轴心受压构件的弯曲屈曲

1、重庆大学土木工程学院重庆大学土木工程学院结构稳定理论主讲：程 睿 E-mail: 2 轴心受压构件的弯曲屈曲第二章 轴心受压构件的弯曲屈曲2.1 概述概述2.2 轴心受压构件的弹性弯曲屈曲轴心受压构件的弹性弯曲屈曲2.3 轴心受压构件的大挠度弹性理论轴心受压构件的大挠度弹性理论2.4 轴心受压构件的非弹性屈曲轴心受压构件的非弹性屈曲2.5 初始缺陷对轴心受压构件的影响初始缺陷对轴心受压构件的影响2 轴心受压构件的弯曲屈曲2.1 概述概述v轴心受压构件的失稳形式轴心受压构件的失稳形式弯曲失稳：弯曲失稳：某个主轴平面内的变形迅速增加而丧失承载力。某个主轴平面内的变形迅速增加而丧失承载力。 双轴对称

2、截面双轴对称截面 扭转失稳：扭转失稳：扭转变形迅速增大而丧失承载力。扭转变形迅速增大而丧失承载力。十字形截面十字形截面弯扭失稳：弯扭失稳：单轴对称构件绕对称轴失稳时，截面形心与剪心单轴对称构件绕对称轴失稳时，截面形心与剪心 不重合，发生弯曲的同时伴有扭转。不重合，发生弯曲的同时伴有扭转。 单轴对称截面，无对称轴截面单轴对称截面，无对称轴截面 弯曲屈曲是确定轴心受压构件弯曲屈曲是确定轴心受压构件稳定承载力的主要依据。稳定承载力的主要依据。2 轴心受压构件的弯曲屈曲v荷载位移曲线荷载位移曲线1-小挠度理论小挠度理论 (弹性弹性)2-大挠度理论大挠度理论 (弹性弹性)3-有初弯曲时有初弯曲时(弹性弹

3、性)4-有初偏心时有初偏心时(弹性弹性)3-有初弯曲时有初弯曲时(弹塑性弹塑性)4-有初偏心时有初偏心时(弹塑性弹塑性)2 轴心受压构件的弯曲屈曲2.2 轴心受压构件的弹性弯曲屈曲轴心受压构件的弹性弯曲屈曲1）理想轴心压杆的欧拉临界力）理想轴心压杆的欧拉临界力基本假定：基本假定：（1）等截面、双轴对称直杆，两端理想铰接；）等截面、双轴对称直杆，两端理想铰接；（2）压力通过截面形心，沿原杆件轴线方向作用；）压力通过截面形心，沿原杆件轴线方向作用；（3）材料具有线弹性，符合虎克定律；）材料具有线弹性，符合虎克定律；（4）符合平截面假定；）符合平截面假定；（5）小变形假定：）小变形假定： 弯曲曲率：

4、弯曲曲率：yyy/ 232)(1 2 轴心受压构件的弯曲屈曲 按随遇平衡法计算构件的分枝屈曲荷载时取图示脱离体按随遇平衡法计算构件的分枝屈曲荷载时取图示脱离体并建立平衡微分方程：并建立平衡微分方程： 杆件处于临界状态时，内外弯矩杆件处于临界状态时，内外弯矩相等，即相等，即 令令 ，得：，得：此常系数二阶齐次微分方程的通解：此常系数二阶齐次微分方程的通解：A, B为待定系数，由边界条件确定。为待定系数，由边界条件确定。yEIMi PyMePyyEI 2kEIP02 ykykxBkxAycossin2 轴心受压构件的弯曲屈曲由边界条件得：由边界条件得：（1） 则则（2）由此可得临界力公式为：由此可

5、得临界力公式为：与之对应的挠曲线为：与之对应的挠曲线为：kxAyByxsin , 0 000sin 0klAylx0 A0sin kllmk 2lmEIP222mcr,lEImPlxmAysin（m = 1，2，3，），），即即2 轴心受压构件的弯曲屈曲v临界力和屈曲形式临界力和屈曲形式 221lEIP2224lEIP2239lEIP轴向压力轴向压力横向挠度横向挠度最低的临界力即为欧拉临界力最低的临界力即为欧拉临界力221lEIPPElxmAysin2 轴心受压构件的弯曲屈曲v挠曲线挠曲线 当当m = 1时时P最小，对应的挠曲线方程为最小，对应的挠曲线方程为 ，为正，为正弦曲线的一个半波；当弦

6、曲线的一个半波；当x = l /2时，时，y = v0，A即为跨中最大挠度即为跨中最大挠度 v0，故有，故有 。杆件可在任意杆件可在任意 v0值的弯曲状态下保持平衡。值的弯曲状态下保持平衡。 lxvysin0crP轴向压力轴向压力横向挠度横向挠度Av 0lxAysinv0 为不定值，在小变形假设的前提下，为不定值，在小变形假设的前提下，2 轴心受压构件的弯曲屈曲2）端部有约束的轴压构件（压杆的高阶微分方程）端部有约束的轴压构件（压杆的高阶微分方程） 对于对于两端为任意支承情况时，两端为任意支承情况时，由脱离体的平衡得：由脱离体的平衡得：对上式求导两次可消去等式对上式求导两次可消去等式右端的杆端

7、约束力：右端的杆端约束力： 令令 ，得，得 此微分方程与杆端约束力此微分方程与杆端约束力无关，故能代表各种支承情况，无关，故能代表各种支承情况，称称压杆屈曲的高阶微分方程压杆屈曲的高阶微分方程。 VzMPyyEI A0 yPyEI2kEIPlMMVBAPPPP02 yky2 轴心受压构件的弯曲屈曲方程的通解为：方程的通解为：其各阶导数为：其各阶导数为：A, B, C, D为待定系数，由边界条件确定。为待定系数，由边界条件确定。各支承情况的边界条件：各支承情况的边界条件： 铰支：铰支： 固支：固支： 自由端：自由端：DCzkzBkzAycossinCkzBkkzAkysincoskzBkkzAk

8、ycossin22 )(sincos233CykkzBkkzAky 0 , 00 , 00 , 02 ykyyyyyy2 轴心受压构件的弯曲屈曲v 两端固定的轴心压杆两端固定的轴心压杆边界条件：边界条件：线性齐次方程组：线性齐次方程组：为使关于为使关于A、B、C、D的齐次方程组有非的齐次方程组有非0解，则其系数行列式应为解，则其系数行列式应为0。 0 , 0 , 0 , 000lxlxxxyyyy00sincos0cossin00010010CklBkklAkDClklBklACBkAkDCBA001sincos1cossin0101010klkklklklklk2 轴心受压构件的弯曲屈曲则则

9、由此得由此得 或或（1）求解第一式）求解第一式 临界力：临界力：（2）求解第二式）求解第二式（为超越方程，需采用数值解法或图解法）（为超越方程，需采用数值解法或图解法） 在坐标系中分别画出曲线在坐标系中分别画出曲线 和和 ，其交点，其交点 即为方程的解。即为方程的解。0)2cos2sin2(2sin2klklklkl22 tan 02sinklklkl)3 , 2 , 1(422222mcr,mlEImPEIPlmkmkl2tankly 2kly 22cr4lEIP2 轴心受压构件的弯曲屈曲取相交点的最小值，得取相交点的最小值，得 即即 结合上述两式的解，取小值，结合上述两式的解，取小值，得两

10、端嵌固杆的临界力为：得两端嵌固杆的临界力为：v 使方程有非使方程有非0解，满足解，满足 = 0的的k值称为值称为特征值特征值，因此，因此解理想解理想轴压杆的分岔屈曲荷载，在数学上是一个求特征值的问题。轴压杆的分岔屈曲荷载，在数学上是一个求特征值的问题。v 与与k值对应的值对应的y(x)为为特征函数特征函数或或特征向量特征向量，即构件处于中性，即构件处于中性平衡时的弹性曲线方程。平衡时的弹性曲线方程。v = 0为为特征方程特征方程，因，因Pcr由由 = 0求得，故又称为求得，故又称为屈曲方程屈曲方程。2222cr2/4lEIlEIP22cr)2/(045. 2 43. 12lEIPkl2 轴心受

11、压构件的弯曲屈曲v 一端铰接、一端固定的轴心压杆一端铰接、一端固定的轴心压杆边界条件：边界条件：线性齐次方程组：线性齐次方程组：为使关于为使关于A、C的齐次方程组有非的齐次方程组有非0解，则其系数行列式应为解，则其系数行列式应为0。 0 , 0 , 0 , 000 lxlxxxyyyy0cos0sin 0sincos0cossin01012CklAClklACklBkklAkDClklBklABkDB01cossinklklkl力学边力学边界界几何边几何边界界2 轴心受压构件的弯曲屈曲展开得展开得即即 上式称为该压杆稳定的特征方程，为一超越方程，求解上式称为该压杆稳定的特征方程，为一超越方程，

12、求解临界力的问题成为求解最小非零根的问题。其最小非零根为：临界力的问题成为求解最小非零根的问题。其最小非零根为： （最小特征根最小特征根） 即即klklklklkltan0cossinEIPk 2EIPlcr2493. 4222cr)7 . 0(19.20lEIlEIP493. 4kl2 轴心受压构件的弯曲屈曲3）轴心受压构件的计算长度）轴心受压构件的计算长度 对其他约束情况，对其他约束情况，Pcr同样可由高阶微分方程计算，如：同样可由高阶微分方程计算，如： 两端铰支：两端铰支： 一端固定一端自由：一端固定一端自由： 一端固定一端平移但不转动：一端固定一端平移但不转动： 可统一表示为：可统一表

13、示为： l0称计算长度，称计算长度，为计算长度系数。为计算长度系数。 ) 1( 22crlEIP2)( )2(22crlEIP) 1( 22crlEIP22202cr)( lEIlEIP2 轴心受压构件的弯曲屈曲v 讨论讨论 l0 的实质的实质 由曲率方程有：由曲率方程有： 若已知杆中两弯矩为零的截面位置分别为若已知杆中两弯矩为零的截面位置分别为z1、z2，即：即： 和和 代入上式得关于待定系数代入上式得关于待定系数A、B的线形齐次方程组的线形齐次方程组 即应有即应有 展开得：展开得： 即即 令令 ，得，得 ， 解得最小值解得最小值kzBkkzAkycossin22 01yzz 02yzz0c

14、ossin0cossin2211kzBkzAkzBkzA0coscos sinsin2121kzkzkzkz0sincoscossin2121kzkzkzkz0)sin(12 zz120zzl0kl0sin0kl2 轴心受压构件的弯曲屈曲 由此得到与欧拉临界力相同的算式：由此得到与欧拉临界力相同的算式： l0的实质为点的实质为点 z1、z2 之间的距离，因这两点弯矩为零，亦之间的距离，因这两点弯矩为零，亦即曲率为零，故为反弯点。即曲率为零，故为反弯点。 l0实际上相当于实际上相当于相邻两反弯点处切相邻两反弯点处切出的脱离体（相当于欧拉柱）的长度。出的脱离体（相当于欧拉柱）的长度。 202crl

15、EIP2 轴心受压构件的弯曲屈曲2.3 轴心受压构件的大挠度弹性理论轴心受压构件的大挠度弹性理论1）大挠度方程）大挠度方程 构件弯曲曲率与变构件弯曲曲率与变形的关系：形的关系： 两端铰接轴压杆大两端铰接轴压杆大挠度方程为：挠度方程为：232)(1 /yy 0)(1 232 PyyyEI/2 轴心受压构件的弯曲屈曲2）讨论）讨论 （1）当当PPE时，小、大挠度理论都表明构件处于直线稳时，小、大挠度理论都表明构件处于直线稳 定平衡状态；定平衡状态； （2）当）当PPE时，小挠度理论只能指出构件处于随遇平衡时，小挠度理论只能指出构件处于随遇平衡 状态，只能给出分岔点和屈曲变形形状，不能给出确状态，只

16、能给出分岔点和屈曲变形形状，不能给出确 定的挠度值；而大挠度理论不仅能说明构件屈曲后仍定的挠度值；而大挠度理论不仅能说明构件屈曲后仍 处于稳定平衡状态，而且可以得到不同时刻的荷载与处于稳定平衡状态，而且可以得到不同时刻的荷载与 挠度关系；挠度关系； 2 轴心受压构件的弯曲屈曲 （3）两个理论给出了相同的分岔荷载。小挠度理论的临界）两个理论给出了相同的分岔荷载。小挠度理论的临界 荷载代表了由稳定平衡到不稳定平衡的分枝点，大挠荷载代表了由稳定平衡到不稳定平衡的分枝点，大挠 度理论的分岔荷载则是由直线稳定平衡状态到曲线稳度理论的分岔荷载则是由直线稳定平衡状态到曲线稳 定平衡状态的分枝点；定平衡状态的

17、分枝点； （4）大挠度理论得到的屈曲后荷载有所提高，但当挠度达）大挠度理论得到的屈曲后荷载有所提高，但当挠度达 到构件长度到构件长度3%以上时，跨中弯曲应力将使截面进入弹以上时，跨中弯曲应力将使截面进入弹 塑性状态，出现下降段。因此塑性状态，出现下降段。因此轴心压杆的屈曲后强度轴心压杆的屈曲后强度 不能被利用。不能被利用。2 轴心受压构件的弯曲屈曲2.4 轴心受压构件的非弹性屈曲轴心受压构件的非弹性屈曲v 欧拉临界力及临界应力只适用于材料为弹性时的情况，应欧拉临界力及临界应力只适用于材料为弹性时的情况，应 力一旦超过材料的比例极限，则欧拉公式不再适用。力一旦超过材料的比例极限，则欧拉公式不再适

18、用。v 临界长细比临界长细比 ppp22pcrEE弹性失稳和弹性失稳和弹塑性失稳弹塑性失稳的分界点的分界点2 轴心受压构件的弯曲屈曲1）切线模量理论）切线模量理论 由德国科学家恩格塞尔（由德国科学家恩格塞尔（Engesser）在）在1889年提出。年提出。 基本假定：基本假定：在弯曲时全截面没有出现反号应变。在弯曲时全截面没有出现反号应变。 达到弹塑性失稳荷载达到弹塑性失稳荷载Pt后，后，构件微弯时荷载还略有增加，构件微弯时荷载还略有增加，而且增加的平均轴向应力正好而且增加的平均轴向应力正好抵消因弯曲而在抵消因弯曲而在11截面右侧截面右侧边缘产生的拉应力。边缘产生的拉应力。即：即：凹面压应力增

19、加为凹面压应力增加为 max；凸面压应力增加量正好为凸面压应力增加量正好为0。2 轴心受压构件的弯曲屈曲作用作用于于11截面截面上的压力为：上的压力为：作用作用于于11截面截面上的内力矩为：上的内力矩为：ttAtAPPPdAdAP)(AAAAizdAChdAzhdAzhCzdAzM2max2max2max全截面对形心全截面对形心轴的面积矩为轴的面积矩为0hEEtmaxtmaxyIEIE tt2 轴心受压构件的弯曲屈曲任意任意截面截面i上上的内力（弯矩和轴力）对原点的平衡方程为：的内力（弯矩和轴力）对原点的平衡方程为：代入前面推导得到的轴力和弯矩，则代入前面推导得到的轴力和弯矩，则求解微分方程，

20、得：求解微分方程，得：其中其中Pt和和Et均为未知，需要迭代求解。均为未知，需要迭代求解。0PyMPyMii0 Pyy IEtEt2t2tPEElIEPtttPEP2 轴心受压构件的弯曲屈曲2）双模量理论（折算模量理论）双模量理论（折算模量理论） 由德国科学家恩格塞尔（由德国科学家恩格塞尔（Engesser）在）在1895年提出。年提出。 基本假定基本假定： （1）在弯曲时全截面出现反号应变；在弯曲时全截面出现反号应变； （2）压杆屈曲时压力保持不变。）压杆屈曲时压力保持不变。v 弯曲时凹面产生正号应变，弯曲时凹面产生正号应变，凸面产生负号应变；凸面产生负号应变； 即：即： 凹面为继续加载区，

21、凹面为继续加载区， 凸面为卸载区。凸面为卸载区。v 加载区变形模量为加载区变形模量为Et；卸载；卸载区变形模量为区变形模量为E01121222max2111max12211AAAAdAzCdAzCdAdA2 轴心受压构件的弯曲屈曲作用作用于于11截面截面上的压力变化值为：上的压力变化值为：由于屈曲后压力保持不变，因此由于屈曲后压力保持不变，因此则则 即即由上式可以求出中性轴的位置。由上式可以求出中性轴的位置。21221121PPdAdAPAA1tmax1tmax1CEE2max2max2CEE0)(212211tAAdAEzdAzE021t ESSE2 轴心受压构件的弯曲屈曲1-1截面上的内力

22、矩：截面上的内力矩：yEIIEEIIEIEIEdAzEdAzEdAzCdAzCdAzdAzMAAAAAAi )()(21t21t21t222121t2222max21211max12221112121212 轴心受压构件的弯曲屈曲任意截面任意截面i上的内力（弯矩和轴力）对原点的平衡方程为：上的内力（弯矩和轴力）对原点的平衡方程为：即即求解微分方程，得：求解微分方程，得：其中其中 为折算模量，与为折算模量，与E, Et和截面形状有关。和截面形状有关。vPt小于小于Pr，曾认为双模量理论更为完善，但研究表明，曾认为双模量理论更为完善，但研究表明Pt更接更接近试验结果。近试验结果。0PyMPyMii

23、0)(21t PyyEIIEEr2r2221t2r)(PEElIElEIIEPIEIIEE21tr2 轴心受压构件的弯曲屈曲3）Shanley理论理论 Shanley于于1947年设计了年设计了Shanley模型来解释试验值更接模型来解释试验值更接近切线模量理论。近切线模量理论。 力学模型力学模型：（1）模型有三部分组成：）模型有三部分组成：两根两根l/2长的刚性杆长的刚性杆和中间连接的弹塑性铰；和中间连接的弹塑性铰； （2）弹塑性变形全部集中在弹塑性铰处发生；）弹塑性变形全部集中在弹塑性铰处发生；（3）铰的）铰的 - 曲线是折线。曲线是折线。弹塑性铰由两根很短的可变形纵向杆件组成。弹塑性铰由

24、两根很短的可变形纵向杆件组成。 EtE EtE 2 轴心受压构件的弯曲屈曲 铰的弹性模量为铰的弹性模量为E，切线模量为，切线模量为Et，铰的肢长为，铰的肢长为h，肢距为，肢距为h，每肢面积为，每肢面积为A/2； 当当P达到临界时，由直杆变为微弯，引起铰的左右肢杆应变达到临界时，由直杆变为微弯，引起铰的左右肢杆应变为为1和和2，两肢变形如图，两肢变形如图 ；杆端转角：杆端转角：跨中挠度：跨中挠度：22221210hhh)(42210lld 02 轴心受压构件的弯曲屈曲 若弯曲凹面和凸面的变形模量为若弯曲凹面和凸面的变形模量为E1和和E2，则因屈曲而产生，则因屈曲而产生的内力的内力P1和和P2：铰

25、处的内弯矩：铰处的内弯矩：铰处的外弯矩：铰处的外弯矩： 由内外弯矩平衡得：由内外弯矩平衡得：2111AEP2222AEP4)(21lPdPMe)(422221121EEAhhPhPMi 0212211EElAhP2 轴心受压构件的弯曲屈曲v 讨论讨论（1）当构件在弹性状态失稳时，即）当构件在弹性状态失稳时，即E1=E2=E，则：，则：（2）当构件在弹塑性状态失稳时，按切线模量理论，）当构件在弹塑性状态失稳时，按切线模量理论， E1=E2 = Et，则：，则： 显然，若显然，若E1=E2=Et，则，则P2必为受压，即必为受压，即 2必为缩短，必为缩短， 2 0 因压力增量因压力增量 亦即当亦即当

26、 2 0时，时， P 0。若要。若要 P=0，只有，只有 1= 2，即，即d=0。说明。说明 切线模量荷载切线模量荷载Pt是压杆保持平直状态时的最大压力；是杆件是压杆保持平直状态时的最大压力；是杆件 开始屈曲时的最小压力开始屈曲时的最小压力，亦即在发生弯曲时压力必须增加。，亦即在发生弯曲时压力必须增加。EcrPlAhEPtEttcrPPEElAhEP)(2221121EEAPPP2 轴心受压构件的弯曲屈曲（3）当构件在弹塑性状态失稳时，若）当构件在弹塑性状态失稳时，若 1 2，亦即亦即d 0，要，要 P=0，则必须有，则必须有E1 1=E2 2，且且E1=Et，E2=E，则：，则： 其中：其中

27、： 是是Shanley模型的折算模量。模型的折算模量。rErttcr2PPEEEEEElAhPttr2EEEEE 由比较可知由比较可知EtErE，因此，因此PtPrEt ，故，故PrPt ，Pr是压杆屈曲后的渐进线，实际上是压杆屈曲后的渐进线，实际上 是达不到的，即是达不到的，即Pt PPr；（3）实际的）实际的Et随随Pt的增加而减少不是常数，因而曲线下降。的增加而减少不是常数，因而曲线下降。rttttt21/212PlAhEEEEPEEEEPPtPPrPtd2 轴心受压构件的弯曲屈曲2.5 初始缺陷对轴心受压构件的影响初始缺陷对轴心受压构件的影响v初始缺陷初始缺陷 几何缺陷：几何缺陷：初弯

28、曲、初偏心初弯曲、初偏心 力学缺陷：力学缺陷：残余应力残余应力1）初弯曲的影响）初弯曲的影响 假设初弯曲形状为正弦半波，跨中假设初弯曲形状为正弦半波，跨中最大初挠度为最大初挠度为v0，即：，即：内弯矩：内弯矩：外弯矩：外弯矩： yEIMi )sin(0lzvyPMelzvysin002 轴心受压构件的弯曲屈曲 由两端铰接杆的失稳变形可知，增加由两端铰接杆的失稳变形可知，增加的变形也为正弦半波曲线：的变形也为正弦半波曲线：由内外弯矩平衡得：由内外弯矩平衡得： 即即 ，则，则跨中总挠度跨中总挠度 0sin)(01 lzvvPyEIlzlysin 22 0sin)( 01122lzvvPvlEI00

29、1EPvvPPPPPvvE01E0E00011PPvPPPvvvvvlzvysin12 轴心受压构件的弯曲屈曲施工验收规范规定柱施工验收规范规定柱的的最大初始挠度为最大初始挠度为l /1000v 讨论讨论（1） v与与v0成正比，与成正比，与P是非线性关系，当是非线性关系，当P =0时，时， v =v0 0；（2）当）当P PE时，时，v ，即以欧拉临界力为渐进线，最大挠，即以欧拉临界力为渐进线，最大挠 度与度与v0无关；无关；（3）相同压力下，初弯曲相同压力下，初弯曲v0越大，越大， 杆的挠度越大。杆的挠度越大。lzPvqsin01v2 轴心受压构件的弯曲屈曲（4）跨中挠度）跨中挠度v可理解

30、为逐级发展过程（共轭梁法）可理解为逐级发展过程（共轭梁法） 跨中挠度：跨中挠度： v1引起的附加弯矩产生的挠度：引起的附加弯矩产生的挠度： 以此类推得总挠度关系：以此类推得总挠度关系： 括号内为无穷等比级数，当括号内为无穷等比级数，当P/PE1时级数收敛；得到与时级数收敛；得到与前述相同的结果，前述相同的结果， 称为称为挠度（或弯矩）放大系数挠度（或弯矩）放大系数。0E2201 vPPEIlPvv02E1E2212 vPPvPPEIlvPv0E02EE0 11vPPvPPPPvv体现了一阶弯矩和二阶体现了一阶弯矩和二阶弯矩的差别，即构件本弯矩的差别，即构件本身的二阶效应，即：身的二阶效应，即：

31、 P-效应。效应。2 轴心受压构件的弯曲屈曲（5）上式仅在凹侧应力）上式仅在凹侧应力 max fy 有效，有效，极限条件是极限条件是 称称边缘纤维屈服准则边缘纤维屈服准则。 上式即上式即 或或 令令 （初始偏心率），得：（初始偏心率），得： 解得解得 上式由上式由Perry在在1886年首先提出，故称为年首先提出，故称为Perry公式公式， 初弯曲杆能承受的最大荷载初弯曲杆能承受的最大荷载P = A。yfWMAPyE01fWPPPvAPyE011fWPPAvAPWAv0yE11fEy2EyEy2)1 (2)1 (fff2 轴心受压构件的弯曲屈曲2）初偏心的影响）初偏心的影响 图示杆件两端荷载存

32、在初偏心距图示杆件两端荷载存在初偏心距e0，杆件在弹性阶段工作，杆件在弹性阶段工作，其内、外弯矩的平衡方程为：其内、外弯矩的平衡方程为：上式的通解为上式的通解为 由边界条件由边界条件 y(0)=0 和和 y(l)=0 得到得到B=e0和和 ，即：，即：跨中挠度跨中挠度0cossinekzBkzAy0)(0 eyPyEI0sincos1eklklA0) 1cossinsincos1(ekzkzklkly00) 12cos2sinsincos1(eklklklklv2 轴心受压构件的弯曲屈曲 化简后得化简后得v 讨论讨论（1）v0是是P的非线性函数，当的非线性函数，当P =0时，时， v0=0，但

33、一开始加载杆件即发生，但一开始加载杆件即发生 弯曲；弯曲；（2）v0在加载初期增长较慢，后随在加载初期增长较慢，后随P的加大而增长加快，当的加大而增长加快，当 PPE时，时，v ，以欧拉临界力为渐进线；，以欧拉临界力为渐进线；（3）偏心较大时临界力明显低于欧拉临界力；若偏心很小，偏心较大时临界力明显低于欧拉临界力；若偏心很小， 则则v0在在PPE前都很小。前都很小。 与初弯曲的影响无本质区别。与初弯曲的影响无本质区别。0E0) 12(secePPve0=0.3e0=0.12 轴心受压构件的弯曲屈曲（4）根据边缘纤维屈服准则，构件中点截面边缘纤维的压应）根据边缘纤维屈服准则，构件中点截面边缘纤维

34、的压应 力最大值：力最大值： 即即 ，此时为，此时为初偏心杆的相关公式初偏心杆的相关公式。 yE0002sec1fPPWAeAPWevPAPWMAP12secEy0yPPMMPP正割公式正割公式4E2EE224522112secPPPPPPE2EE111PPPPPPEEE1234. 012secPPPPPP1)1 ()234. 01 (EyE0yPPMPPMPP2 轴心受压构件的弯曲屈曲3）残余应力的影响）残余应力的影响（1）残余应力对杆件平均的应力）残余应力对杆件平均的应力-应变曲线的影响应变曲线的影响v 残余应力的存在降低了比例极限；残余应力的存在降低了比例极限； fy ( fp, y )

35、 fp ( p ) fp = fy - rc 有效比例极限有效比例极限v 对于中长柱，当屈曲应力超过有对于中长柱，当屈曲应力超过有效比例极限时，残余应力将降低效比例极限时，残余应力将降低构件的抗弯刚度，从而降低其屈构件的抗弯刚度，从而降低其屈曲荷载。曲荷载。2 轴心受压构件的弯曲屈曲（2）轴压构件临界应力）轴压构件临界应力 cr与与的关系（柱子曲线）的关系（柱子曲线）理想弹塑性理想弹塑性非理想弹塑性（有缺陷影响）非理想弹塑性（有缺陷影响）弹性（欧拉临界应力公式）弹性（欧拉临界应力公式）弹性（欧拉临界应力公式）弹性（欧拉临界应力公式）弹性（欧拉临界应力公式）弹性（欧拉临界应力公式）弹性（欧拉临界

36、应力公式）弹性（欧拉临界应力公式）psyfpfcrpsyfpfcr 长细比相同时，初始缺陷越大，长细比相同时，初始缺陷越大， 临界承载力越低。临界承载力越低。2 轴心受压构件的弯曲屈曲（3）考虑残余应力的轴心压杆的屈曲荷载考虑残余应力的轴心压杆的屈曲荷载 残余应力有一定的分布模式，考虑超过屈服点后，弹性残余应力有一定的分布模式，考虑超过屈服点后，弹性 核心继续承受荷载，屈服部分退出工作。核心继续承受荷载，屈服部分退出工作。 临界荷载临界荷载 临界应力临界应力 其中其中Ie / I 为临界荷载或临界应力为临界荷载或临界应力降低系数，取决于残余应力的分布、截降低系数，取决于残余应力的分布、截面形状

37、和弯曲方向。面形状和弯曲方向。v 以轧制以轧制H型钢为例型钢为例IIlEIlEIPe222e2crIIEe22crkbbhbthtbIIe22exex2/2/333e33eyey12/212/2kbbtbtbII2 轴心受压构件的弯曲屈曲v k值的求法值的求法 短柱试验短柱试验 当进入弹塑性后，屈服部分退出工作，抵抗应变全靠弹性当进入弹塑性后，屈服部分退出工作，抵抗应变全靠弹性 区截面面积区截面面积Ae承担。当轴心压力增量为承担。当轴心压力增量为P时，时， 平均应力增量：平均应力增量： =P /A 应变增量：应变增量： =P /(AeE)与截面平均应力对应的切线模量：与截面平均应力对应的切线模量：由前述由前述H型钢，型钢， 所以可以通过短柱试验测出切线模量，从而得到残余应力所以可以通过短柱试验测出切线模量，从而得到残余应力影响系数影响系数k。EAAEAPAPddEeet)/(/P全部由弹性全部由弹性区负担区负担EEAAbbktee 说明说明k值是随值是