下列微分方程满足所给初始条件的特解: : 1 1、4,5cot2cos xxyexydxdy； 2 2、. 0,132132 xyyxxdxdy练 习 题第87页/共180页88三、设有一质三、设有一质的的量为量为 m质点作直线运动从速度等于零质点作直线运动从速度等于零的时刻起的时刻起,有一个与运动方向一致有一个与运动方向一致,大小与时间成正大小与时间成正比比(比例比例1k系数为系数为)的力作用于它的力作用于它,此外还受此外还受一与速度成正比一与速度成正比(比

47、例比例2k系数为系数为)的阻力作用的阻力作用,求质求质点运动的速度与时间的函数关系点运动的速度与时间的函数关系 .四、四、 求下列伯努利方程的通解求下列伯努利方程的通解:1、212121yxyxy ；2、0)ln1(3 dxxxyyxdy.第88页/共180页89五、五、 用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的方程方程, ,然后求出通解然后求出通解: :1 1、11 yxdxdy；2 2、1cossin2sin)1(sin222 xxxyxyy；3 3、xyxyxdxdy )(sin12. .六、六、 已知微分方程已知微分方程)(xgyy , ,其

48、中其中 0,010,2)(xxxg, ,试求一连续函数试求一连续函数)(xyy , ,满满足条件足条件0)0( y, ,且在区间且在区间),0 满足上述方程满足上述方程 . .第89页/共180页90练习题答案一、一、1 1、xeCxysin)( ； 2 2、Cyyx 2lnln2； 3 3、2321yCyx . .二、二、1 1、15sincos xexy； 2 2、113322 xexxy. .三、三、)1(022121tmkekmktkkv . .四、四、1 1、Cxxy ； 2 2、)32(ln32322 xxCyx. .第90页/共180页91五、五、1 1、Cxyx 2)(2； 2

49、 2、Cxxy 1sin1； 3 3、Cxxyxy 4)2sin(2. .六、六、 1,)1(210, )1(2)(xeexexyyxx. .第91页/共180页92型的微分方程型的微分方程)()(xfyn 一、形如方程)()(xfyn （1）特点如下:. , 阶导数阶导数的的左端是未知函数左端是未知函数的函数的函数右端是自变量右端是自变量nyx对这类方程只需通过n次积分就可得到方程的通解.例1的通解的通解求方程求方程xycos )3( 解xycos)3( 由 xdxycos1sinCx dxCxy )(sin121cosCxCx dxCxCxy )cos(21322121sinCxCxCx

50、xdxycos第五节、可降阶的高阶微分方程第92页/共180页93例2的的通通解解求求方方程程12)4( xey解dxeyx )1(21221Cxex dxCxeyx )21(1221222141CxCxex dxCxCxeyx )2141(212232213226181CxCxCxex dxCxCxCxeyx )26181(3221324322314226241161CxCxCxCxex 43223142241161CxCxCxCxeyx 为所求. dxxdedxdxexx1221122第93页/共180页94二、型的微分方程型的微分方程),(yxfy ),(yxfy 方程（2）特点:. y

51、解法：)(xpy 令令dxdppy 则则:,)2(,可可化化为为方方程程后后代代入入方方程程将将yy ),(pxfdxdp （3） )3(的一阶的一阶和未知函数和未知函数是关于自变量是关于自变量px数数方程右端不显含未知函方程右端不显含未知函 .微微分分方方程程再按一阶微分方程的方法求解第94页/共180页95例3.)(122的通解的通解求方程求方程yyyx 解方程可写为22)(1yxyy ),(yxfy ),(xpy 令令dxdpxpy )(则则（1）得得程程代入方代入方将将,)1(, yy xppdxdp212 dxxdppp1122 xdxdppp21212lnln)1ln(Cxp xC

52、p121 11 xCp11 xCydxxCy211)1( 22311)1(32CxCC 第95页/共180页96例4的的解解求求方方程程xyyx4 解方程可写为xyy 4)(xpy 令令)( xpy 则则（1）得得代代入入方方程程将将)1(, yy pxp14 （2） dxxpdxxPeCdxexQy)()()()()(xQyxPy dxxdxxeCdxep1114xxeCdxeln1ln4 )4(11 CxdxxxxC21 xxCy2 1 即即dxxxCy)2(1 221|lnCxxC 为所求41 pxp第96页/共180页97三、 ),(型的微分方程型的微分方程yyfy ),(yyfy 方

53、程（1）特点：方程右端不显含自变量解法：)(xpy 令令dxdpy 则则dxdydydp dydpp 得得代入方程代入方程将将)1(, yy ),(pyfdydpp （2）, )2(的的一一阶阶微微分分方方程程和和是是关关于于py.x再按一阶微分方程的方法求解.,),( )1(显然不是常微分方程显然不是常微分方程有三个变量有三个变量得得若代入方程若代入方程pyfdxdp 第97页/共180页98例5的特解满足初始条件求方程),(yyfy 解,py 令令dxdydydpdxdpy 则则dydpp 得得代入原方程代入原方程将将, yy ypdydpp2 ydydp2 ydydp212Cyp dxd

54、yy 112 dxdyy112代入得代入得将将2| 00 xxpy11 C1 2 ydxdy则则2arctanCxy 得得代入代入将将,1|0 xy42 C特解为4arctan xy)tan(4 xy即即yyy 22100 xxyy|,|第98页/共180页99.02的通解的通解求方程求方程 yyy解dxdpy 则则),(xpy 设设代入原方程得 , 02 PdydPPy, 0)( PdydPyP即即，由由0 PdydPy,1yCP 可得可得.12xceCy 原方程通解为,1yCdxdy 例 6,dydPp dxdydydP dxCydy1 dxCydy 121lnlnCxCy ),(yyfy

55、 第99页/共180页100【例1】求方程 的通解。 2xyyx 解：由于不显含 ，令 ，则 y( )yp x yp 代入原方程整理得21xppx 即 ()1px 因此 2ypCxx 再积分一次，即得原方程的通解为：2321123yCxxC 此解可以写成321213yxC xC 分析：此方程为可降阶的二阶微分方程，由于不显含 y所以可引入变量 将二阶微分方程变成一阶微分微分方程，然后根据一阶微分方程的特点求解。 ( )yp x 第100页/共180页101【例2】求方程 (1)ln(1)x yyx 的通解。分析：此方程为可降阶的二阶微分方程，由于不显含 y所以可引入变量( )yp x 将二阶微

56、分方程变成一阶 一阶微分方程，然后根据一阶微分方程的特点求解。解：由于不显含 ，令 ( )yp x ，则 yp y代入原方程整理得(1)ln(1)x ppx 即 ln(1)11pxpxx 为一阶线性微分方程 第101页/共180页102利用公式得11111ln(1)()1dxdxxxxpeedxCx ln(1)ln(1)1ln(1)()1xxxeedxCx 11( ln(1)1x dxCx 1ln(1)11Cxx 即 1ln(1)11Cyxx 积分得 12()ln(1)2yxCxxC 第102页/共180页103分析：此方程为可降阶的二阶微分方程，由于不显含 所以可引入变量( )yp y 将二

57、阶微分方程变成一阶 微分方程，然后根据一阶微分方程的特点求解。x解：由于不显含 ( )yp y ypp x,令 ,则 代入原方程整理得20yppp 所以0p 或0ypp 当0ypp 时，此方程为可分离变量的方程，分离变量得：dpdypy 【例3】求方程 2()0y yy 满足初始条件012xy 的特解。01,xy 第103页/共180页104积分得：1lnlnlnpyC 所以1Cpy 即1Cyy 将0011,2xxyy 代入得112C ，从而12yy 分离变量得：22yxC 将01xy 代入得21C 所求方程的特解为：21yx 特解为1y ，含在 内。21yx 当 时，即0y 积分得yC 0p

58、 第104页/共180页105一一、求求下下列列各各微微分分方方程程的的通通解解: :1 1、xxey 2 2、21yy 3 3、yyy 3)(二二、 试试求求xy 的的经经过过点点)1,0(M且且在在此此点点与与直直线线12 xy相相切切的的积积分分曲曲线线 . .32123CxCxCexeyxx 21)cos(lnCCxy 12)arcsin(CeCyx 121613 xxy练 习第105页/共180页106第六节、高阶线性微分方程例例: :设有一弹簧下挂一重物设有一弹簧下挂一重物,如果使物体具有一个初如果使物体具有一个初始速度始速度00 v,物体便离开平衡位置物体便离开平衡位置,并在平衡

59、位置并在平衡位置附近作上下振动附近作上下振动.试确定物体的振动规律试确定物体的振动规律)(txx .解受力分析;. 1cxf 恢复力恢复力;. 2dtdxR 阻力阻力xxo一、概念的引入第106页/共180页107,maF ,22dtdxcxdtxdm 02222 xkdtdxndtxd物体自由振动的微分方程,sin ptHF 若受到铅直干扰力若受到铅直干扰力pthxkdtdxndtxdsin2222 强迫振动的方程tLCEudtdudtudLcmccc sin22022 串联电路的振荡方程第107页/共180页108二阶线性微分方程)()()(22xfyxQdxdyxPdxyd 时，时，当当

60、0)( xf二阶线性齐次微分方程时，时，当当0)( xf二阶线性非齐次微分方程n阶线性微分方程).()()()(1)1(1)(xfyxPyxPyxPynnnn 第108页/共180页109二、线性微分方程的解的结构1.二阶齐次方程解的结构:定理定理 1 1 如果函数如果函数)(1xy与与)(2xy是方程是方程(1)(1)的两个的两个解解, ,那末那末2211yCyCy 也是也是(1)(1)的解的解. .（21, CC是常是常数）数）问题:一定是通解吗？一定是通解吗？2211yCyCy )1(0)()( yxQyxPy第109页/共180页11011220( )( ),yC yC yyP x y