【新高考题型】结构不良题型

1、新高考题型：结构不良题型三角+立几+解几+数列_A + Cl,在小(反osC-a)=csin3； ®2«+c=2Z?cos C；戾inA=，§“sin 二一这三个 条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题.在ABC中，内角A, B, C的对边分别为小b, c,且满足, b = 2小,a+c=4,求A8C的面积.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)解 若选择条件，由正弦定理可得小(sin 8cos C-sin A)=sin Csin B.由 sin A = sin(B+C) = sin Bcos C+cos Bsin C,得一小cos Bsin C

2、=sin Csin B.因为 0vC4,则 sinCWO,所以一4cos 8=sin C.(若 cos 8=0,则 sin 8 = 0, sin叨+cosZ：。.这与 sin2B+cos2B= 1 矛盾)乂 cos 8WO,所以 tan8=g.又所以5=J.由余弦定理及得(2小)2=/+/2ccos季即 12=(a+c)2ac.将 a+c=4 代入,解得 ac=4.所以 Sa48c=5csin 8=5义4'号=，5. 乙乙乙若选择条件，由正弦定理，得2sin A + sin C=2sin Bcos C.乂 sin A = sin(B+C) = sin Bcos C+cos Bsin C

3、,所以 2cos Bsin C+sin C=0.因为 C£(0, k),所以 sinCWO,1如从而有cos8=5.又B£(0,兀)，所以8=笠.由余弦定理及=2小，得（2小）2=/+/ 2accos苛,即12 = 3+c）2c.将a+c=4代入，解得"=4.11 小 l所以 S,ABC=acsin B=X4义，=4.乙乙乙若选择条件，由正弦定理，得厂TI Bsin Bsin A=yj3sin Asin -.Blil 0<4<7i,得 sin A WO,所以 sin8=，5cos 5,Bbb由二倍角公式，得2sin5cosy=Vcos5乙乙乙由0<

4、;3号 得COSWO,所以sin ?=坐，则3=全 即8=竽.由余弦定理及=2& 得季即 12=（a+c）2一.将 a+c=4 代入,解得 ac=4.11小 L所以 SBC=icsin B=X4X=y/3. 乙乙乙2 .在A8C的面积Smsc=2,NAOC=看这两个条件中任选一个，补充在下 面问题中，求4。.，CD=如图，在平面四边形ABC。中，NABC=j, ZBAC=ZCAD.248=4,求 AC（注：如果选择多个条件分别解答，按笫一个解答计分）1Q解 选择：S,MBc=448BCsin NA8C=3x28Csin芋=2,所以BC=2色.由余弦定理可得 AC2=AB2 + BC2

5、- 2AB BC cos N4BC = 4 + 8 2X2X2近乂（-坐）=20,所以4C=2小.选择：设N8AC=NC4O=e,则 0<。<? NBC4=：-6, AC A8上 A8c 匚口, / 4 丁=/ 口卜 9sin Z.ABC sin ABC A即5=一?!一了所以4C=请去sin彳 sin厂40吠外在4CO中，.，："=-. "丁八，即匹=之，sin ZADC sin ZCAD .兀 sin 0sin62所以ac=/3所以就1=-7y 解得 2sinJ=cos。.工七一q乂 063，所以sin 6=半，2所以 AC=i=2，l3 .已知a, b,

6、c分别为ABC内角A, B,。的对边，若A8C同时满足下列四个条件中的三个：=犁；cos 乂+2cos弓=1；=在 =2媳. c Dia I u)乙(1)满足有解三角形的序号组合有哪些？(2)在(1)所有组合中任选一组，并求对应A8C的面积.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)“方 尸、 b-a 2m4+ 3c cr+cr-b1 #解(1)由一=3 (a+b)，得-lac-=_ 3 =cos B,.37rl2. - 3tt由cos 了 =/，可得彳8兀A1由 cos 2A +2cos3=1,得(2cos A l)(cos A+ 1)=0,解得 cos A=5.又 A2(0,兀),

7、可得A=*可得不能同时出现作为条件.，满足有解三角形的序号组合有，.(2)取.由正弦定理，得避=鹤，解得sin 8=1. ji mil jljsin3VBG(0,兀)，B=，。=，.二ABC的面积S=1X班X也=/.4.(2020北京一模)在 条件(a + 力(sin A - sin B) = (c- b)sin C, ®asin B =Z?cosA+gj,"sinB+CM=sin3中任选一个，补充到横线上，并解答问题.在ABC中，内角A, B, C的对边分别为a, b, c, /）+c=6, a = 2的,求ABC的面积.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）

8、 解若选:由正弦定理,得(a+b)(ab)=(cb)c,即 b2+c2a2=bc, b2+c2cr be 1明以cos A = -2=诋二因为4£(0, 71),所以A=(因为/=/+/Z?c=S+c)2 3c, a=2y6, Z?+c=6,所以 Ac=4,LL .、I117TI所以 S/sABc=bcsin A = X 4 X sin Q=a/3. 乙JJ若选： 由正弦定理，得sin Asin 8 = sin 8cos(A+部因为。8兀，所以 sinBWO,所以 sin A=cos1A+ 化简得 sin A =cos yA sin A,所以 tan A =孚.因为04兀，所以A=,

9、乂因为 cr = b2+c1Ibccos 看，所以 bc=(Z?+c) 2a2 62 (26)2+小2+小2即 bc=24124,所以 Sa48c=csin A = ： X (24 12小)X =6-若选:§+C由正弦定理，得 sin 8sin -=sin Asin B.乙8+C因为 08兀，所以 sinBWO,所以 sin -5=sin A.乂因为 8+C=7TA.所以 cos 4=2sin 4cos /A兀 因为 0<A<n, 0<2<2A,所以 cos 5W0,所以sin白二；,所以条也 所以4=弓. 2 22 o3又/=+/Z?c=(Z?+c)2 3c

10、, a = 2水,b+c=6,所以。c=4,的图象，g(x)的图象关于原点对称；向量m = (3sin cox, cos 2cox), n = cos cox,，3>0, f(x)=m n；函数/(x)=cos ssin|看)一：(s>0)这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答问题.已知，函数Ax)的图象相邻两条对称轴之间的距离为， 若0<e<3，且sin 6=),求的)的值；(2)求函数/(x)在0, 2汨上的单调递减区间.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分) 解选条件.由题意可知,最小正周期二合=兀,/.co=, /(x)=sin(2x+3),

11、“。)=嬴1,+3一*).乂函数g(x)的图象关于原点对称，伊=依+器攵WZ.(1) V sin 6=乙V2的)一人4|_2sm针一彳(2)由+2后卧+2履,kGZ,解得聿兀+k兀，kGZ,令攵=0,得台Xw|tu,令k=l,得.兀Wxw|k,二函数/(x)在0, 2兀上的单调递减区间为专司，, |五 方案二：选条件.m =(4sin cox, cos 2gx), = (cos cox, ： |,.一 _ a/3 .1 o Jx)m ,11 sin coxcos gx十cos 2cox2s+；cos 2s)=gsin(23x+£),97r9卷2目又最小正周期r=皆=兀，3=1, zc

12、y，於)=；sin(2x+,.(1) V Ovdv, sin 8=乎，： 6=今,ZAJ)=7(3=；sin |n =乎.(2)由+2版卧;+2履,kQZ,解得聿兀+k兀，kRZ,令k=0,得台令k=l,得(兀Wxw|tg,函数/(x)在0, 2兀上的单调递减区间为茅利，京，£. 方案三：选条件.( 1 於)=cos(yxsinx+J-=cos s(sin wxcos +cos cyxsin又最小正周期丁=K=兀，7/W=；sin(2x+"(1) ()遍，sin 6= 乙型)=局$n *=坐兀 3(2)由；+2EW2x+江京+2履,k£Z,TT7TT解得入+k兀兀

13、，kGZ,令攵=0,得专Wxw|tu,令k=l,得%«|兀，.二函数段)在0, 2兀上的单调递减区间为今,兀，京6 .(2020湖北四地七校联考)如图，已知等边A8C的边长为3,点M, N分别 是边A8, AC上的点，且8W=2M4, AN=2NC如图，将AMN沿MN折起到 4MN的位置.(1)求证：平面48MJ_平面BCNM；(2)给出三个条件：HM_L8C：二面角/TMNC的大小为60。；在这三个条件中任选一个，补充在下面问题的条件中，并作答.在线段8C上是否存在一点P,使直线RT与平面48M所成角的正弦值为呼？ 若存在，求出尸8的长；若不存在，请说明理由.(注：如果选择多个条件

14、分别解答，按第一个解答计分)(1)证明 由已知得 AM=1, AN=2, NA=60。，：MN工AB, ：MNtAM, MN_LM8.高中数学资料共享群734924357，MN_L平面48M.乂 YMNu平面BCNM,，平面A0_1_平面BCNM.解 方案一：选条件4MJ_8a由得4M_LMN, 8C和MN是两条相交直线，平面MN, M4两两垂直，,以M为坐标原点，MB,MN,所在直线分别为x轴,y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系M一移z,则 4(0, 0, 1),设尸(2一“，事a, 0),其中 04尾，则H>=(2一°,小a, -1).易得平面48M的一个法向量为 =(

15、0, 1, 0).设直线RT与平面48M所成的角为仇则.Z) I /77b | 3/15SinICOS 0'加="2) 2 + 34+1= 10 '解得4 =驾心不存在点尸满足条件.方案二：选条件二面角AMNC的大小为60°,由(1)得N4MB就是二面角AMNC的平面角，/. ZA,MB=60°.过H作垂足为O,连接OC,则4O_L平面BCNM.经计算可得 OH=W，。8=|,而 8c=3,：.OB±OC.：,ob, oc, 0r两两垂直，以o为坐标原点，ob, oc, or所在直线分别为 X轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Ow

16、z,则 ao, 0,明，设电一。,小o)，其中o<“w|,则HP=1a,小a,一坐），易得平面48M的一个法向量为 = （0, 1, 0）.设直线以'与平面所成的角为仇则八/ *3/Tosin9=lcosA'P, 加 1=/ 丫、= Yc，解得“ =|或。=3（舍去），存在点尸满足条件，这时尸8=3.方案三：选条件48=成，在4BM中，A'M2+MB2-A'B2 1+4-71由余弦定理得 cos ZA'MB=2/VM.MB一=2乂“2 = 5, A ZAlMB=20°.过H作AY?_LBM,垂足为0,则4O_L平面8CNM.以。为坐标原点

17、，OB, OV所在直线分别为x轴，z轴建立空间直角坐标系（图略）,则4（0, 0,芈，设H|一。，事。，0），其中04w|,则/ = （|一”，小a,一坐）易得平面A6M的一个法向量为 =（0, 1, 0）.设直线以'与平面AfBM所成的角为仇工不存在点尸满足条件.7 .在夕"=1,s +、3 = 0,$2 = 72这三个条件中任选一个，补充在下面问题 中，若问题中的2存在，求出2的取值范围；若不存在，说明理由.若Sn是公差为d的等差数列斯的前项和,有是公比为q的等比数列仇的前 项和，,川=1, 55 = 25, a2=b29是否存在正整数九 使得为Tkl2?（注：如果选择多

18、个条件分别解答，按笫一个解答计分）解S5 = 25 = 5a3,，43 = 5,高中数学资料共享群734924357。1+。31+5/历=42 = 3 .C.dai"1 = 3 1 =2.若选:* q d= 1,；qy,"=3X2 = 6,由力7JV12得k2,又九>0, 存在正整数2=1,使得力丁1<12. 若选：Va2+b3=0,优=一。2=3,，4=-1,"=一3, 当为偶数时，=o,则;>0；当n为奇数时，“尸一3,由为Tlvl2得；<4.综上，存在正整数2=1, 2, 3,使得2/kl2.若选：由 52 = 72 得 bi =a-

19、a2bi= 1 +3 3= 1, big=7-=3,1 bl-3/r_3/r 1 *Tn= l-3=7-2,111指数函数的性质可知无最大值，不存在正整数2,使得21北Ivl2.8.在25 = 3+13；斯+1 = 2为+3, m = l这两个条件中任选一个，补充在下面 问题中，并解答问题.设数列如的前项和为若,瓦二2，£N,，求数列4的最大值.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）解 若选择条件，,2厮=3"+13,2S+i = 3+23,则 2S+l2S = 3+2-3”+i,即 2a+i=33+i-3+i=236/n+l 3H 1 f Cln 3f，92一

20、6 2-6 ，.：.bn=，易知当 2一6>0 时，n>3.ClnJ24 2X2Iz| =4 时 9 84=可;"I n=5 时,加=亨=?4 x 3<04,22工当=4时，数列d的最大值1=1=前若选择条件，。什1=2斯+3, ae + 3 = 2a+6 = 2(a+3),2X2a i 1 3若选择条件，设等比数列，/“的公比为夕，由2m+s=",得2+夕=/，所以q = 2或q= - 1(舍).由(1)得(2 + 2)/ - (2 + 5)夕 + 1 = 0,即(2 + 2)X4(2+5)X2+l=0不成立，所以，,不存在.若选择条件，设等差数列斯的公

21、差为力由2c+s=S得2m =4 所以 Sn=nci ,则 2S“+ (2 + 5)S“+Sn- =(i =rci.所以r=.若选择条件，由(2)得2=(4r)ai，所以43=(6-r)c”.n=2 H寸，由(1)得 6d4943+。2=0,因为 «47«i,所以 42m9(6r)m+(4r)m=0,解得 r=l.10.已知等差数列斯的前项和为S” 6是各项均为正数的等比数列，小二d, ,历=8,从一3加=4,是否存在正整数k,使得数列'点的前攵项和77>指 若存在，求出女的最小值；若不存在，请说明理由.从§4 = 20,S3 = 2O3,%3 。4

22、 =历这三个条件中任选一个，填到上面横线上 并作答.(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)QQ解 设等比数列d的公比为式q>0),则从=/九=的，于是/-3X8q = 4, 即6/+q-2=0,解得尸聂q= 一|(舍去).高中数学资料共享群734924357 设等差数列“的公差为._4X3若选，则山=2, S4=4i+一f"=20,解得d=2.n ( 1)个所以 S = 2“+5X2=/+，于是于=)+9H J31026令 1解得 A>15.因为左为正整数，所以攵的最小值为16.3X2若选，则川=d=2, 53 = 3+=二"=251 + 2J),解

23、得"=2.乙下同.4若选，则川=d=2, 3mi + 2c/) mi + 3J) = 8,解得所以s产2+"L>4=|/+%,高中数学资料共享群734924357则N|x(3)=翡一卷)是 3 葩 T)+(X)+1 ( 1#1 k+lj+攵 k+2A3f ,111 9_3 1 , 1 -4l2 k+1 k+2 尸豆4+1 k+2)令77禾得干+申"注意到左为正整数，解得k27,所以k的最小值为7.11 .在斯斯+i = 2"li,S尸鼠也一g，S“=a+/ 2 +攵这三个条件中任选一 个，补充至横线上.若问题中的正整数，存在，求出?的值；若，不存在

24、，请说 明理由.已知数列斯中m = l,其前项和为的，且,是否存在正整数111,使得Sin， Sm+1, Sm+2构成等差数列?(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)解 若选择条件。必1+1 =2"1,则On+ian+2=22n两式相除得到等=4.所以数列“的奇数项和偶数项分别构成公比为4的等比数列.因为m = l,所以“3=4.因为042=2,所以42=2.因此，小S，43成等比数列.故数列如是等比数列，且公比为2,所以斯二2"所以 S产2一 1,则 Sh=2-1, 5/M+1=2m+I-l, Sm+2=2,n+2-1.若S", Sgi,品+2构成等

25、差数列，则2(2"】-1) = (2桁-1) + (2N21),整理得2所 =0,此方程无解.所以不存在正整数7,使得品,SS+2构成等差数列.若选择条件S” = kan；.13因为=1，所以1=攵一右则女=看3|所以s尸产一亍31当22 H寸，$一=自比7一1两式相减,33得 tin=/ - 2a-1 .于是念=3,所以数列如是首项为1,公比为3的等比数列.因此如=3”r，*=；(3-1).高中数学资料共享群734924357 乙所以品=斜11), 5什尸斜+ 一 ),5,j+2=1(3,w+2-1).若S，Si S+2构成等差数列，则21(3e_整理，得4X3，=0,此方程无解，

26、所以不存在正整数?，使得S，S十i，St构 成等差数列.若选择条件S“=an+2+A.因为m = L所以1 = 1 + 12+匕 则女=1, 因此 Sn= On+H2 2/7 + 1.当2 时'I)? 一2(- 1)+1.两式相减，得4“一1+2-3.于是加1 = 2-3,所以斯=2-1.当71=1时，41=2X1 1 = 1,成立.于是数列 “是等差数列，且Sn=2.若S”，SS“+2构成等差数列，则2(川+1)2=序+(川+2)2,此方程无解，所以不存在正整数根，使得s，S"， S“+2构成等差数列.12 .在平面直角坐标系xQv中：已知点45，0),直线/： x=芈，动

27、点P满足到点A的距离与到直线/的距 离之比为当；已知圆C的方程为f+y2=4,直线/为圆。的切线，记点A(小，0), 8(一小，0)到直线/的距离分别为由，出 动点P满足I网=4, PB=d2;9 i点S, r分别在X轴，y轴上运动，且571 = 3,动点P满足d>=w旃+q亦(1)在，这三个条件中任选一个，求动点尸的轨迹方程；(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)(2)记(1)中的轨迹为E,经过点。(1, 0)的直线厂交石于M, N两点，若线段MN 的垂直平分线与)，轴相交于点。，求点Q纵坐标的取值范围.解(1)若选：设如，力根据题意，得"<五")

28、匕当 4/3 士L 3整理，得5+产=1.所以动点P的轨迹方程为9+产=1.若选：设P(x, y),直线/与圆相切于点从则 I以 1 + PB=d + di=2OH=4>2 小= AB.由椭圆的定义，知点尸的轨迹是以A, 8为焦点的椭圆.所以 2a=4, 2c=1481=2小,故 a=2, c,3, /? 1.所以动点P的轨迹方程为:+产=1.若选：设P(x, y), S(f, 0), T(0,办则 q（，）？+（y）2=3（*）.2? i尸科，因为丽=大市+飞声，所以 wZ卜中.',_3整理,得一5'，J'=3y，代入（*）得（+）2=1.所以动点P的轨迹方程为

29、:+产=1.（2）法一 设0（0,加），当直线r的斜率不存在时，加=0.当直线r的斜率存在时，若斜率为0,则线段MN的垂直平分线与），轴重合，不合题意,所以设直线r的方程为y=Mx-l）（H0）, M（X, yi）, Ng, y2）.y=k (x1)联立得方程组15+户1,消去y并整理，得（1+43）/-8Fx+4（公一1）=0,8斤则/。恒成立，且Xi+X2 = =ZR高中数学资料共享群7349243571 I设线段MN的中点为G（X3,户），I xi+x24k2Jz .、 k则内=丁-=4层，y3=3-l)=-jq7.所以线段MN的垂直平分线的方程为,k If 4M诉=R'一甲可,

30、zn 3k 3令x=。，得，。=7而=厂当攵0时 ；+4AW4,当且仅当攵=一。时取等号, K，3所以一产了0。；当心0时，；+4kN4,当且仅当女=；时取等号， K乙所以 Ov.voW*3 31综上所述，点。纵坐标的取值范围是一彳，4 -法二 设0（0,比），由题意，得直线的斜率不为0,设直线厂的方程为x=,叫+1.若7 = 0,则)，0 = 0.高中数学资料共享群734924357当 mWO 时,设 M(xi, yi), Ng ”),x=?v+1,联立得方程组A2 .， w+厂=L消去 x 并整理，得（?2+4）/2+2?），-3=0, 则/>。恒成立，且），+”=-M 设线段MN的中点为6（右，力），则y1+” m, i 4户二丁= 一许-3 = 惚+I =诉.所以线段MN的垂直平分线的