一道中考试题的解法探究

1、一道中考试题的解法探究近年各地中考正在实现从能力立意向核心素养导向的转变，其中全等三角形是中考的高频热点.本文以2019年安徽一道中考数学试题第 （1）问为例，在对各种解法进行探索的基础 上，就如何培养核心素养，发展学生多角度思维做一些分析思考一、试题评价题目 如图1,点E在YABCD内部，AF/BE, DF/CE .求证：BCE ADF ;（2）设YABCD的面积为S ,四边形AEDF的面积为T ,求：的值.图I本题图形简洁，设计巧妙，难易适中.所含基本知识点有：三角形内角和定理的推论，平行线的性质，三线八角概念，全等三角形判定定理，平行四边形的性质等所含数学思想方法包括：建模思想，转化思想

2、.总体解题思路：由四边形ABCD 一组对边AD与BC相等，以及“ ASA”或“AAS”判 定定理来证明两个三角形全等 .二、解法探究（以下仅对第（1）问进行探讨）因为四边形ABCD是平行四边形，所以 AD BC.以下各种证法都用到此结论，不再 一一说明.解法1延长BE交AD于G ,如图2.Q AD / BC, GBC AGB .Q AF / BG, FAD AGBFAG GBC, 同理可得 FDA ECB . 又 AD BC, ADF BCE.则这两个角必然相注以上解题思路来源于一个角的两边与另一个角的两边分别平行, 等或互补.由于 FAD与 EBC没有截线，所以必须通过第三个角作为“媒介”牵

3、线搭桥.这样,延长BE与AD相交，于是辅助线的作法也就自然而然地形成了解法2连结FE交AD于G ,延长交BC于H ,如图3.4QAFBE, AFGBEH ,QADBC,AGEEHC ,AGE AFG EHC BEH , 即 FAD EBC 同理 FDA ECB.又 AD BC, ADF BCE.注 以上证题思路来源于 FA/ EB,FD / BC ,如何通过平移的方法来比较两角的大小呢，于是想到作射线 EH ,利用平行线的性质 和三角形内角和定理的推论来证明 .解法3延长BA,如图4.Q AD / BC,GADABC .Q AF / BE,GAFABE ,GAD GAF ABC ABE ,即

4、FAD EBC, 同理可得 FDA ECB .又 AD BC, ADF BCE.注 以上证法来源于 FDAEBC,由于缺少截线证明同位角相等，于是作射线BA,构造出三线八角，利用同位角相等及等式性质证明之解法4如图1.QAFBE,FABABE 180 ,AD/BC,DABABC 180 ,FAB ABE DAB ABC ,FAB DAB ABC ABE ,即 FAD EBC,同理可证 FDA EBC .又 AD BC, ADF BCE.注 以上证法出于不少同学对作辅助线的恐惧感，鉴于此，考虑能否不作辅助线证明FADEBC呢？所以利用两直线平行，同旁内角互补的性质证之解法5过E作直线GH / B

5、C ,分别交AB于G ,交CD于H ,则AD GH ,如图5.Q AF / BE, FAE AEB .Q AD / GH , DAE AEG ,FAE DAE AEB AEG, 即 FAD BEG.QGH/BC, EBC BEG ,FAD BEC, 同理可证 FDA ECB .又 AD BC, ADF BCE.注 以上证题思路源于构造一组平行线，通过内错角相等、等量代换来证明FAD EBC .解法6延长BE分别交AD于G ,交DF于H ,如图6.Q CE / DF ,BECEHD .Q BE / AF ,AFDEHD,BEC AFD.Q AD / BC, EBC AGB .Q AF / BE, FADAGBEBC FAD.又AD BC, ADF BCE.注 以上证法源于 AF BE.通过一条截线，引用平行线性质证明两个角相等，然后通 过“ AAS ”证之.三、教学思考我们在解题中，每一个数学知识和方法的应用都是一种基本的数学模型，因此在数学教学中，要加强“析模”能力的培养 .本题中如果一个角的两边与另一个角的两边互相平行， 那么这两个角相等或互补，这就是一种“模型”套用的成功案例，由于没有明显的截线，那 么可以通过添加适当的辅助线来牵线搭桥.本题除第4种解法没有添加辅助线外，其余各种解法的前提都是构造第二个模型“三线八角”