经济数学基础辅导

1、经济数学基础辅导8摘要：四,概率加法公式 1,对任意事件A,B,有概率加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 2,互斥事件加法公式,是概率加法公式的特例. 若事件A与B互不相容,即AB=.关键词：概率,公式类别：专题技术来源：牛档搜索（Niudown.COM）本文系牛档搜索（Niudown.COM）根据用户的指令自动搜索的结果，文中内涉及到的资料均来自互联网，用于学习交流经验，作品其著作权归原作者所有。不代表牛档搜索（Niudown.COM）赞成本文的内容或立场，牛档搜索（Niudown.COM）不对其付相应的法律责任！经济数学基础辅导8温州电大 叶挺峰 第三编 概率论 第六章

2、数据处理一、 特征数反映统计数据主要特征的数，称为特征数。统计分析中最常用的特征数分为两类：1 表示数据总体水平的数。如均值、加权平均数、几何平均数和众数统称为平均数。2 表示数据分散程度的数。常用的有方差、标准差、极差和变异系数等。(一)均值1定义：给定一组数值x1，x2，xn，称= ( x1+x2+xn)= xi为数据x1，x2，xn的均值。 均值是通常所说的算术平均数。实际问题中，常用样本的均值来估计总体均值或用均值代表总体水平，与不同的总体进行比较。2 性质：（1） (xi)0（2）任何一个常数C，总 （xic)2(xi)2仅在c=时等号成立。（二）加权平均值 计算一组数据的均值时，若

3、考虑各数据出现次数，或权衡数据的作用程度，用加权平均数。1 定义：给定一组数x1，x2，xn，和一组正数p1，p2，pn，且 ,称x1p1+x2p2+xnpn为x1，x2，xn的加权平均数，pi为xi的权。2 注意： （1）权pi满足0pi1且 （2）权大的数据对加权平均数影响大； （3）均值可看作加权平均数特殊情况，均值中每个数据的权可看作。（三）几何平均数 n个数据x1，x2，xn的连乘积n次算术根称为数据x1，x2，xn 的几何平均数。（四）中位数和众数1 中位数：将一组有限个数据x1，x2，xn 按小到大的顺序排成数列，记为x1，x2，xn 。(1)n为奇数，处于中间位置的数称为中位数

4、，中间位置是M=(n+1)，中位数是xm 。(2)n为偶数，中间有两个数 和 ，它们的平均值是中位数，即xm (+)2、众数一组统计数据中，出现次数（或频数）最多的那个数据，称为众数。（五）方差和标准差1、方差：给定一组数据x1，x2，xn 称S2为数据x1，x2，xn 的方差，其中是x1，x2，xn 的均值。2、标准差（又名均方差）称方差的算术平方根 为数据x1，x2，xn 的标准差。3、方差简化计算： S24、方差S2的作用 S2越大，说明数据“分散”，波动性越大；S2越小，说明数据“集中”，波动性越小； S20，即x1x2xn ，说明数据没有波动。（六）极差和变异系数一组数据x1，x2，

5、xn 中的最大值减去最小值，即R=MaxxiMinxi(1in)称为x1，x2，xn 的极差。S与之比称为数据x1，x2，xn 的变异系数，记为cv 即cv第三编 第七章 随机事件与概率一、 随机事件与概率 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件，简称事件。 通常用大写字母A、B、C、表示。例如：抛一枚硬币，H出现正面，T出现反面，一枚硬币抛出后，H和T两个事件之一一定发生，所以H、T是随机事件。 随机事件A在一次试验中，发生的可能性大小，用概率表示，记为P（A）。在一定条件下，必定发生的事件，称为必然事件，记为U,有P（U）1。在一定条件下，不会发生的事件，称为不可能事件，记

6、为,有P（）0。二、事件的关系与运算1、 包含与相等事件A发生，事件B必发生，则称事件A包含于B，或事件B包含事件A，记为AB。若AB,BA,则A=B2、 事件的和事件“A或B”称为事件A与事件B的和事件，记作AB或AB。 AB发生，即“A或B”发生，意思是A、B两事件中至少有一个发生。3、 事件的积事件“A且B”称为事件A与B的积事件，记为AB或AB。事件“A且B，表示事件A和B都发生。4、 互不相容事件事件A与B不能同时发生，称事件A与B互不相容，或事件A、B为互斥事件。 A与B互不相容，则有AB。5、 对立事件与事件的差若事件A、B满足AB，ABU,则称事件A、B互为对立事件。以表示A的

7、对立事件，则有A，A+=U，A，若事件A发生而事件B不发生，则这一事件称为A与B的差事件，记为AB。三、古典概型与概率的性质1、古典概型：在每次试验中，只有有限个等可能发生的事件，且只有一个事件发生，这种计算概率的模型，称为古典概型。可用古典概型计算的概率称为古典概率。计算方法：如果试验只有n个等可能结果，其中导致事件A出现的结果有k个，则事件A出现的概率为P（A）。这公式也称为概率的古典定义。例如：抛一枚硬币，H正面朝上，求P（H）。解：抛一枚硬币，落地后只有两个等可能，正面朝上或反面朝上，n=2。正面朝上，只有一个可能，k=1。故P（H）2、概率的性质：（1） 任何随机事件A的概率P（A）

8、都有0P(A)1（2）P(U)=1，P（）0有P（）P(A)P（U）四、概率加法公式 1、对任意事件A、B，有概率加法公式P（AB）P（A）P(B)P（AB） 2、互斥事件加法公式，是概率加法公式的特例。 若事件A与B互不相容，即AB，则P（AB）P（A）P（B）这公式可推出：若事件A1，A2，An两两互不相容，则 P（A1，A2，An）P( A1)P（An）若AU，有P（）1P（A）；例如：从装有7个（4白，3黑）球的袋中任取3只球，求取到白球的概率。 解：设A取到白球 B取出3个都是黑球 AB A P（B）= P（A）=P（）=1P（B）10.029=0.971五、条件概率：1、 定义：如

9、果A、B是条件组S下的随机事件，P（B）0，那么称在B发生的前提下A发生的概率为条件概率，记为P（A|B）。2、 计算公式：P（A|B）3、 乘法公式：由条件概率公式得以下公式：设任意事件A、B，有概率乘法公式P（AB）P（A）P·（B|A），(P(A) 0)； 或P（AB）P（B）·（A|B），(P(B) 0)；例如：设箱中有50个产品，其中有次品10个，从中依次任意取出两个产品，每次取一个不再放回，试求两个产品都是正品的概率。解：设A第一次取得正品 B=第二次取得正品所求概率应为P（AB） P（AB） P(B|A)由乘法公式，得 P（AB）P（A）·P（B|A

10、）·0.6367六、事件的独立性如果事件A、B满足条件P（AB）P（A）P（B），则称事件A、B是相互独立的。 独立性概念可推广到多个事件的情况，如：A、B、C独立时，有 P（ABC）P（A）P（B）P（C）例如：假设一个问题由两个学生分别独立解决，如果每个学生各自解决问题的概率是，求此问题能够解决的概率。 解：设A学生甲解决问题 B学生乙解决问题 A、B、独立，P（A）P（B） 此问题能够解决的概率，就是至少一个人解决问题的概率，因此有 P（AB）P（A）P（B）P（AB） P（A）P（B）P（A）P（B） ×由事件的独立性可推出：当事件A与B相互独立时，1°、

11、P(B|A)P（B） P(A|B)P（A） 2°、A与, 与B, 与也相互独立。自测题：一、 选择题： 1、一组数据为26，18，27，24，20，11，这组数据的中位数是（ ） A、22 B、27 C、21 D、24 2、用以反映数据x1，x2，xn分散程度的是（ ） A、中位数 B、方差 C、众数 D、平均数 3、设x1，x2，xn是一组数据，p1，p2，pn分别是它们的权数，则这组数据的加权平均数=（ ） A、 B、C、 D、4、设A、B、C是三个事件，那么A、B、C中恰有一件发生的事件表示为（ ） A、A+B+C B、A+B+CC、 D、5、甲、乙二人射击，A、B分别表示甲、

12、乙射中目标的事件，则事件 表示（ ） A、二人都没射中 B、至少有一人没射中 C、二人都射中 D、至少有一人射中6、若等式（ ）成立，则事件A与B互不相容。A、 B、ABUC、P（AB）P（A）P（B） D、P（A）P（B）17、设事件A、B互不相容，则以下各式一定成立的是（ ） A、ABU B、AB C、P（A）1P（B） D、P（AB）P（A）P（B） 8、若等式（ ）成立，则事件A与B相互独立。 A、P（AB）P（A）P（B） B、P（A）1P（B） C、P（AB）0 D、P（A|B）=P(A)9、若事件A、B和AB的概率分别为P(A)=0.5，P（B）=0.4，P（AB）0.3则 P（AB）（ ） A、0.3 B、0.4 C、0.5 D、0.6二、填空题：1、设x1，x2，xn 是一组数据，则其标准差是 。2、掷两颗均匀的骰子，出现点数和为5的概率是 。3、设事件A与B相互独立，并且P（AB）0.9，P（B）=0.8则P（A） 。三、计算题： 1、设A、B是两个相互独立的随机事件，已知P（A）0.4，P（B）=0.7，求A与B只有一个发生的概率。2、已知P（B）0.6，P（B）0.4，