新人教版七年级下册数学平方根教案(共20页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上课题6.1平方根(第1课时)【教学目标】1通过实际生活中的例子理解算术平方根的概念； 2会求非负数的算术平方根并会用符号表示【教学重点】算术平方根的概念和求法【教学难点】算术平方根的求法集体智慧【活动方案】个性调整情境引入：问题：学校要举行美术作品比赛，小欧很高兴，他想裁出一块面积为的正方形画布，画上自己得意的作品参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？活动一 认识算术平方根1.探索：学生能根据已有的知识即正方形的面积公式：边长的平方等于面积，求出正方形画布的边长为。接下来教师可以再深入地引导此问题：如果正方形的面积分别是1、9、16、36、，那么正方形的边长分别是多

2、少呢？学生会求出边长分别是1、3、4、6、，接下来教师可以引导性地提问：上面的问题它们有共同点吗？它们的本质是什么呢？这个问题学生可能总结不出来，教师需加以引导。上面的问题，实际上是已知一个正数的平方，求这个正数的问题。2.归纳：算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a那么这个正数x叫做a的算术平方根。算术平方根的表示方法：a的算术平方根记为，读作“根号a”或“二次很号a”，a叫做被开方数。活动二 求非负数的算术平方根例1、 求下列各数的算术平方根： 解：因为所以的算术平方根是，即；因为，所以的算术平方根是，即；因为，所以的算术平方根是，即；因为，所以的算术平方根是，即

3、；因为，所以的算术平方根是，即。注：根据算术平方根的定义解题，明确平方与开平方互为逆运算；求带分数的算术平方根，需要先把带分数化成假分数，然后根据定义去求解； 0的算术平方根是0.由此例题教师可以引导学生思考如下问题：你能求出1,36,100的算术平方根吗？任意一个负数有算术平方根吗？归纳：一个正数的算术平方根有1个；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根.即：只有非负数有算术平方根，如果有意义，那么.注：且这一点对于初学者不太容易理解，教师不要强求，可以在以后的教学中慢慢渗透。例2、 求下列各式的值：（1） （2） （3） （4）分析：此题本质还是求几个非负数的算术平方根。解：（1） （2）

4、 （3） （4）例3、 求下列各数的算术平方根： 解：(1)因为，所以；因为，所以；因为，所以；因为，所以。根据学生的学习能力和理解能力可进行如下总结：1、由，可得2、由，可得教师需强调时对两种情况都成立.课堂小结:1、这节课学习了什么呢？2、算术平方根的具体意义是怎么样的？3、怎样求一个正数的算术平方根？ 【课堂检测】1算术平方根等于本身的数有 .2求下列各式的值.， ， ， 3求下列各数的算术平方根.， ， ， ，4已知求的值. 课题6.1平方根(第2课时)【教学目标】1.了解无限不循环小数的特点；会用算术平方根的知识解决实际问题; 2. 通过探究的大小，培养学生的估算意识，了解两个方向无

5、限逼近的数 学思想.【教学重点】认识无限不循环小数的特点，会估算一些数的算术平方根。【教学难点】认识无限不循环小数的特点，会估算一些数的算术平方根。集体智慧【活动方案】个性调整活动一 讨论的大小怎样用两个面积为1的小正方形拼成一个面积为2的大正方形？如图，把两个小正方形沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2的大正方形。你知道这个大正方形的边长是多少吗？设大正方形的边长为，则，由算术平方根的意义可知，所以大正方形的边长为。由上面的实验我们认识了，它的大小是多少呢？它所表示的数有什么特征呢？下面我们讨论的大小。因为，所以.因为，所以。因为，所以因为，所以如此进行下去，我们

6、发现它的小数位数无限，且小数部分不循环，像这样的数我们成为无限不循环小数。=注：这种估算体现了两个方向向中间无限逼近的数学思想，学生第一次接触，不好理解，教师在讲解时速度要放慢，可能需要讲两遍。=，是个无限不循环小数，但是很抽象，没有办法全部表示出来它的大小，类似这样的数还有很多，比如等，圆周率也是一个无限不循环小数。活动二 探索规律大多数计算器都有“”键，用它可以求出一个有理数的算术平方根或近似值。例1、 用计算器求下列各式的值：； （精确到解：（1）依次按键，显示：56.所以（2）依次按键2=，显示：，这是一个近似值。所以注：不同品牌的计算器，按键的顺序可能有所不同。例2 用计算器计算，

7、， ，的近似值.写出你发现的规律.你能利用发现的规律写出的值吗？学生通过计算器可求出（1）的答案，依次是：。从运算结果可以发现，被开方数扩大或缩小100倍时，它的算术平方根就扩大或缩小10倍。由可得，由的值不能求出的值，因为规律是被开方数扩大或缩小100倍时，它的算术平方根才扩大或缩小10倍，而3到30扩大的是10倍，所以不能由此规律求出。此题学生可独立完成。活动三 实际应用：例1 小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽之比为：，不知道能否裁出来，正在发愁，小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片。”你同意小明的说法吗？小

8、丽能否用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？分析：学生一般认为一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片。通过计算和讲解纠正这种错误的认识。解：设长方形纸片的长为，宽为。根据边长与面积的关系可得：，长方形纸片的长为。因为，所以，从而即长方形纸片的长应该大于，而已知正方形纸片的边长只有，这样长方形纸片的长将大于正方形纸片的边长。答：不能同意小明的说法。小丽不能用这块正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片。课堂小结：1被开方数增大或缩小时，其相应的算术平方根也相应地增大或缩小，因此我们可以利用夹值的方法来求出算术平方根的近似值；2利用计算器可以求出任意正数的算术平方根的近似值；3被开方数扩大（或缩小）与它

9、的算术平方根扩大（或缩小）的规律是怎样的呢？4怎样的数是无限不循环小数？课堂检测1.估计大小：（1）与 （2）与2.已知，求，的值。课题6.1平方根（第3课时）【教学目标】1.了解平方根的概念，会用根号表示正数的平方根；2.了解开平方与平方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根【教学重点】 了解开方和乘方互为逆运算，弄懂平方根与算术平方根的区别和联系.【教学难点】平方根与算术平方根的区别和联系.集体智慧【活动方案】个性调整活动一 思考归纳，引入概念如果一个数的平方等于9，这个数是多少？学生思考并讨论，使学生明白这样的数有两个，它们是3和3。受前面知识的影响学生可能不易想到3这个数，这时可

10、提醒学生，这里的这个数可以是负数。注意（3）29中括号的作用。又如：x2，则x等于多少呢？使学生完成课本165页的填表练习。填表：1163649给出平方根的概念：如果一个数的平方等于，那么这个数就叫做的平方根即：如果x2a，那么x叫做的平方根。求一个数的平方根的运算，叫做开平方。例如：±3的平方等于9，9的平方根是±3，所以平方与开平方互为逆运算。观察：课本45页中的图612。图612中的两个图描述了平方与开平方互为逆运算的运算过程，揭示了开平方运算的本质。让学生体验平方和开平方的互逆关系，并根据这个关系说出1，4，9的平方根。注意：这阶段主要是让学生建立平方根的概念，先不

11、引入平方根的符号，给出的数是完全平方数。例1（课本45页的例4）求下列各数的平方根：（1）100；（2）；（3）025.建议：教师要规范书写格式。活动二 讨论归纳，深化概念按照平方根的概念，请同学们思考并讨论下列问题：正数的平方根有什么特点？0的平方根是多少？负数有平方根吗？建议：可引导学生通过观察x2a中的a和x的取值范围和取值个数得出。注：学生刚开始接触平方根时，有两点可能不太习惯，一个是正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果，这与学生过去遇到的运算结果惟一的情况有所不同，另一个是负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算，这种某数不能进行某种运算的情况在有理数的加、减、乘、除、乘

12、方五种运算中一般不会遇到（0作除数的情况除外）。教学时，可以通过较多实例说明这两点，并在本节以后的教学中继续强化这两点。引入符号：正数a的算术平方根可用表示；正数a的负的平方根可用表示。例如思考：表示什么意思，这里的x可取什么样的数呢？而对于又该怎样理解呢？这里的x又可取什么样的数呢？活动三 应用知识例2 下列各式是否有意义，为什么？（1）；（2）；（3）；（4）.例3 下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根；如果没有，说明理由。64，0，（4）2，102如果有要用平方根的符号来表示。例4 求下列各式的值：（1）；（2）；（3）.建议：要让学生明白各式所表示的意义；根据平方关系和平方根概念

13、的格式书写解题格式平方根和算术平方根的概念是本章重点内容，两者既有区别又有联系。区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个；联系在于正数的负平方根是它的算术平方根的相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的负平方根，因此我们可以利用算术平方根来研究平方根。小结：什么叫做一个数的平方根？正数，0，负数的平方根有什么规律？怎样求出一个数的平方根？数的平方根怎样表示？【课堂反馈】1. 判断下列说法是否正确:(1)0的平方根是0；（2）1的平方根是1；（3）-1的平方根是 -1；（4）0.01的平方根是0.1的一个平方根.2.填表： 8-8160.363.计算下列各式的值：（1）；（2）；（

14、3）.4.平方根概念的起源与几何中的正方形有关.如果一个正方形的面积为A，那么这个正方形的边长是多少？课题6.2 立方根【教学目标】1.了解立方根的概念和表示方法；2.会求一个数的立方根；3.通过探讨一个数的立方根与它的相反数的立方根的关系，可以将求负数的立方根转化为求正数的立方根的问题，培养学生的转化思想.【教学重点】立方根的概念和求法【教学难点】立方根的求法。集体智慧【活动方案】个性调整情景引入：要制作一种容积为的正方体形状的包装箱，这种包装箱的边长应该是多少？活动一 探索归纳 认识立方根1.探索：设这种包装箱的边长为，则，这就是要求一个数，使它的立方等于27.因为 ，所以 ，即这种包装箱

15、的边长应为。2.归纳：立方根的概念：一般地，如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根。立方根的表示方法：如果，那么叫做的立方根。记作，读作三次根号。其中是被开方数，3是根指数，中的根指数3不能省略。开立方的概念：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。开立方与立方互为逆运算，可以根据这种关系求一个数的立方根。3.探索立方根的特点：根据立方根的意义填空，并思考正数、0、负数的立方根各有什么特点？（1）因为 ，所以8的立方根是 ； （2）因为 ，所以的立方根是 ； （3）因为 ，所以0的立方根是 ；（4）因为 ，所以 的立方根是 ；（5）因为 ，所以的立方根是 .学生独立完成后，教师要引

16、导学生从正、负数和零三方面去归纳总结立方根的特点。归纳：正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0的立方根是0.4.探究互为相反数的两个数的立方根的关系：填空：因为 ， ，所以 ；因为 ， ，所以 由上面两个例子可归纳出：一般地，。注：这个关系对于正数、负数、零都成立。求负数的立方根时，可以先求出这个负数的绝对值的立方根，然后再确它的相反数。活动二 应用新知解题例1 求下列各式的值：（1） （2） （3）分析：根据立方根的意义求解。解：（1） （2） （3）例2 求下列各式中的值：（1） （2） （3）分析：此题的本质还是求立方根。解：（1） （2） （3） 例3 用计算器计算，的值，你发现了

17、什么？并总结出来。利用你前面发现的规律填空：已知，则 ，。解：，由此发现：一个数扩大或缩小1000倍时，它的立方根扩大或缩小10倍。，。课堂小结1.立方根和开立方的定义2.正数、0、负数的立方根的特征3.立方根与平方根的异同 【课堂反馈】1.立方根等于本身的数是;2.如果则.3.的立方根是,的立方根是.4.已知的立方根是4，求的算术平方根.5.已知，求的值.6.比较大小：（1），（2），（3）3 课题6.3实数（第1课时）【教学目标】1.了解无理数和实数的概念以及实数的分类；2.知道实数与数轴上的点具有一一对应的关系.【教学重点】了解无理数和实数的概念【教学难点】对无理数的认识集体智慧【活动方

18、案】个性调整活动一 引入无理数利用计算器把下列有理数写成小数的形式，它们有什么特征？发现上面的有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式即：归纳：任何一个有理数（整数或分数）都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式.反过来，任何有限小数或者无限循环小数也都是有理数。通过前面的学习，我们知道有很多数的平方根或立方根都是无限不循环小数，把无限不循环小数叫做无理数.比如等都是无理数。也是无理数。活动二 认识实数1实数的概念：有理数和无理数统称为实数。2实数的分类：按照定义分类如下： 实数 按照正负分类如下：实数3实数与数轴上点的关系：我们知道每个有理数都可以用数轴上的点来表示。无理数是否也可以用数

19、轴上的点表示出来吗？活动1：直径为1个单位长度的圆其周长为，把这个圆放在数轴上，圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点到达另一个点，这个点的坐标就是，由此我们把无理数用数轴上的点表示了出来。活动2：在数轴上，以一个单位长度为边长画一个正方形，则其对角线的长度就是以原点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与正半轴的交点就表示，与负半轴的交点就是。事实上通过这种做法，我们可以把每一个无理数都在数轴上表示出来，即数轴上有些点表示无理数。归纳：实数与数轴上的点是一一对应的。即没一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总比

20、左边的点表示的实数大。活动三 应用新知例1 下列实数中，无理数有哪些？，解：无理数有：，注：带根号的数不一定是无理数，比如，它其实是有理数4；无限小数不一定是无理数，无限不循环小数一定是无理数。比如。例2 把无理数在数轴上表示出来。分析：类比的表示方法，我们需要构造出长度为的线段，从而以它为半径画弧，与数轴正半轴的交点就表示。OACB解：如图所示，由勾股定理可知：,以原点为圆心，以长度为半径画弧，与数轴的正半轴交于点,则点就表示。课堂小结【课堂检测】1判断下列说法是否正确：无限小数都是无理数；无理数都是无限小数；带根号的数都是无理数；所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，反过来，数轴上所有的点都表示有理数；所有实数都可以用数轴上的点来表示，反过来，数轴上的所有的点都表示实数。2把下列各数分别填在相应的集合里： ，有理数集合无理数集合3比较下列各组实数的大小：（1）， （2）， （3） （4） 课题6.3实数（第2课时）【教学目标】1.掌握实数的相反数和绝对值；2.掌握实数的运算律和