【解析】吉林省吉林市2020届高三第一次调研考试数学(文)试题

1、吉林市普通中学 2019 2020学年度高中毕业班第一次调研测试文科数学一、选择题1 .已知集合 A 1,0,1,2 , B xx 0 ,则 AI B ()A. 1,2B. 1,0C. 0,1,2D. 1【答案】B【分析】根据集合交集的定义，即可求出答案 .【详解】因为 A 1,0,1,2 , B xx 0 .所以AI B 1,0故选:B.【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题.要解本类题型需掌握集合的交集、并集、补集运算及其性质.2 .函数y 3sin 4x 一 的最小正周期是()3A. 2B. lC.【答案】BD.由三角函数的最小正周期T2j- ,即可求解。-14 -【详解】Q 4,

2、T故选：B【点睛】本题考查求三角函数y Asin( x)的周期，属于基础题。3 .已知口是 ABC边AB上的中点，则向量 CDuur i uuu A. -BC -BAuuu 1 uuu C. -BC BA 2【答案】A【分析】uuur uuu 利用向量的线性运算，用基底BC,BA表示旧【详解】因为 D是ABCi AB上的中点，所以故选A.【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，利用基向量表示向量时，注意把目标向量向基 向量靠拢.4 .已知奇函数 口刈当乂 0时，f(x) x(1 x),则当x 0时，f(x)的表达式是()A. x(1 x)B. x(1 x)C. x(1 x)D. x(x 1)【

3、答案】C设 x<0,贝U-x>0,又当 x>0 时，f (x)=x(1-x),故 f (-x)=-x(1 + x),又函数为奇函数，故 f (-x)=-f (x)=-x(x+1),即 f(x)= x(x+1),本题选择C选项.31 5.已知正项等比数列an满足a3 1, a5与一a4的等差中项为一，则a1的值为()22A. 4B. 2C. 3D. 8【答案】A)uuir1uurB.BCBA2uuir1uuuD.BCBA2uuu CD .uuuruurrCD CBuuurBDuuuCB1 uuu BA2uuir 1BC 一2uuu BA.【分析】设等比数列的公比为 q, q 0

4、,运用等差数列中项性质和等比数列的通项公式，计算即可得到所求首项.【详解】正项等比数列an公比设为q(q 0),满足 a3一 2可得aq3a5a424qq可得2q23q2 0,解得q（舍去），,311, a5与一a的等差中项为一，22则ai故选:A.【点睛】本题考查等比数列的通项公式和等差数列中项的性质,考查方程思想和运算能力,属于基础题.6.若 cos()23 ,贝U cos2 3A. 2 3 【答案】CB.C.D.-3本道题化简式子，计算出sin，结合cos 21 2sin 2,即可.cos2cos 一 2sin,所以3211 2sin21 2 -3本道题考查了二倍角公式1 一，一，故选C

5、.3,难度较小.r7.已知向量arb的夹角为60° ,r r，则 2ab (A. 2B. 2 .3D. 1r 根据2ar r 22a b 展开计算即可得出答案r r【详解】2a b-r r22a b= J4a4a b+ bIP24 a4 a b cos60 + b24 4 12 1 4故选：A.【点睛】本题考查两向量差的模长的计算，属于基础题，解本类题型需熟练掌握两向量差的模长计算公式： a b JOb - jaj2_2a b-b .8.将函数f(x) 2sin 2x 一图像上的每一个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变,3再将所得图像向左平移 一个单位得到数学函数 g(x)的图像

6、，在g(x)图像的所有对称轴中， 12离原点最近的对称轴为()5.A. X B. X C. X D. X 2442412【答案】A分析：根据平移变换可得y 2sin 4x ,根据放缩变换可得函数g x的解+析式，结合3详解：将函数f x对称轴方程求解即可2sin 2x 一 的图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半, 3纵坐标不变，得到 y 2sin 4x 3再将所得图象向左平移一个单位得到函数12g x的图象,即 g x 2sin 4 x1232sin 4x,2由 4x -k ,k Z , 32得 x 1k,k Z,424当k 0时，离原点最近的对称轴方程为x ，故选a.24点睛：本题主要考查

7、三角函数的图象与性质，属于中档题.由 函数y Asin（ x ）可求得函2,.数的周期为；由x k可得对称轴方程；由 x k可得对称中心横坐标29.若函数f xax （a 0且a 1）在R上为减函数，则函数 y loga x 1的图象可以是（）【答案】D【分析】根据函数f x ax （a 0且a 1）在R上为减函数知道 0 a 1.即y loga x在0,十上单调递减.根据函数的奇偶性即可选出答案.【详解】因为函数fx ax（a 0且a 1）在R上为减函数.所以0 a 1 .因为函数y loga x 1 ,定义域为 1 U 1,故排除A B.当x 1时，函数y loga x 1 loga x

8、1在（1,+?）上单调递减.当x 1时，函数y loga x 1loga x 1在 1单调递增.故选:D.【点睛】本题考查根据函数表达式选函数图像，属于基础题.解本题的关键在于根据函数1）在R上为减函数，判断出0 a 1 ,即 y loga x.在 0,单调递减.10.在 4ABC 中，AB4, AC 2, BAC 90uuirD E分别为AR BC中点，则AEUUITCDA. 4B. 3C. 2D. 6,uur uuu根据题息知ab ACuuir uuuruuu uur0,将AE、CD用AB、AC表示出来，再运算即可得出答案【详解】因为H E分别为ABBC中点.LUT所以AEuuur uuu

9、 uuurAC + AB , CDuur uuurCA AD1 uuu uuur -AB AC, 212故选：C.【点睛】本题考查f的应用11.等比数列 4uuur CDUULT ACUUT 所以AEuuu uurAB AC 0,利uuu 2二AB4.属于基础题uur uur uuruuur 2一 AC 22.解本题的关键在于根据题意得到uuurAE、CD用AB、AC表示出来.S2n3 a1a3 a5 L La2n 1 n N ,a1a2a3 8 ,则 S8A. 510B. 255C. 127D.6540【分析】?由等比数列的性质可得a?2 ,由S2n3a1a3a5 L La2n1 n N .

10、可得公比q= 2, a1 1,再由等比数列的求和公式即可求出S83【详解】由等比数列的性质可得aia2a3 a28,解得a2 2,?又 Q S2n 3 a1 a3 a§ L La2nnN ,(a1a3a5a2n 1)a6 L La2n)30a3a5a2a%a6a2 n2(qa3a5 L La2naqa3q a5qL a2n 1q2( 4a3a5 L La2n 1)2,又a2a1q ,所以a1由等比数列的求和公式a« q8)28 1S8255故选：B【点睛】本题考查等比数列的求和公式和性质，属于基础题12.设函数fx的定义城为D,若满足条件：存在m, nm,n上的值城为km,

11、kn ( kR且k 0）,则称f x为“k倍函数”，给出下列结论：,1f X 一是 1倍函数”2X是“2倍函数”：f XXe是“3倍函数”.其中正确的是（）A.B.C.D.根据(-? ,0) , (0,+?)单调递减，可在区间（-? ,0）上找，也可在区间1f (m)一(0,+?)上找使mf (n)- nn成立的m> n的值.22因为fx x 0,所以nm0,又fx x在0,）上单调递增，即在区间0,）上找使f(m) m2f(n) n22m成立的m> n的值.2nf x ex在R上单调递增，即找使f (m)f(n)e 3mn 成立的m> n的值.等价于ex 3xe 3n有两根

12、，可证明g x ex 3x有两个零点1一是“1倍函数”：即存在m,n x,0 U 0,，使 f x 在 m,n上的值城为 m, n若m, n,0）上单调递减，即1f (m) n m一、1f (n) 一 m nmn 1-1 .1 - 1、-一令m 2,n, f x在2,上的值域为2,2x 2rr 1即f x 一是“1倍函数”； x22f x x是“2倍函数”即存在m, nR,使f x在m,n上的值城为2m,2n一 ，一2 一又因为f x x在0,）上单调递增，即2f (m) m 2mf (n) n2 2nm 0,n 2.22即f x x在0,2上的值域为 0,4 ,即f x x是“2倍函数”D

13、f x ex是“3倍函数”：即存在m,n R,使f x在 m,n上的值城为 3m,3nx因为f x e在r上单调递增，所以f(m)f(n)m en e3m心等价于ex 3x有两根.3n记g xex 3x ,现证g x有两个零点xxg x e 3,令 g x e 3 0 解得 x ln3.即函数g xex 3x在 ，ln3单调递减，在ln3,上单调递增.ln3eg ln 3 e 3ln 3 3 3ln 3 3ln - 0,即 g x0 有两个零点.3即ex 3x有两根.即存在 m,n R,使f xex在m,n上的值城为 3m,3n .即f xex是“3倍函数”.综上所述：均正确.故选:D.【点睛

14、】本题考查函数的新定义.属于中档题.解本题的关键在于读懂“ k倍函数”的定义：只需在定义域内找到区间m,n使f x的值城为km,kn .再根据函数的定义域与值域建立等 式，说明存在性二、填空题13.已知函数f(x)ln x, x2x1, xif f -0e，.11根据解+析式，先求f % ,再求f f -即可【详解】Q f(x)ln x, x 02x1, x 0,lnf( 1) 20 1,故答案为：1【点睛】本题主要考查函数的表示方法，分段函数求值，属于基础题。,r ck r一 r r ，一 r,一14 .已知a 275, b 1,2 ,且a/b，则向量a的坐标是.【答案】2,4 ,2, 4【

15、分析】,rr r r r -仁 一根据b 1,2且a/ /b，可设a m,2m ,再利用a 2爬,解出m的值即可得出答案 r r r 【详解】因为a/b, b 1,2 r 所以设a m,2m r 又因为 a Jm 4m2，5m 2.rr所以a 2,4或a 2, 4 . 故答案 ：2,4 ,2, 4 .【点睛】本题考查根据向量平行与模长求向量的坐标表示，属于基础题.根据向量平行设出向r 量a m,2m ,可以简化计算.15 .我国古代 天文学和数学著作周碑算经中记载：一年有二十四个节气，每个节气唇（gui）长损益相同（暑是按照日影测定时刻的仪器，暑长即为所测量影子的长度），夏至、小署、大暑、立秋

16、、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列，经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二节气的所有日影子长之和为84J<,则夏至的日影虫才 尺.【答案】1.5上，* .由题意设此等差数列的公差为d ,求项即可得到答案。Hd acan I VJ _ vJ . .1【详解】设此等差数列的公差为.111§2 8412ald 84a1 1.5由题意即1解得1 a a a 1l5a- ac atO3（M 4d） 16.5 . .所以夏至的日影子长为05X故答案为：1.5【点睛】本题主要考查等差数列的性质以及求和公式，

17、解题的关键把文字叙述转化为数学等式，属于基础题。-）的部分图象如图所示，则 2【答案】33_J2根据图像求出再计算出f 0、f3的值，再由周期性得出答案由图知:3 6,即 2-=6所以fsin0.sin -x所以fsinsin.2sin 一3sin33.32.4sin 一3.5sin 一=0 ,=0.33-15 -所以ff 5 =2.3.又函数f x sin x 周期为6. 33所以f 01 lf 11 If 21 If 488 f 0| |f 1| |f 2 f 3 + f 4| |f5 +f。二芋.故答案为：33 3 . 2【点睛】本题考查根据三角函数的图像求三角函数的解+析式与三角函数的

18、周期性的应用，属于中档题.解本题的关键在于正确求出三角函数的解+析.三、解答题17 . AB是底部B不可到达的建筑物， A是建筑物的最高点，为测量建筑物 AB的高度，先把 高度为1米的测角仪放置在 CD位置，测得仰角为45。，再把测角仪放置在 EF位置，测得 仰角为75° ,已知DF 2米，D, F, B在同一水平线上，求建筑物 AB的高度。【答案】（2召）米【分析】在 ACE中，利用正弦定理求出 AE,在 AEG求出AG即可求出AB .-24 -CEAEACE 中，sin 45 sin(75 -45 )，AE2sin 45sin302 二2122 2 (米)ABAGAEsin751

19、 2.2sin75 1因为sin75sin(3045)sin30 cos45 cos30 sin 45-22所以AB.641 2百(米)所以建筑物 AB的高度为(2 J3 )米【点睛】本题考查正弦定理在生活中的应用，把生活中的问题转化到三角形中进行求解，力 于基础题。,a8成等比18 .已知数列 &为等差数列，公差d 0,前n项和为Sn，仇 2,且a2, a 数列.(1)求数列 4的通项公式；2(2)设bn 丁，记数列0的前n项和为Tn,求证：2.Sn【答案】(1) an 2n； (2)证明见解+ 析.【分析】(1)根据a12,且 a2a,，a8成等比数列.列出方程，即可解出2,即可得

20、出答案.(2)由(1)知 Snn2n，代入bn2，再利用裂项相消求出TnSnn1，即可说n 1明 Tn2.【详解】(1)由题意得:2 a%a2%3d2 7d整理得d2 2d 0，因为d0,所以d所以anan2nbnTn212,即Tn2【点睛】本题考查等差数列的通项公式，前n项和公式，裂项相消法求数列的前n项和.属于一升，1 基础题.常见的裂项相消：19.在4ABC中角A, B, C的对边分别是b, c,已知 2c a cosB bcosA 0.(1)求角B的值;(2)若a 4, b 2",求ABC的面积.【答案】(1) -； (2) 65/3.【分析】(1)利用正弦定理将 2c a

21、cosB bcosA 0中 边化为角，再化简即可得出答案1_(2)利用角B的余弦公式可求出 c 6,再由S 一acsinB求出答案.2【详解】(1)由正弦定理可得，2sin C sin A cosB sin BcosA 0 ,2sinCcosB sinAcosB cosAsin B 0, 2sinCcosB sin C 0,QsinC 0, cosB L QB 0, B .23b22222a c 2accosB, 28 16 c 4c， c 4c 12 0，Qc 0, c 6.c 1. rS -acsin B2【点睛】本题考查利用正余定理解三角形，属于基础题.解三角形一般情况看所给形式是否为余

22、弦公式，若不是则用正弦定理将边的关系化为角的关系，或者将角的关系化为边的关系, 再化简得出答案Xn ,，构成数列Xn20.设函数f (x) sinx 1的正零点从小到大依次为X, X2,(1)写出数列Xn的通项公式人,并求出数列Xn的前n项和Sn ；(【详解】(1) xn 2(n 1)设 an n ,求 sin an 的值.n 4【答案】(1) Xn 2(n 1) 一, Sn n(n 1) L； (2)见解 + 析22(1)由函数f (x)sin x 1的正零点，令sinx 10即可求出Xn ,再有等差数列求和公式即可求出Sn S -,再讨论n的奇偶即可求解。4首先求出anSn - (n 1)

23、n 4Sn 24 L222n(n 1)n2S 一(2) an (n 1)n 442(n 1) I2 1 2 3(n 1)方当 n 2k 1,k N 时，sinan sin (2k 2) 一 sin 2(k 1)- sin44当 n 2k, k N 时，3 2sin an sin (2 k 1)sin 2k sin 4 442【点睛】本题主要考查数列的通项公式、等差数列的求和公式以及求三角函数值，属于综合性题目。21.已知函数 f(x) x3 3x2 9x 1.(1)求函数f x的单调区间；(2)当x 4,4时，求函数f x的最大值与最小值。最小值【答案】(1)增区间是(，3)和(1,)；递减区间是(3,1) ； (2)最大值是77是-4【分析】(1)求函数的导数，f (x) 0求单调递增区间，f (x) 0求单调递减区间。(2)根据函数的单调性即可求出最值。22【详解】(1) f (x) 3x 6x 9 3 x 2x 33(x 3)(x 1)当x (, 3)时，f (x) 0, f(x)单调递增；当x ( 3,1)时，f (x) 0, f(x)单调递减；当x (1,)