信号与系统冲激响应和阶跃响应

1、X信号与系统 冲激响应冲激响应 阶跃响应阶跃响应X系统在单位冲激信号系统在单位冲激信号 作用下产生的零状态响应，作用下产生的零状态响应，称为单位冲激响应，简称冲激响应，一般用称为单位冲激响应，简称冲激响应，一般用h(t)表示。表示。 一冲激响应1定义 2一阶系统的冲激响应)(t 3n阶系统的冲激响应H t thX例2-5-1 一阶系统的冲激响应)()(d)(dttvttvRCCC 列系统微分方程列系统微分方程：)(t C )(tvC)(tiCR求下图求下图RC电路的冲激响应电路的冲激响应。 （条件：（条件： ）00Cv0)(d)(d tvttvRCCC冲激冲激 在在 时转为系统的储能（由时转为

2、系统的储能（由 体现），体现），t 0时，在非零初始条件下齐次方程的解，即为原系统时，在非零初始条件下齐次方程的解，即为原系统的冲激响应。的冲激响应。 t 0 t)0( Cv 0, 0 tt 齐次方程齐次方程X特征方程特征方程01 RC特征根特征根RC1 时的解时的解 0 )(e)( ttuAtvRCtC求解下面的问题是确定系数下面的问题是确定系数A, ,求求A有两种方法：有两种方法：方法方法2 2：奇异函数项相平衡法，定系数奇异函数项相平衡法，定系数A。 方法方法1 1：冲激函数匹配法求出冲激函数匹配法求出 ，定系数，定系数A。)0( Cv)(e1)(1tuRCtvtRCC )(e1)(1t

3、uRCthtRC 即即:波形波形RCA1 X方法1：冲激函数匹配法冲激函数匹配法求据据方程方程可设可设代入方程得代入方程得 ttuatuRCbtRCa 得出得出RCaRCa1 1 即即所以所以 RCAAttRCCC1e01 得得代代入入把把 tuRCttRCC1e1 tuattubtattCC dd 0Cv RCRCCC1100 X方法2：奇异函数项相平衡原理)()(d)(dttvttvRCCC )(e)(tuAtvRCtC )(e)(d)(d1tuRCAtAttvtRCC 代入原方程代入原方程)()(e)()(e1ttuAtRCAtuARCRCRCtRCt )()(ttRCA 整理，方程左右

4、奇异函数项系数相平衡整理，方程左右奇异函数项系数相平衡 已知方程已知方程冲激响应冲激响应求导求导RCARCA1 1 X波形 )(e1)(1tuRCtvthtRCC )(1)(e1d)(d)(12tRtuCRttvCtitRCCC )()(thtvC tRC1Ot R1CR21 )(tiCO电容器的电流在电容器的电流在 t =0时有一冲激，时有一冲激，这就是电容电压突这就是电容电压突变的原因变的原因 。注意！注意！X响应及其各响应及其各阶导数阶导数(最最高阶为高阶为n次次)3n阶系统的冲激响应(1)冲激响应的数学模型)(d)(dd)(dd)(d)(d)(dd)(dd)(d1111011110te

5、EtteEtteEtteEtrCttrCttrCttrCmmmmmmnnnnnn 对于线性时不变系统对于线性时不变系统, ,可以用一高阶微分方程表示可以用一高阶微分方程表示 )()()()()()()()(1111011110tEtEtEtEthCthCthCthCmmmmnnnn 激励及其各激励及其各阶导数阶导数(最最高阶为高阶为m次次)令令 e(t)= (t) 则则 r(t)=h(t)X(2)h(t)解答的形式设特征根为简单根（无重根的单根）设特征根为简单根（无重根的单根）)(e)(1tuAthnitii 由于由于 及其导数在及其导数在 时都为零，因而方程式右时都为零，因而方程式右端的自由

6、项恒等于零，这样原系统的冲激响应形式与齐次端的自由项恒等于零，这样原系统的冲激响应形式与齐次解的形式相同。解的形式相同。 t 0t 及其各阶导数。及其各阶导数。应包含应包含时，时，当当；中应包含中应包含时，时，当当及其各阶导数；及其各阶导数；不含不含时，时，当当tthmntthmntthmn 与与n, m相对大小有关相对大小有关 与特征根有关与特征根有关X例2-5-2解：解：)(2d)(d)(3d)(d4d)(d22tttthtthtth 求特征根求特征根3, 1034212 冲激响应冲激响应)()ee()(321tuAAthtt 求系统求系统 的冲激响应。的冲激响应。 )(2d)(d)(3d

7、)(d4d)(d22tettetrttrttr mnmn , 1, 2 中中不不包包含含冲冲激激项项th将将e(t) (t)，r(t)h(t)带带u(t)求待定系数求待定系数 ，冲击匹配法求，冲击匹配法求0 0+ +法法, ,奇异函数项相平衡奇异函数项相平衡X冲击匹配法求0+定系数 20,10 hh代入代入h(t),得得 212123010212121AAAAhAAh )(21)( 3tueethtt tuatrtubtattrtuctbtattrdddd 22设X用奇异函数项相平衡法求待定系数 )(ee)(321tuAAthtt )(e3e)()(e3e)(ee)( 32121321321t

8、uAAtAAtuAAtAAthtttttt tuAAtAAtAAthtt e9e33212121 )(),(),(代代入入原原方方程程将将ththth )(2)()(0)(3)(2121tttutAAtAA 2121231212121AAAAAA )( ee21)(3tuthtt 根据系数平衡，得根据系数平衡，得X二阶跃响应 系统的输入系统的输入 ，其响应为，其响应为 。系统。系统方程的右端将包含阶跃函数方程的右端将包含阶跃函数 ，所以除了齐次解外，所以除了齐次解外，还有还有特解项特解项。 tute tgtr tu我们也可以根据线性时不变系统特性，利用我们也可以根据线性时不变系统特性，利用关系

9、关系求阶跃响应。求阶跃响应。 系统在单位阶跃信号作用下的系统在单位阶跃信号作用下的零状态零状态响应响应，称为单称为单位阶跃响应，简称阶跃响应。位阶跃响应，简称阶跃响应。1定义 H te trH tu tgX2阶跃响应与冲激响应的关系 tt0,对因果系统：对因果系统：积分，注意积分限：积分，注意积分限：阶跃响应是冲激响应的阶跃响应是冲激响应的线性时不变系统满足微、积分特性线性时不变系统满足微、积分特性 ttttud)()( ttthtgd)()(X三齐次解法求冲激响应（补充）左端最高阶微分中含有左端最高阶微分中含有 (t)项项(n-1)阶微分中含有阶微分中含有u(t)项。项。可以由此定初始条件可

10、以由此定初始条件 )()(d)(dd)(d0111tthatthatthnnnnn 0)0()0()0()0(, 1)0()2()1( nnhhhhh令方程左端系数为令方程左端系数为1，右端只有一项，右端只有一项 (t)时，冲激响应为时，冲激响应为 th此方法比奇异函数系数平衡法简单。对于高阶系统更此方法比奇异函数系数平衡法简单。对于高阶系统更有优越性。有优越性。X例2-5-3 )(ee)(321tuAAthtt 00 10 hh 2121013212121AAAAAA )(ee)(e21e21)(e23e21333tuttuthtttttt )(ee213tutt 已知系统已知系统 ，求，求

11、h(t) 。)(2d)(d)(3d)(d4d)(d22tettetrttrttr 将边界条件代入将边界条件代入 式式 th)(2d)(d)(thtthth 则由系统的线性时不变特性则由系统的线性时不变特性 )(ee21)(3tuthtt X系统框图系统框图)(2d)(d)(3d)(d4d)(d22tettetrttrttr tdd 2 22ddttr ttrdd te tr43tdd 2 22ddttr ttrdd te tr43 tdd 2 22ddttr ttrdd te tr 43 tr两个加法器两个加法器子系统交换子系统交换XX求冲激响应的几种方法方法方法1：冲激函数匹配法求出：冲激函数匹配法求出 跃变值，定系数跃变值，定系数A。方法方法2：奇异函数项相平衡法，定系数：奇异函数项相平衡法，定系数A。 00方法方法3：齐次解法求冲激响应。：齐次解法求冲激响应。 X总结冲激响应的冲激响应的求解求解至关重要。至关重要。冲激响应的定义冲激响应的定义零状态；零状态；单位冲激信号单位冲激信号作用下，系统的响应为冲激响应。作用下，系统的响应为冲激响应。冲激响应说明：冲激响应说明：在时域，对于不同系统，零状态情况在时域，对于不同系统，零