一元一次不等式知识点及典型例题

1、一元一次不等式考点一、不等式的概念1、不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。2、不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。3、对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。4、求不等式的解集的过程，叫做解不等式。5、用数轴表示不等式的方法考点二、不等式基本性质1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。4、说明：在一元一次不等式中，不像等

2、式那样，等号是不变的，是随着加或乘的运算改变。如果不等式乘以0,那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0,否则不等式不成立；考点三、一元一次不等式1、一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1, 且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。2、解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类一项（5）将x项的系数化为1考点四、一元一次不等式组1、一元一次不等式组的概念：几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元 次不等式组。2、几个一元

3、一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解 集。3、求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。4、当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。5、一元一次不等式组的解法（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。6、不等式与不等式组不等式：用符号，=，号连接的式子叫不等式。 不等式的两边都加上或减去 同一个整式，不等号的方向不变。 不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等 号方向不变。不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。7、不等式的解集：能使不等式成立的未知数的值，叫

4、做不等式的解。一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。求不等式解集的过程叫做解不等式。知识点与典型基础例题一不等式的概念：例判断下列各式是否是一元一次不等式？-x >5 2x-y < 02x4x-35xX >2 x <1-2x <3 的非负整数解 -14 x2-2.六在数轴上表示不等式的解集:不等式的解：例解下列不等式并把解集在数轴上表示出来不等式的解集:例 判断下列说法是否正确，为什么?2x+3 <3x+2-3x+2<5lx*23x 23不等式3x<7的解是x<20X=3是不等式3x19的解X=2是不等式x+3<2的解

5、。 X=2 是不等式3x<7的解。次不等式:例判断下列各式是否是次不等式2x例 五.不等式的基本性质问题例1指出下列各题中不等式的变形依据1 )由 3a>2 得 a>32)由 3+7>0 得 a>-73 )由-5a<1 得 a>- 54)由 4a>3a+1 得 a>18-2(x+2) <4x-23-二 2 中题型一：求不等式的特殊解例1 ) 求x+3<6的所有正整数解2x 3 x 1-23例2用”或<”填空，并说明理由如果 a<b 则 1 ) a-2( )b-2 2)-2- b 3)-3a-5( )-3b-52)求1

6、0-4 (x-3) >2 (x-1 )的非负整数解，并在数轴上表示出来。例3把下列不等式变成x>a x<a的形式。X+4>75x<1+4xx>-12x+5<4x-23 )求不等式号1 0的非负整数解。例4已知实数a/b/c/在数轴上的对应点如图，则下列式子正确的是(A cb>ab B ac>ab C cb<ab D c+b<a+b题型二：不等式与方程的综和题» , 2_1_ 、 、_一 ，、/ ,例5 当0<x<l时x , x, 7 ,之间的大小关系是4)设不等式2 x a 0 0只有3个正整数解，求正整数

7、例将下列不等式的解集在数轴上表示出来例关于X的不等式2 x- a <- 1的解集如图，求a的取值围x 9 5x 1不等式组x m 1的解集是x>2,则m的取值围是？5x 3y 31若关于X、Y的二元一次方程组 x y p 0的解是正整数，求整数P的值题型三确定方程或不等式中的字母取值围例 k为何值时方程5 x 6 = 3 ( x + k)的值是非正数5x 4例x取什么值时，代数式 -6一的值不小于I=的值，并求出X的最小值。一题型六不等式解法的变式应用例根据下列数量关系，列不等式并求解。1X的3与x的2倍的和是非负数。 C与4的和的30 %不大于-2。X除以2的商加上2,至多为5。

8、A 与b两数和的平方不可能大于3已知关于x的方程3k5x= 9的解是非负数，求k的取值围已知在不等式3 x a < 0的正整数解是1 , 2 , 3 ,求a的取值围4x 3y k若方程组 2x 3y 5的解中x>y,求K的围例 x取何值时，2 (x 2) (x 3) 6的值是非负数?3x 22x例x取哪些非负整数时， 飞一的值不小于 与1的差。题型七解不定方程例求方程4X+ y 2 0 = 0的正整数解。如果关于x的方程x+2m-3=3x+7的解为不大于2的非负数，求m的围若|2a+3| >2a+3,求 a 的围。x 2 a已知 x 3a 2无解，求a的取值围。2x m已知关

9、于x的方程X 3i2x3的解是非负数，m是正整数，求m的值。若(a+1) x>a+1的解是x< 1,求a的围。题型八比较两个代数式值的大小例 已知 A=a + 2, B = a 2 - a + 5 , C=a 2 + 5 a 1 9 ,求 B 与 A , C与 A的大小关系8、常见题型题型五求最小值问题一、选择题在平面直角坐标系中，若点P（m-3, m+ 1）在第二象限，则m的取值围为（）A. - 1<mK3 B . m>3C . mK- 1 D . m>- 1的取值围是（已知关于的一元二次方程A.有两个不相等的实数根，则实数B.D.四个小朋友玩跷跷板，他们的体重

10、分别为 P、Q R S,如图3所示，则他们的体重大小关系是（）把不等式组的解集是的解集表示在数轴上正确的是A.若不等式组有实数解，则实数的取值围是（）A.B.C.的大小关系为（）D.A.B.C. D .不能确定不等式一x-5< 0的解集在数轴上表示正确的是（）的正整数解有（）(A) 1 个(B) 2 个(C) 3 个(D) 4 个把某不等式组中两个不等式的解集表示在数轴上，如图所示，则这个不等式组可能是C.A.B.D.不等式组，的解集是C.不等式组的解集在数轴上可表示为（B.A.在数轴上对应的点如图所示，则A.B.的大小关系正确的是（C.A. a>c>bB. b>a&g

11、t;cC. a>b>cD. c>a>b不等式组的解集在数轴上表示正确的是D.如图，a、b、c分别表示苹果、梨、桃子的质量.同类水果质量相等，则下列关系正确的是（）把不等式组的解集表示在数轴上，正确的为图3中的（）表示三种不同的物体，现放在天平上比较两次，情况如图所示，那么这三种物体不等式组的解集在数轴上可表示为（按质量从大到小的顺序排列应为（）在数轴上表示不等式组的解集，正确的是不等式组的解集为、填空题不等式组的整数解的个数为已知关于的不等式组已知3x+40 6+2(x-2),则的最小值等于的整数解共有3个，则1已知不等式组的解集为一1<x<2,则（m+的取

12、值围是*、2008n)=不等式组的解集是的整数解是关于x的方程解不等式组并写出该不等式组的最大整数解.若不等式组的根，求a的值解方程由绝对值的几何意义知，该方程表 示求在数轴上与1和一2的距离之和为5的点对应的x的值。在数轴上，1和一2的距离为3,满足方程的x对应点在1的右边或2的左边，若x对应点在1的右边,由图(17)可以看出x=2;同理，若x对应点在一2的左边，可得x= 3,故原方程的解是x=2或x=3参考阅读材料，解答下列问题:(1)方程的解为(2)解不等式取值围>9；< a对任意的x都成立，求a的解不等式组并把解集表示在下面的数是否满足该不等式组.轴上.解不等式3x-2&l

13、t;7,将解集在数轴上表示出来，并写出它的正整数解.解不等式组解不等式组,并写出它的所有整数解.解不等式组:并判断<卜 <2当3'"时，a<x<b；（大小小大取中间）当卜）匕时无解，（大大小小无解不等式组并求出所有整数解的和.不等式复习1一：知识点回顾1、一元一次不等式（组）的定义：2、一元一次不等式（组）的解集、解法：3、求不等式组的解集的方法：若a<b,当1工2时，x>b；（同大取大）当时，x<a；（同小取小）解）二：小试牛刀1、不等式8-3x0的最大整数解是2、若（a 1）x a 1的解集是x 1 ,则a必须满足 x 4 一 一

14、一一3、若不等式组x 4,的解集是4 x a ,则a的取值围是.x a4、若0 a 1,则a2、1、a之间的大小关系是 . a5、如果一元一次方程2x 5k x 4的解是正数，那么k的取值围是.1）彳T 7、不等式组以一士:口 的解集为x<2,试求k的取值围8、由x >y得ax <ay的条件是（）A.a>0 B.a <0 C.a >0 D.a <09、由a >b得am2>bn2的条件是（）A.m>0 B.m <0 C.m w0 D.m 是任意有理数三：例题讲解1、已知关于x的不等式2x+m>-5的解集如图所示，则 m的值为

15、（）A, 1 B, 0 C, -1 D, 3Ij D I |5i d 3 2 1 012、不等式2x+1<a有3个正整数解，则a的取值围是？3、关于x的不等式组x a °的整数解共有3个，则a的取值围是多少？1 x 03x y 2k.4、若方程组y '的解满足x 1,且y 1,求整数k的取值围。y x 3A <3（7-25、若不等式组L A加-5无解，求a的取值围.7、用若干辆载重为8吨的汽车运一批货物，若每辆汽车只装 5吨，则剩下10吨货物,一6、已知不等式组2ax 6 a的解集是1<x<b.则a+b的值?6x 5 b若每辆车装满8吨，则最后一辆汽车

16、不空也不满，请问有多少辆汽车?4、X是哪些非负整数时,3x 25一5的值不小于2x 13与1的差x 2y 15若方程组2 的解x、y的值都不大于1,求m的取值围x 2y mx a 06、不等式组3 2x 1的整数解共有5个，则a的取值围是9、为执行中央“节能减排，美化环境，建设美丽新农村”的国策，我市某村计划建造A、B两种型号的沼气池共20个，以解决该村所有农户的燃料问题.两种型号沼气池的占地面积、使用农户数及造价见下表：已知可供建造沼气池的占地面积不超过 365m2,该村农户共有492户.(1)满足条件的方案共有几种？写出解答过程.(2)通过计算判断，哪种建造方案最省钱.一元一次不等式及其应

17、用知识讲解1 . 一元一次不等式的概念类似于一元一次方程，含有一个未知数，未知数的次数是1?的不等式叫做一元-9、某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产 A、B两种产品共50件，已知生产一件A种产品用甲种原料9千克，乙种原料3千克，可获利700元；生产一件B种产品用甲种原料4千克，乙种原料10千克，可获利1200元。(1)按要求安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案？请你设计出来；(2)设生产A、B两种产品总利润为y元，其中一种产品生产件数为x件，试写出y与x之间的函数关系式，并利用函数的性质说明那种方案获利最大？最大利润是多少？3、如果不等式组 2x 3

18、 0无解，则m的取值围是;x m8、某校准备组织290名学生进行野外考察活动，行共100件，学校计划租用甲乙两种 型号的汽车共8辆，经了解，甲种汽车每辆最多载 40人和10件行；乙种汽车每辆最多载30人和20件行。(1)设租用甲种汽车x辆，请你帮助学校设计所有可能的方案(2)如果甲乙两种汽车每辆的租车费分别为 2000, 1800元，请你选择最省钱的一种 租车方案。次不等式.2 .不等式的解和解集不等式的解：与方程类似，我们可以把那些使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有的解的集合叫做这个不等式的解集.它可以用最简单的不等式表示，也可以用数轴

19、来表示.3 .不等式的性质性质1:不等式两边加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变，即如 a>b,那么 ac>bc.性质2：不等式两边乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即如果a>b,c>0,那么 ac>bc （或 9>上）.性质3：不等式两边乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即如果a>b,c<0,那么 ac<bc （或 且 >上）.不等式的其他性质： 若a>b,则b<a；若a>b, b>c,则a>c；若ab,且b>a, ?则 a=b；若 a00,则 a=0.4 . 一

20、元一次不等式的解法一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法类似，？但要特别注意不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，不等号要改变方向.5 . 一元一次不等式的应用列一元一次不等式解实际应用问题，可类比列一元一次方程解应用问题的方法和技巧，不同的是，列不等式解应用题，寻求的是不等关系，因此，根据问题情境，抓例题解析例1解不等式四士>-x-5,并把它的解集在数轴上表示出来.364a 2 2a 1例2若实数a<1,则实数M=a N=a , P，03的大小关系为（）A . P>N>M B . M>N>P C . N>P>M D . M>P>

21、;N例3若不等式-3x+n>0的解集是x<2,则不等式-3x+n<0的解集是例4某公司为了扩大经营，决定购进 6台机器用于生产某种活塞.？现有甲，乙两种机器供选择，其中每台机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示.经过预算，本次购买机器所耗资金不能超过 34万元.（1）按该公司要求可以有几种购买方案？（2）若该公司购进的6台机器的日生产能力不低于380个，那么为了节约资金应 选择哪种购买方案？例5某童装加工企业今年五月份，？工人每人平均加工童装150套，最不熟练的 工人加工的童装套数为平均套数的 60%为了提高工人的劳动积极性，按照完成外商订 货任务，企业计划从六月份起

22、进行工资改革.？改革后每位工人的工资分两部分：一部分为每人每月基本工资200元；另一部分为每加工1套童装奖励若干元.（1） ?为了保证所有工人的每月工资收入不低于市有关部门规定的最低工资标准住应用问题中“不等”关系的关键词语，或从题意中体会、感悟出不等关系十分重要.450元，按五月份工人加工的童装套数计算， 工人每加工1套童装企业至少应奖励多少ABCD11.不等式-x-5 00的解集在数轴上表示正确的是（）18.某班学生在颁奖大会上得知该班获得奖励的情况如下表:元（精确到分）?（2）根据经营情况，企业决定每加工 1套童装奖励5元.？工人小争取六月份工资不少于1200元，问小在六月份应至少加工多

23、少套童装？强化训练一、填空题1 .若不等式2乂<2的解集是x>1,则a的取值围是.12 .不等式x+3>1x的负整数解是.3 .不等式5x-9 < 3 （x+1）的解集是.4 .不等式4 （x+1） >6x-3的正整数解为.5 .已知 3x+4< 6+2 （x-2）, WJ | x+1 | 的最小值等于 .6 .若不等式a （x-1 ） >x-2a+1的解集为x<-1 ,则a的取值围是.2 x 2x 17 .满足号23的x的值中，绝对值不大于10的所有整数之和等于.8 .小明用100元钱去购买笔记本和钢笔共 30件，已知每本笔记本2元，？每支钢笔

24、5 元，那么小明最多能买 支钢笔.9 .某商品的进价是500元，标价为750元，商店要求以利润不低于5%勺售价打折出售， 售货员最低可以打 折出售此商品.10 .有10名菜农，每个可种甲种蔬菜3亩或乙种蔬菜2亩，？已知甲种蔬菜每亩可收 入0.5万元，乙种蔬菜每亩可收入 0.8万元，若要总收入不低于15.6万元，？则最 多只能安排 人种甲种蔬菜.二、选择题12.如图所示，。是原点，实数a, b, c?在数轴上对应的点分别为 A, B, C,则下列结论错误的是（）A. a-b>0 B . ab<0 C . a+b<0 D . b (a-c) >014 .如果不等式 空+1&

25、gt;叠的解集是x<-,则a的取值围是() 333A . a>5 B . a=5 C . a>-5 D . a=-515 .关于x的不等式2x-a0-1的解集如图所示，则a的取值是（）A. 0B. -3""2J01C. -2D. -116 .初中九年级一班几名同学，毕业前合影留念，每人交 0.70元，一彩色底片0.68元，扩印一照片0.50元，每人分一，将收来的钱尽量用掉的前提下，？这照片上的同学最少有（）A . 2个 B . 3个 C . 4个 D . 5个17 .四个小朋友玩跷跷板，他们的体重分别为 P, Q R, S,如图所示，则他们的体重QS大小关

26、系是（）A . P>R>S>Q B . Q>S>P>RC. S>P>Q>R D . S>P>R>Q已知该班共有28人获得奖励，其中只获得两项奖励的有 13人，那么该班获得奖励最多的一位同学可能获得的奖励为()A . 3项 B . 4项 C . 5项 D . 6项19.解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来.(1)3x 462x 13x 5(2) x-3 >420 .王女士看中的商品在甲，乙两商场以相同的价格销售，两商场采用的促销方式不 同：在甲商场一次性购物超过100元，超过的部分八折优惠；在乙商场一次性购物 超过5

27、0元，超过的部分九折优惠，那么她在甲商场购物超过多少元就比在乙商场 购物优惠？21 .甲，乙两家超市以相同的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，？各自推出不同的优惠方案：在甲超市累计购买商品超出 300元之后，？超出部分按原价8折优惠； 在乙超市累计购买商品超出200元之后，超过部分按原价8.5折优惠.设顾客预计 累计贝物x元(x>300).(1)请用含x的代数式分别表示顾客在两家超市购物所付的费用；22 .福林制衣厂现有24名制作服装工人，？每天都制作某种品牌衬衫和裤子，每人每 天可制作衬衫3件或裤子5条.(1)若该厂要求每天制作的衬衫和裤子数量相等，则应安排制作衬衫和裤子各多少人？(2

28、)已知制作一件衬衫可获得利润 30元，制作一条裤子可获得利润16元，？若该 厂要求每天获得利润不少于2100元，则至少需要安排多少名工人制作衬衫？23 .某零件制造车间有工人20名，？已知每名工人每天可制造甲种零件 6个或乙种零 件5个，且每制造一个甲种零件可获利 150元，？每制造一个乙种零件可获利260 元，在这20名工人中，车间每天安排x名工人制造甲种零件，？其余工人制造乙种 零件.(1)请写出此车间每天所获利润y (元)与x (人)之间的关系式；(2)若要使每天所获利润不低于24000元，？你认为至少要派多少名工人去制造乙种 零件才合适？24 .足球比赛的记分规则为：胜1场得3分，平1

29、场得1分，负1?场彳4 0分，一支足 球队在某个赛季中共需比赛14场，现已比赛8场，负了 1场，得17分，请问：(1)前8场比赛中，这支球队共胜了多少场？(2)这支球队打满了 14场比赛，最高能得多少分？(3)通过对比赛情况的分析，这支球队打满 14场比赛得分不低于29分，？就可以 达到预期目标，请你分析一下，在后面的 6场比赛中这支球队至少要胜几场，才能达到预期目标?(2)试比较顾客到哪家超市购物更优惠？说明你的理由.(Ca 8 b 8DD4 42的解集，正确的是5a5b._出a b 0_CB)25 .宏志高中高一年级近几年招生人数逐年增加，去年达到 550名，？其中面向全省招12.在数轴上

30、表示不等式x>收的“宏志班”学生，也有一般普通班学生.由于场地、师资等限制，今年招生()最多比去年增加100人，其中普通班学生可以招 20% ? “宏志班”学生可多招10% _一 ， y |'i 一-3 -上 TO-2-1012 T -T-10问今年最少可招收“宏志班”学生多少名？(A)(B)(C)(D)x 5(B)不等式组的解集是x 5x 4x 10(D)不等式组的解集是3 x 10x 3一元一次不等式和一元一次不等式组一 .填空题：(每小题2分，共20分)1 .若 x < y ,则 x 2 y 2 ;(填“ <、>或="号)26 若 a b ,贝U 3ab ;(填“ <、>或="号)3 .不等式2x>x 2的解集是39；4.当y时、代数式3且的值至少为1:5 .不等式6 12x 0的解集是，46 .不等式7 x 1的正整数解为：;7 .若一次函数y 2x 6,当x时，y 0；8 . x的3与12的差不小于6,用不等式表示为 59 .不等式组2x 3 0的整数解是;3x 2 010 .若关于x的方程组3x 2y p