埃尔米特插值PPT课件

1、埃尔米特插值埃尔米特插值12复 习前面我们已经学过两种插值方法，Langrange插值法和Newton插值法。共同点:1）插值条件相同，即2）求一个次数不超过n的代数多项式3不同点:构造方法（思想）不同Langrange插值法采用基函数的方法niiinxlyxL0)()(Newton插值法采差商的方法)()(,)(,)()(1000100nnnxxxxxxfxxxxfxfxN注：两种方法的结果相同（唯一性）42.5 2.5 埃尔米特插值埃尔米特插值 有些实际的插值问题不但要求在节点上函数值相等， 下面只讨论函数值与导数值个数相等的情况. 满足这种要求的插值多项式就是埃尔埃尔米特插值多项式米特插

2、值多项式. 而且还要求对应的导数值也相等，甚至要求高阶导数也相等.5 的多项式，这里共有 个插值条件，可唯一确定一个次数不超过22 n12 n), 1 , 0()(njxfmjj设在节点 上，),(jjxfy bxxxan10), 1 , 0(,)(,)(njmxHyxHjjjj(5.1)问题是求插值多项式 ，)(xH满足条件 )()(12xHxHn.)(12121012nnnxaxaaxH其形式为6 次多项式，先求出 个插值基函数 及)(xj), 1 , 0()(njxj22 n每一个基函数都是12 n且满足条件, 1,0)(kjkjxjkkj;0)(kjx,0)(kjxjkkjx)(5.2

3、)., 1 ,0,(nkj现在仍采用求拉格朗日插值多项式的基函数方法. 7将满足条件（5.1）的插值多项式 写成用插值基函数表示的形式 )()(12xHxHn.)()()(012njjjjjnxmxyxH(5.3)8由插值基函数所满足的条件(5.2)，有 ), 1 , 0(,)(,)(1212nkmxHyxHkknkkn下面的问题就是如何求出这些基函数 及 )(xj),(xj9令 ),()()(2xlbaxxjj由条件（5.2），有 , 1)()()(2jjjjjxlbaxx, 0)()(2)()()(jjjjjjjjjxlbaxxalxlx利用拉格朗日插值基函数).(xlj10解出 ).(2

4、1),(2jjjjjxlxbxla由于 ,)()()()()()()(110110njjjjjjnjjjxxxxxxxxxxxxxxxxxl整理得 .0)(2; 1jjjxlabax11于是 ).()1)(21 ()(20 xlxxxxxjnjkkkjjj(5.4)两端取对数再求导，得 ,1)(0njkkkjjjxxxl同理，可得 ).()()(2xlxxxjjj(5.5).)()()(012njjjjjnxmxyxH(5.3)可以证明满足条件（5.1）的插值多项式是惟一的. 用反证法，假设 及 均满足条件（5.1），)(12xHn)(12xHn)()()(1212xHxHxnn于是在每个节点

5、 上的值及导数值均为零，即 为二重根.kxkx13这样， 有 重根，但 是不高于 次的多项式，)(x22 n)(x12 n.0)(x故惟一性成立.14其中 且与 有关. ),(bax若 在 内的 阶导数存在，则其插值余项)(xf),(ba22 n)()!22()()()()(21)22(12xnfxHxfxRnnn(5.6)仿照拉格朗日插值余项的证明方法，可以证明：15.内的某一点),(是插值区间其中，)()!22()()()(插值公式的余项为)插值余项定理(2定理21)22(baxwnfxHxfHermiteHermitenn证明：)()()()()()()(引进辅助函数2121xHxfxw

6、twtHtftFnn由插值条件知0)()()()(10nxFxFxFxF0)()()(10nxFxFxF16.,个二重根1和个单根1有0)(即10nxxxnxtF：个零点，依此类推可知12至少有)(个零点22内至少有),(在)(定理知，由 ntFnbatFRolle0)()()()!22()(21)22(xHxfxwnfnn，因此内至少有一个零点),(在)()22(batFn)()!22()()()(即得21)22(xwnfxHxfnn17插值多项式（5.3）的重要特例是 的情形. 1n这时可取节点为 及 ，kx1kx插值多项式为 ，满足)(3xH,)(3kkyxH,)(3kkmxH.)(;)

7、(113113kkkkmxHyxH(5.7)相应的插值基函数为),(),(),(),(11xxxxkkkk18,0)(,1)(1kkkkxx;0)()(111kkkkxx,1)(,0)(111kkkkxx,0)()(1kkkkxx,0)()(111kkkkxx,0)()(1kkkkxx,0)(, 1)(1kkkkxx.1)(,0)(111kkkkxx它们满足条件 19.21)(,21)(211112111kkkkkkkkkkkkkkxxxxxxxxxxxxxxxxxx(5.8).)(,)(2111211kkkkkkkkkkxxxxxxxxxxxxxx(5.9)根据 及 的一般表达式（5.4）及

8、（5.5），)(xj)(xj可得到20),()()()()(11113xmxmxyxyxHkkkkkkkk(5.10)其余项 ，)()()(33xHxfxR).,(,)()(! 41)(1212)4(3kkkkxxxxxxfxR于是满足条件（5.7）的插值多项式是 由（5.6）得21例1.1)2(,0)1(21)(3)2(,2)1(21)(ffxfffxf处的导数值为，在节点处的函数值为，在节点已知.7 . 1 , 5 . 1)(,)(处的函数值在及的两点三次插值多项式求xxfxf解:2, 110 xx3,210yy1,010yy)()()()()(110011003xyxyxyxyxH101

9、121xxxxy2010 xxxx00 xxy2101xxxx2010 xxxx11xxy010021xxxxy2101xxxx22)2(213x21x21x2 x)1(212x22x)(3xH91713323xxx)5 . 1(f)5 . 1(3H625. 2)7 . 1(f)7 . 1(3H931. 2例2：给定如下数据表，求次数不高于3次的代数插值多项式。)(ixf xyxxxxyxxxxxL101001011)(满足：其中求：)(),(22xHxH)(ixf )(ixf 2212222222212)()()(则：)1()(则：1则：0)0(又：)1()(有：)1)(0()(则：0)1(

10、0)0(则：)()()(设：xxRxLxHxxxRcHxcxxxHxxcxRRRxRxLxH满足：其中求)(),(:33xHxH)(ixf )(ixf )1()(则：0)0(0)1(0)0(其中：)()()(设：23333323xcxxRRRRxRxHxH322232)1()()(xxxxxHxH-1;c 求得,1)1(H 利用3例2：给定如下数据表，求次数不高于3次的代数插值多项式。)(ixf 采用直接的方法：3031例4：给定如下数据表，求次数不高于5次的代数多项式。xi-1012 f(xi)10114160.115)(ixf 32解：先构造插值于四个函数值的插值多项式,用Newton插值

11、法可得：322030010036161914)1()1(61)1()1(410)()(,)(,)()(xxxxxxxxxxxxxxxfxxxxfxfxN33再构造插值于两个导数值的插值多项式)2)(1()1)()()(35 xxxxBAxxNxH解出系数360161,36059 BA34直接解法：设：352.6 2.6 分段分段低次插值低次插值 2.6.1 2.6.1 高高次插值的病态性质次插值的病态性质 这是因为对任意的插值节点,当 时， 不一定收敛到 .n)(xf),(xLn根据区间 上给出的节点做出的插值多项式 ,在次数 增加时,逼 近 的精度不一定也增加.)(xLnn)(xf,ba考虑

12、函数 ，它在 上的各阶导数均存在.以 上的 个等距节点36), 1 , 0(,105nknkxk所构造的拉格朗日插值多项式为5 , 51n5 , 5)1/(1)(2xxf.)()()(11)(1102jnjnnjjnxxxxxxL37取 根据计算画出 及 在 上的图形，见图2-5.,10n)1/(12xy)(10 xLy 图2-55 , 538从图上看到,在 附近, 与 偏离很远,这说明用高次插值多项式 近似 效果并不好.5x)(10 xL)1/(1)(2xxf)(xLn)(xf通常不用高次插值，而用分段低次插值. 392.6.2 2.6.2 分段分段线性插值线性插值由于升高插值多项式的阶数有

13、时并不能达到提高精度的效果, 所以实际中往往采用分段插值的思想.分段插值的基本思想是将插值区间划分为若干个小区间, 然后在每个小区间上做满足一定条件的低阶插值.40所谓分段线性插值就是通过插值点用折线段连接起来逼近 ).(xf分段线性插值分段线性插值41设已知节点 上的函数值 bxxxan10,10nfff记,max,1kkkkkhhxxh,)(.1baCxIh)(xIh求一折线函数 ,满足：kkhfxI)(. 2), 1 ,0(nk 在每个小区间 上是线性函数.)(. 3xIh,1kkxx则称 为分段线性插值函数分段线性插值函数.)(xIh42由定义可知 在每个小区间 上可表示为 )(xIh

14、,1kkxx1111)(kkkkkkkkhfxxxxfxxxxxI).(1kkxxx(6.1)若用插值基函数表示，则在整个区间 上 为 ,ba)(xIh, )()(0njjjhxlfxI(6.2)其中基函数 满足条件 )(xlj), 1 ,0,()(nkjxljkkj43);0(1略去jxxxjj);(1略去njxxxjj.,11jjxxxbax, 0,)(1111jjjjjjjxxxxxxxxxl(6.3)xjxj-1xj+1xnx0其形式是xjxj-1xj+1x0 xn计算量与n有关;n越大，误差越小.一般表达式一般表达式分段线性插值多项式的构造 njjjxlyx0)()( 余项余项定理定

15、理：设设f(x)在在a,b上有二阶连续上有二阶连续导数导数f(x) ，则则)(max),(max其中,8)()()(1102xfMxxhMhxhxfxRbxaiinin 分段线性插值多项式的构造证明：由证明：由Lagrange Lagrange 余项公式，当余项公式，当xxi, xi+1时时!2)()()()()(1 iinxxxxfxRxhxf)(max8)(4)(2)()(12121xfxxxxfxRiixxxiiii 04)()2()(21211 iiiiiixxxxxxxxx4)()(max2111 iiiixxxxxxxxxii证毕证毕。MhxfxxxRbaxiixxxiini8)(

16、max8)(max)(,221101 都有都有对任意对任意因此，只要 ，就有,)(baCxf)()(lim0 xfxIhh故 在 上一致收敛到 .,ba)(xf)(xIh48下图是用Matlab完成的分段线性插值（附程序）：49附：分段线性插值程序n=11; m=61;x=-5:10/(m-1):5;y=1./(1+x.2);z=0*x;x0=-5:10/(n-1):5;y0=1./(1+x0.2);y1=interp1(x0, y0, x);plot(x, z, r, x, y, k:, x, y1, r)gtext(Piece. linear.), gtext(y=1/(1+x2)titl

17、e(Piecewise Linear)注：interp1(x0,y0,x)为Matlab中现成的分段线性插值程序.50 2.6.3 2.6.3 分段分段三次埃尔米特插值三次埃尔米特插值分段线性插值函数 的导数是间断的，若在节点上 ，除已知函数值 外还给出导数值)(xIh), 1 ,0(nkxkkf), 1 , 0(nkmfkk这样就可构造一个导数连续的分段插值函数 满足条件:51,)(.11baCxIh), 1 ,0()(,)(.2nkfxIfxIkkhkkh 在每个小区间 上是 三次多项式.)(.3xIh,1kkxx)(xIh分段三次埃尔米特插值分段三次埃尔米特插值52根据两点三次埃尔米特插

18、值插值多项式（5.10）， 在区间 上的表达式为)(xIh,1kkxx21121121)(kkkkkkkkkkhxxxxfxxxxxxxxxI.)(211121211111kkkkkkkkkkkkkkfxxxxxxxfxxxxxxfxxxx(6.5)53若在整个区间 上定义一组分段三次插值基函数,ba 及 ，)(xj), 1 ,0()(njxj),()()(0 xfxfxIjnjjjjh(6.6)其中 ， 分别表示为 )(xj)(xj(6.7);,0),(,21),0(,21)(1121111211其他略去略去njxxxxxxxxxxxjxxxxxxxxxxxxjjjjjjjjjjjjjjjj

19、j54；其他略去略去,0),(,),0(,)(12111211njxxxxxxxxxjxxxxxxxxxxjjjjjjjjjjjjj(6.8) 由于 ， 的局部非零性质，)(xj)(xj当 时，,1kkxxx只有 不为零，)(),(),(),(11xxxxkkkk于是 可表示为)(xIh).()()()()(1111xfxfxfxfxIkkkkkkkkh).(1kkxxx(6.9) 设 则当 时，分段三次埃尔米特插值函数 在 上一致收敛于 .,1baCf 0h)(xIh,ba)(xf55 因此对 ,bax)()(lim0 xfxIhh定理定理3 3562.7 2.7 三次样条三次样条插值插值定

20、义定义4 4 若函数 且在每个小区间 上是三次多项式，其中 是给定节点，则称 是节点 上的三次样条函数.,)(2baCxS,1jjxx572.7.1 2.7.1 三次样条三次样条函数函数bxxxan10)(xSnxxx,1058若在节点 上给定函数值 jx), 1 ,0)(njxfyjjjjyxS)(), 1 ,0(nj（7.1）则称 为三次样条插值函数三次样条插值函数.)(xS并成立59由于 在每个小区间 上有4个待定系数，共有 n 个小区间，所以共有4n个待定参数)(xS,1jjxx由于 在 上二阶导数连续，所以在节点 处应满足连续性条件：)(xS,ba)1,2, 1(njxj60),0(

21、)0(jjxSxS),0()0(jjxSxS这些共有 个条件，再加上 本身还要满足的 个插值条件，共有 个条件，还需要2个才能确定 . )(xS)(xS33 n24 n1n).0()0( jjxSxS（7.2）61通常可在区间 端点 上各加一个条件,(称为边界条件边界条件）,banxbxa,01. 已知两端的一阶导数值，即.)(,)(00nnfxSfxS（7.3）（7.4）称为自然边界条件自然边界条件.2. 已知两端的二阶导数，即其特殊情况为,)(,)(00nnfxSfxS （7.4）.0)()(0 nxSxS（7.4）常见的边界条件有以下3种：623. 当 是以 为周期的周期函数时，则要求)

22、(xf0 xxn),0()0(0nxSxS此时插值条件（7.1）中 . nyy 0这样确定的样条函数 称为周期样条函数周期样条函数. .)(xS这时边界条件应满足 ),0()0(0nxSxS（7.5）).0()0(0 nxSxS)(xS也是周期函数.632.7.2 2.7.2 样条插值样条插值函数的建立函数的建立下面利用 的二阶导数值 表示 . )(xSjjMxS )(), 1 , 0(nj)(xS由于 在区间 上是三次多项式，故在 上 是线性函数,可表示为： )(xS,1jjxx)(xS jjjjjjhxxMhxxMxS 11)(（7.7）,1jjxx64jjjjjjhxxMhxxMxS6)

23、(6)()(3131jjjjjjjjjjhxxhMyhxxhMy6621112这里 ，是未知的. ), 1 ,0(njMj).1, 1 ,0(nj （7.8）对 积分两次并利用 及 ，可定出积分常数，于是得三次样条表达式)(xS jjyxS)(11)(jjyxS65为了确定 ,对 求导得 jM)(xSjjjjjjhxxMhxxMxS2)(2)()(2112;611jjjjjjhMMhyy（7.9）由此可求得 .63)0(11jjjjjjjjhyyMhMhxS,1jjxx66类似地可求出 在区间 上的表达式，从而得 )(xS,1jjxx,36)0(11111jjjjjjjjhyyMhMhxS利用

24、 可得 )0()0(jjxSxS),1,2, 1(211njdMMMjjjjjj（7.10）其中 , 1 ,0,111njhhhhhhjjjjjjjj67.,6,611111jjjjjjjjjjxxxfhhxxfxxfd（7.11）对第一种边界条件（7.3），可导出两个方程 ).,(62),(62111010010nnnnnnxxffhMMfxxfhMM（7.12）68如果令 ),(6, 1010000fxxfhd),(6, 111nnnnnnxxffhd.222211011011110nnnnnnnddddMMMM（7.13）那么（7.10）及（7.12）可写成矩阵形式 69 对第二种边界条

25、件（7.4），直接得端点方程 ,00fM .nnfM （7.14）如果令 , nnnfdfd 2,2,0000也可以写成（7.13）的矩阵形式.则（7.10）和（7.14）70 对于第三种边界条件（7.5），可得 其中 ,010hhhnn,601110hhxxfxxfdnnnn,0nMM,211nnnnndMMM（7.15）（7.10）和（7.15）可以写成矩阵形式,1011hhhnnnn71.2222121121112211nnnnnnnnddddMMMM（7.16） （7.13）和（7.16）是关于 的三对角方程组， 在力学上解释为细梁在 截面处的弯矩，称为 的矩，), 1 ,0(njMj

26、jMjx)(xS （7.13）和（7.16）的系数矩阵为严格对角占优阵，有唯一解, 求解方法可见第5章第4节追赶法，将解得结果代入（7.8）的表达式即可.方程组（7.13）和（7.16）称为三弯矩方程三弯矩方程.72例例5 5:设 为定义在 上的函数，在节点上 的值如下： )(xf30,7.27)3,2, 1 ,0( ixi.0.3)30()(, 1.4)29()(, 3.4)28()(, 1.4)7.27()(3210fxffxffxffxf试求三次样条函数 ，使它满足边界条件 )(xS,0.3)7.27(S.0.4)30(S73,666.46),(6,21,1310, 101000210f

27、xxfhd.4.17),(632323xxffhd,70000.2,6,00002.4,632122101xxxfdxxxfd由此得矩阵形式的方程组（7.13）为 , 1,21,133, 1,30.0321210hhh解解由（7.11）及（7.12）74.4000.177000.200002.4666.464000.17212122113102133123210MMMM求解得 .115.9,830.0,395.0,531.233210MMMM75代入（7.8）得)29(51917. 4)29(51917. 1)30(96167. 3)30(13833. 0),28(96167. 3)28(13

28、833. 0)29(23417. 4)29(06583. 0),7 .27(31358.14)7 .27(21944. 0)28(84322.14)28(07278.13)(333333xxxxxxxxxxxxxS,28,7.27x,29,28x,30,29x（曲线见图2-6）76图2-677 例6：给定函数 节点 ,55,11)(2xxxf),10, 1 ,0(5kkxk用三次样条插值求).(10 xS 取)()(10kkxfxS),5()5(),10, 1 ,0(10fSk).5()5(10fS直接上机计算可求出 在表2-6所列各点的值. )(10 xS7825376. 013971. 0

29、13793. 05 . 20000. 10000. 10000. 1019837. 011366. 011312. 08 . 294090. 092754. 091743. 03 . 010000. 010000. 010000. 00 . 384340. 082051. 080000. 05 . 010832. 008426. 008410. 03 . 364316. 062420. 060976. 08 . 022620. 007606. 007547. 05 . 350000. 050000. 050000. 00 . 120130. 006556. 006477. 08 . 33165

30、0. 036133. 037175. 03 . 105882. 005882. 005882. 00 . 423535. 029744. 030769. 05 . 188808. 004842. 005131. 03 . 418878. 023154. 023585. 08 . 157872. 104248. 004706. 05 . 420000. 020000. 020000. 00 . 280438. 103758. 004160. 08 . 424145. 016115. 015898. 03 . 203846. 003846. 003846. 00 . 5)()(11)()(1110

31、10210102xLxSxxxLxSxx6表279下图是用Matlab完成的样条插值（附程序）：80附：样条插值程序n=11; m=61;x=-5:10/(m-1):5;y=1./(1+x.2);z=0*x;x0=-5:10/(n-1):5;y0=1./(1+x0.2);y1=interp1(x0, y0, x, spline);plot(x, z, r, x, y, k:, x, y1, r)gtext(Spline), gtext(y=1/(1+x2)title(Spline)注：interp1(x0, y0, x, spline)为Matlab中现成的样条插值程序.81也可以将三种插值结

32、果画在一起：822.7.3 2.7.3 误差界与收敛性误差界与收敛性定理定理4 4：设 为满足第一种或第二种边界条件（7.3）或（7.4）的三次样条函数，,)(4baCxf)(xS则有估计式),1, 1 ,0(,max110nixxhhhiiiini,)(max)()(max4)4()()(kbxakkkbxahxfCxSxf,2,1,0k（7.17）其中.83,241,3845210CCC令83这个定理不但给出了三次样条插值函数 的误差估计.)(xS还说明了当 时， 及其一阶导数 和二阶导数 均分别一致收敛于 ， 及 0h)(xS)(xS)(xS )(xf)(xf ).(xf 8485 求满

33、足 及 )2, 1 ,0()()(jxfxPjj)()(11xfxP 由给定的4个条件，可确定次数不超过3的插值多项式. 由于此多项式通过点),(,(),(,(),(,(221100 xfxxfxxfx)(,)()(0100 xxxxfxfxP)(,10210 xxxxxxxf的插值多项式及其余项表达式.例例4 4故其形式为),)()(210 xxxxxxA86.)(,)(,)(210121001101xxxxxxxfxxxxfxfA待定常数 ，可由条件 确定，)()(11xfxPA其中 为待定函数. )(xk为了求出余项 的表达式，)()()(xPxfxR),()()()(2210 xxxxxxxkxR通过计算可得 可设87).()()()()()(2210 xtxtxtxktPtft显然),2, 1 , 0(0)(jxj故 在 内有5个零点（二重根算两个）. )(t),(ba, 0)(! 4)()()4()4(xkf 反复应用罗尔定理，得 在 内至少有一个零点，)(